Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+0$

= $10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-1\right)$

= $-10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^2+2$ = $5\cdot 1+2$ = $5+2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-10$⋅( $-1$) + c

$7$ = $10$ + c | $-10$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-10$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-{\left(3x-5\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(3x-5\right)·\left(3+0\right)$

= $-2\left(3x-5\right)·\left(3\right)$

= $-6\left(3x-5\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-6\left(3\cdot 2-5\right)$

= $-6\left(6-5\right)$

= $-6·1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-{\left(3\cdot 2-5\right)}^2$ = $-{\left(6-5\right)}^2$ = $-1^2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-6$⋅$2$ + c

$-1$ = $-12$ + c | + $12$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $11$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $e^{x-2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-2}·1$

= $e^{x-2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{2-2}$

= $e^0$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $e^{2-2}$ = $e^0$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $1$⋅ $2$ + c

$1$ = $2$ + c | $-2$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(x^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $2x·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(x^2+4\right)·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $2x·e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(2x+\mathrm{0,6}{x}^2+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}{x}^2+2x+\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}{x}^2+2x+\mathrm{2,4}\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}·\left(\mathrm{0,6}\cdot 3^2+2\cdot 3+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{\mathrm{1,8}}·\left(\mathrm{0,6}\cdot 9+6+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{\mathrm{1,8}}·\left(\mathrm{5,4}+6+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{\mathrm{1,8}}·\mathrm{13,8}$

= $\mathrm{13,8}{e}^{\mathrm{1,8}}$

≈ 83.49

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{13,8}{e}^{\mathrm{1,8}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}$ = $\left(9+4\right)·e^{\mathrm{1,8}}$ = $13·e^{\mathrm{1,8}}$ = $13e^{\mathrm{1,8}}$ ≈ 78.65

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $13e^{\mathrm{1,8}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$13e^{\mathrm{1,8}}$ = $\mathrm{13,8}{e}^{\mathrm{1,8}}$⋅ $3$ + c

$13e^{\mathrm{1,8}}$ = $\mathrm{41,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$ + c | $-\mathrm{41,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$

$-\mathrm{28,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$ = c

also c= $-\mathrm{28,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$ ≈ -171.81

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{13,8}{e}^{\mathrm{1,8}}$⋅x $-\mathrm{28,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$ oder y=83.49x -171.81

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $2\cdot \left(-1\right)$

= $-2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(\pi \right)+3$ = $2\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $\frac{1}{2}$⋅ $\pi$ + c

$3$ = $\frac{1}{2}\pi$ + c | $-\frac{1}{2}\pi$

$3-\frac{1}{2}\pi$ = c

also c= $3-\frac{1}{2}\pi$ ≈ 1.43

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $3-\frac{1}{2}\pi$ oder y=0.5x +1.43

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|7) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|7) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

7 = $\left(-6u-1\right)·\left(-2-u\right)$ + $-3u^2-u+5$ | -7

$\left(-6u-1\right)\left(-2-u\right)-3u^2-u+5-7$ = 0

$6u^2+13u+2-3u^2-u+5-7$ = 0

$3u^2+12u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+12u+0$	=	0
$3u^2+12u$	=	0
$3u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-4\right)-1$

= $24-1$

= $23$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $23$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-4\right)}^2-\left(-4\right)+5$ = $-3\cdot 16+4+5$ = $-48+4+5$ = $-39$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $-39$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-39$ = $23$⋅( $-4$) + c

$-39$ = $-92$ + c | + $92$

$53$ = c

also c= $53$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $23$⋅x + $53$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-6\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^2-0+5$ = $-3\cdot 0+0+5$ = $0+0+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-1$⋅0 + c

$5$ = 0 + c

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $5$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{6}{\mathrm{0,2}u-3}$

$-\mathrm{1,2}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$

$\left(-\mathrm{1,2}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-3}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,2}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-3}·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,2}\left(45-u\right)+6\left(\mathrm{0,2}u-3\right)$ = 0

$-54+\mathrm{1,2}u+\mathrm{1,2}u-18$ = 0

$\mathrm{2,4}u-72$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{2,4}u-72$	=	0	| $+72$
$\mathrm{2,4}u$	=	$72$	|:$\mathrm{2,4}$
$u$	=	$30$

L={ $30$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 30 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u-\frac{1}{2}$ = 0

$-\frac{1}{2}+u^2-8u-\frac{1}{2}$ = 0

$u^2-8u-1$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u-1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·\left(-1\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64+4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{68}}{2}$

u₁ = $\frac{8+\sqrt{68}}{2}$ ≈ 8.12

u₂ = $\frac{8-\sqrt{68}}{2}$ ≈ -0.12

L={ $\frac{8-\sqrt{68}}{2}$; $\frac{8+\sqrt{68}}{2}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{8-\sqrt{68}}{2}$) = $1^2-8\cdot 1$ = $-7$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{8-\sqrt{68}}{2}$| $-7$) bzw. Q(-0.12|-7)

f( $\frac{8+\sqrt{68}}{2}$) = $1^2-8\cdot 1$ = $-7$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{8+\sqrt{68}}{2}$| $-7$) bzw. Q(8.12|-7)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,1}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $-6x+\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-6x+\mathrm{4,2}$	=	0	| $-\mathrm{4,2}$
$-6x$	=	$-\mathrm{4,2}$	|:($-6$)
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{0,686}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,1}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $-3\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}+\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,7}}^3+\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2$ = $-\mathrm{0,343}+\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}$ = $-\mathrm{0,343}+\mathrm{1,029}$ = $\mathrm{0,686}$ ≈ 0.69

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{0,686}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,686}$ = $\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{0,686}$ = $\mathrm{1,029}$ + c | $-\mathrm{1,029}$

$-\mathrm{0,343}$ = c

also c= $-\mathrm{0,343}$ ≈ -0.34

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,47}$⋅x $-\mathrm{0,343}$ oder y=1.47x -0.34

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{2,372}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,47}x-\mathrm{0,343}$	=	$\mathrm{2,372}$	| $+\mathrm{0,343}$
$\mathrm{1,47}x$	=	$\mathrm{2,715}$	|:$\mathrm{1,47}$
$x$	=	$\mathrm{1,8469}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 1.847.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-3) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-3) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-3 = $\left(-6u-3\right)·\left(-3-u\right)$ + $-3u^2-3u+3$ | +3

$\left(-6u-3\right)\left(-3-u\right)-3u^2-3u+3+3$ = 0

$6u^2+21u+9-3u^2-3u+3+3$ = 0

$3u^2+18u+15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+18u+15$ = 0 |:3

$u^2+6u+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

u₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-3x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-3+0$

= $-6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-5\right)-3$

= $30-3$

= $27$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $27$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-5\right)}^2-3\cdot \left(-5\right)+3$ = $-3\cdot 25+15+3$ = $-75+15+3$ = $-57$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $-57$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-57$ = $27$⋅( $-5$) + c

$-57$ = $-135$ + c | + $135$

$78$ = c

also c= $78$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $27$⋅x + $78$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-3x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-3+0$

= $-6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-1\right)-3$

= $6-3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)+3$ = $-3\cdot 1+3+3$ = $-3+3+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $3$⋅( $-1$) + c

$3$ = $-3$ + c | + $3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $6$