Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1-5$

= $-2-5$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^2-5\cdot 1$ = $-1-5$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-7$⋅ $1$ + c

$-6$ = $-7$ + c | + $7$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\sin \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)·\left(3+0\right)$

= $-\cos \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)·3$

= $-3\cdot \cos \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot \cos \left(3\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $-\sin \left(3\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-\sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-\left(-1\right)$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = 0⋅ $0$ + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{2x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{2x}·2$

= $-\frac{7}{2}{e}^{2x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{2\cdot 0}$

= $-\frac{7}{2}{e}^0$

= $-\frac{7}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{7}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{2\cdot 0}$ = $-\frac{7}{4}{e}^0$ = $-\frac{7}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-\frac{7}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{4}$ = $-\frac{7}{2}$⋅0 + c

$-\frac{7}{4}$ = 0 + c

$-\frac{7}{4}$ = c

also c= $-\frac{7}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{7}{2}$⋅x $-\frac{7}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(2x^2+7\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(4x+0\right)·e^{\mathrm{0,4}x}+\left(2x^2+7\right)·e^{\mathrm{0,4}x}·\mathrm{0,4}$

= $4x·e^{\mathrm{0,4}x}+\left(2x^2+7\right)·\mathrm{0,4}{e}^{\mathrm{0,4}x}$

= $4x·e^{\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(2x^2+7\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$

= $e^{\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,8}{x}^2+\mathrm{2,8}+4x\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,8}{x}^2+4x+\mathrm{2,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}{x}^2+4x+\mathrm{2,8}\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}·\left(\mathrm{0,8}\cdot 0^2+4\cdot 0+\mathrm{2,8}\right)$

= $e^0·\left(\mathrm{0,8}\cdot 0+0+\mathrm{2,8}\right)$

= $1·\left(0+0+\mathrm{2,8}\right)$

= $1·\mathrm{2,8}$

= $\mathrm{2,8}$

≈ 2.8

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{2,8}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\left(2\cdot 0^2+7\right)·e^{\mathrm{0,4}\cdot 0}$ = $\left(2\cdot 0+7\right)·e^0$ = $\left(0+7\right)·1$ = $7·1$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $\mathrm{2,8}$⋅0 + c

$7$ = 0 + c

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{2,8}$⋅x + $7$ oder y=2.8x +7

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2+1$ = $-4+1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-\frac{1}{4}$⋅( $-2$) + c

$-3$ = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{7}{2}$ = c

also c= $-\frac{7}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x $-\frac{7}{2}$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|24) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|24) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

24 = $\left(-6u+5\right)·\left(1-u\right)$ + $-3u^2+5u-5$ | -24

$\left(-6u+5\right)\left(1-u\right)-3u^2+5u-5-24$ = 0

$6u^2-11u+5-3u^2+5u-5-24$ = 0

$3u^2-6u-24$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2-6u-24$ = 0 |:3

$u^2-2u-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+5x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+5+0$

= $-6x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+5$

= $12+5$

= $17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $17$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+5\cdot \left(-2\right)-5$ = $-3\cdot 4-10-5$ = $-12-10-5$ = $-27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-27$ = $17$⋅( $-2$) + c

$-27$ = $-34$ + c | + $34$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $17$⋅x + $7$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+5x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+5+0$

= $-6x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 4+5$

= $-24+5$

= $-19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 4^2+5\cdot 4-5$ = $-3\cdot 16+20-5$ = $-48+20-5$ = $-33$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-33$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-33$ = $-19$⋅ $4$ + c

$-33$ = $-76$ + c | + $76$

$43$ = c

also c= $43$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-19$⋅x + $43$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(30|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(30|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}·\left(30-u\right)$ + $\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}$

$-\mathrm{0,4}\frac{30-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$

$\left(-\mathrm{0,4}\frac{30-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{0,4}\frac{30-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{0,4}\left(30-u\right)+2\left(\mathrm{0,2}u-3\right)$ = 0

$-12+\mathrm{0,4}u+\mathrm{0,4}u-6$ = 0

$\mathrm{0,8}u-18$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{0,8}u-18$	=	0	| $+18$
$\mathrm{0,8}u$	=	$18$	|:$\mathrm{0,8}$
$u$	=	$\mathrm{22,5}$

L={ $\mathrm{22,5}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 22.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $2$)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $2$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{15,3}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{13,3}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{15,3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{15,3}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{15,3}$ = $1-3+\mathrm{15,3}$ = $\mathrm{13,3}$ ≈ 13.3

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{13,3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{13,3}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{13,3}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{16,3}$ = c

also c= $\mathrm{16,3}$ ≈ 16.3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{16,3}$ oder y=-3x +16.3

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{16,3}$	=	0	| $-\mathrm{16,3}$
$-3x$	=	$-\mathrm{16,3}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{5,4333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.433.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|15) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|15) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

15 = $\left(-6u+3\right)·\left(0-u\right)$ + $-3u^2+3u+3$ | -15

$-\left(-6u+3\right)u-3u^2+3u+3-15$ = 0

$6u^2-3u-3u^2+3u+3-15$ = 0

$3u^2+0-12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+0-12$	=	0
$3u^2-12$	=	0	| $+12$
$3u^2$	=	$12$	|:$3$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+3x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+3+0$

= $-6x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+3$

= $12+3$

= $15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+3$ = $-3\cdot 4-6+3$ = $-12-6+3$ = $-15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-15$ = $15$⋅( $-2$) + c

$-15$ = $-30$ + c | + $30$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $15$⋅x + $15$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+3x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+3+0$

= $-6x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 2+3$

= $-12+3$

= $-9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^2+3\cdot 2+3$ = $-3\cdot 4+6+3$ = $-12+6+3$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-9$⋅ $2$ + c

$-3$ = $-18$ + c | + $18$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-9$⋅x + $15$