Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 1+3$

= $\frac{4}{3}+3$

= $\frac{4}{3}+\frac{9}{3}$

= $\frac{13}{3}$

≈ 4.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{13}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 1^2+3\cdot 1$ = $\frac{2}{3}\cdot 1+3$ = $\frac{2}{3}+3$ = $\frac{2}{3}+\frac{9}{3}$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{11}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{3}$ = $\frac{13}{3}$⋅ $1$ + c

$\frac{11}{3}$ = $\frac{13}{3}$ + c | $-\frac{13}{3}$

$-\frac{2}{3}$ = c

also c= $-\frac{2}{3}$ ≈ -0.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{13}{3}$⋅x $-\frac{2}{3}$ oder y=4.33x -0.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(-x+3\right)}^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)+0$

= $-4\left(-x+3\right)·\left(-1\right)$

= $4\left(-x+3\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-4\cdot 1+12$

= $-4+12$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1+3\right)}^2+3$ = $-2\cdot 2^2+3$ = $-2\cdot 4+3$ = $-8+3$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $8$⋅$1$ + c

$-5$ = $8$ + c | $-8$

$-13$ = c

also c= $-13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x $-13$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{-\left(x+1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{-\left(x+1\right)}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{5}{e}^{-\left(x+1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{5}{e}^{-\left(-1+1\right)}$

= $-\frac{1}{5}{e}^{-1·0}$

= $-\frac{1}{5}{e}^0$

= $-\frac{1}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{-\left(-1+1\right)}$ = $\frac{1}{5}{e}^{-1·0}$ = $\frac{1}{5}{e}^0$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{1}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $-\frac{1}{5}$⋅( $-1$) + c

$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ + c | $-\frac{1}{5}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{5}$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3·e^{\mathrm{0,7}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{\mathrm{0,7}x}+x^3·e^{\mathrm{0,7}x}·\mathrm{0,7}$

= $3x^2·e^{\mathrm{0,7}x}+x^3·\mathrm{0,7}{e}^{\mathrm{0,7}x}$

= $3x^2·e^{\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}{x}^3·e^{\mathrm{0,7}x}$

= $e^{\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{0,7}{x}^3+3x^2\right)$

= $\left(\mathrm{0,7}{x}^3+3x^2\right)·e^{\mathrm{0,7}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,7}\cdot 3}·\left(\mathrm{0,7}\cdot 3^3+3\cdot 3^2\right)$

= $e^{\mathrm{2,1}}·\left(\mathrm{0,7}\cdot 27+3\cdot 9\right)$

= $e^{\mathrm{2,1}}·\left(\mathrm{18,9}+27\right)$

= $e^{\mathrm{2,1}}·\mathrm{45,9}$

= $\mathrm{45,9}{e}^{\mathrm{2,1}}$

≈ 374.83

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{45,9}{e}^{\mathrm{2,1}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3^3·e^{\mathrm{0,7}\cdot 3}$ = $27·e^{\mathrm{2,1}}$ = $27e^{\mathrm{2,1}}$ ≈ 220.49

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $27e^{\mathrm{2,1}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27e^{\mathrm{2,1}}$ = $\mathrm{45,9}{e}^{\mathrm{2,1}}$⋅ $3$ + c

$27e^{\mathrm{2,1}}$ = $\mathrm{137,7}{e}^{\mathrm{2,1}}$ + c | $-\mathrm{137,7}{e}^{\mathrm{2,1}}$

$-\mathrm{110,7}{e}^{\mathrm{2,1}}$ = c

also c= $-\mathrm{110,7}{e}^{\mathrm{2,1}}$ ≈ -904

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{45,9}{e}^{\mathrm{2,1}}$⋅x $-\mathrm{110,7}{e}^{\mathrm{2,1}}$ oder y=374.83x -904

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-2\cdot \left(-1\right)$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$ = $2\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\frac{1}{2}\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{2}$⋅( $-\frac{1}{2}\pi$) + c

0 = $\frac{1}{4}\pi$ + c | $-\frac{1}{4}\pi$

$-\frac{1}{4}\pi$ = c

also c= $-\frac{1}{4}\pi$ ≈ -0.79

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x $-\frac{1}{4}\pi$ oder y=-0.5x -0.79

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $6x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|46) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|46) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

46 = $\left(6u+5\right)·\left(4-u\right)$ + $3u^2+5u+5$ | -46

$\left(6u+5\right)\left(4-u\right)+3u^2+5u+5-46$ = 0

$-6u^2+19u+20+3u^2+5u+5-46$ = 0

$-3u^2+24u-21$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-3u^2+24u-21$ = 0 |:3

$-u^2+8u-7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-7\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-28}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{36}}{-2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{-2}$ = $7$

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+5x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+5+0$

= $6x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 1+5$

= $6+5$

= $11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2+5\cdot 1+5$ = $3\cdot 1+5+5$ = $3+5+5$ = $13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$13$ = $11$⋅ $1$ + c

$13$ = $11$ + c | $-11$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $11$⋅x + $2$

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+5x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+5+0$

= $6x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 7+5$

= $42+5$

= $47$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $47$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 7^2+5\cdot 7+5$ = $3\cdot 49+35+5$ = $147+35+5$ = $187$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $187$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$187$ = $47$⋅ $7$ + c

$187$ = $329$ + c | $-329$

$-142$ = c

also c= $-142$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $47$⋅x $-142$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+3x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+3u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+3u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,5}{u}^2$

$-\left(-3u^2+3u\right)u-u^3+\mathrm{1,5}{u}^2$ = 0

$3u^3-3u^2-u^3+\mathrm{1,5}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,5}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,5}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,5}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,75}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,75}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,5}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,75</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,75}}^2+3\cdot \mathrm{0,75}$

= $-3\cdot \mathrm{0,5625}+\mathrm{2,25}$

= $-\mathrm{1,6875}+\mathrm{2,25}$

= $\mathrm{0,5625}$

≈ 0.56

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,5625}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,75</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,75}}^3+\mathrm{1,5}\cdot {\mathrm{0,75}}^2$ = $-\mathrm{0,4219}+\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,5625}$ = $\mathrm{0,4219}$ ≈ 0.42

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,75}$| $\mathrm{0,4219}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,4219}$ = $\mathrm{0,5625}$⋅ $\mathrm{0,75}$ + c

$\mathrm{0,4219}$ = $\mathrm{0,4219}$ + c | $-\mathrm{0,4219}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,5625}$⋅x +0 oder y=0.56x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,5625}x$	=	$\mathrm{1,5}$	|:$\mathrm{0,5625}$
$x$	=	$\mathrm{2,6667}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.667.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-6$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(3|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-6}$ = $-\frac{1}{2u-6}$

Wir können also P(3|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-6}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u-6}·\left(3-u\right)$ + $u^2-6u+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{3-u}{2u-6}+u^2-6u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-6u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$u^2-6u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-6u+0$	=	0
$u^2-6u$	=	0
$u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-6\cdot 0+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$)

f( $6$) = $6^2-6\cdot 6+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $6$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{4,608}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{3,584}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{4,608}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{4,608}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{4,608}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{4,608}$ = $\mathrm{3,584}$ ≈ 3.58

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{3,584}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{3,584}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{3,584}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{5,12}$ = c

also c= $\mathrm{5,12}$ ≈ 5.12

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{5,12}$ oder y=-1.92x +5.12

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{5,12}$	=	0	| $-\mathrm{5,12}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{5,12}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{2,6667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.667.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|10) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|10) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

10 = $\left(-4u-1\right)·\left(1-u\right)$ + $-2u^2-u-5$ | -10

$\left(-4u-1\right)\left(1-u\right)-2u^2-u-5-10$ = 0

$4u^2-3u-1-2u^2-u-5-10$ = 0

$2u^2-4u-16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2-4u-16$ = 0 |:2

$u^2-2u-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-1+0$

= $-4x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-2\right)-1$

= $8-1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-5$ = $-2\cdot 4+2-5$ = $-8+2-5$ = $-11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-11$ = $7$⋅( $-2$) + c

$-11$ = $-14$ + c | + $14$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $3$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-1+0$

= $-4x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 4-1$

= $-16-1$

= $-17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-17$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 4^2-4-5$ = $-2\cdot 16-4-5$ = $-32-4-5$ = $-41$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-41$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-41$ = $-17$⋅ $4$ + c

$-41$ = $-68$ + c | + $68$

$27$ = c

also c= $27$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-17$⋅x + $27$