Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+0$

= $8x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $8\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0^2+1$ = $4\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = 0⋅0 + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(-x+3\right)}^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(-x+3\right)}^2·\left(-1+0\right)+0$

= $-6{\left(-x+3\right)}^2·\left(-1\right)$

= $6{\left(-x+3\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $6\cdot {\left(-0+3\right)}^2$

= $6\cdot {\left(3\right)}^2$

= $54$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $54$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(-0+3\right)}^3-5$ = $-5-54$ = $-59$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-59$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-59$ = $54$⋅$0$ + c

$-59$ = 0 + c

$-59$ = c

also c= $-59$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $54$⋅x $-59$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{x+3}·1$

= $\frac{1}{2}{e}^{x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{-3+3}$

= $\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{-3+3}$ = $\frac{1}{2}{e}^0$ = $\frac{1}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $\frac{1}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$⋅( $-3$) + c

$\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(3x+7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(3x+7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $3e^{\mathrm{0,6}x}+\left(3x+7\right)·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $3e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(3x+7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(3+\mathrm{1,8}x+\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{7,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x+\mathrm{7,2}\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}·\left(\mathrm{1,8}\cdot 0+\mathrm{7,2}\right)$

= $e^0·\left(0+\mathrm{7,2}\right)$

= $1·\mathrm{7,2}$

= $\mathrm{7,2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{7,2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\left(3\cdot 0+7\right)·e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}$ = $\left(0+7\right)·e^0$ = $7·1$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $\mathrm{7,2}$⋅0 + c

$7$ = 0 + c

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{7,2}$⋅x + $7$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-15\cdot {\left(-1\right)}^2-1$

= $-15\cdot 1-1$

= $-15-1$

= $-16$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{16}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{16}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-1\right)}^3-\left(-1\right)$ = $-5\cdot \left(-1\right)+1$ = $5+1$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $\frac{1}{16}$⋅( $-1$) + c

$6$ = $-\frac{1}{16}$ + c | + $\frac{1}{16}$

$\frac{97}{16}$ = c

also c= $\frac{97}{16}$ ≈ 6.06

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{16}$⋅x + $\frac{97}{16}$ oder y=0.06x +6.06

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|67) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|67) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

67 = $\left(8u+5\right)·\left(4-u\right)$ + $4u^2+5u-1$ | -67

$\left(8u+5\right)\left(4-u\right)+4u^2+5u-1-67$ = 0

$-8u^2+27u+20+4u^2+5u-1-67$ = 0

$-4u^2+32u-48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2+32u-48$ = 0 |:4

$-u^2+8u-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-12\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{-2}$ = $6$

L={ $2$; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+5x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+5+0$

= $8x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 2+5$

= $16+5$

= $21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $21$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^2+5\cdot 2-1$ = $4\cdot 4+10-1$ = $16+10-1$ = $25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $25$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$25$ = $21$⋅ $2$ + c

$25$ = $42$ + c | $-42$

$-17$ = c

also c= $-17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $21$⋅x $-17$

An der Stelle x= $6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+5x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+5+0$

= $8x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 6+5$

= $48+5$

= $53$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $53$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 6^2+5\cdot 6-1$ = $4\cdot 36+30-1$ = $144+30-1$ = $173$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$| $173$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$173$ = $53$⋅ $6$ + c

$173$ = $318$ + c | $-318$

$-145$ = c

also c= $-145$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $53$⋅x $-145$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}x-1\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}$

$-\mathrm{1,2}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$

$\left(-\mathrm{1,2}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,2}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,2}\left(45-u\right)+6\left(\mathrm{0,2}u-1\right)$ = 0

$-54+\mathrm{1,2}u+\mathrm{1,2}u-6$ = 0

$\mathrm{2,4}u-60$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{2,4}u-60$	=	0	| $+60$
$\mathrm{2,4}u$	=	$60$	|:$\mathrm{2,4}$
$u$	=	$25$

L={ $25$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 25 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($8$|$6$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($8$|$6$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}$ = $-\frac{2}{u}$

Wir können also P($8$|$6$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$6$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}·\left(8-u\right)$ + $\frac{1}{4}{u}^2+4$ | -$6$

$-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+4-6$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2}u$

$\left(-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+4-6\right)·\frac{1}{2}u$ = 0

$-2\frac{8-u}{u}·\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}{u}^2·\frac{1}{2}u+4·\frac{1}{2}u-6·\frac{1}{2}u$ = 0

$-\left(8-u\right)+\frac{1}{8}{u}^2·u+2u-3u$ = 0

$-8+u+\frac{1}{8}{u}^3+2u-3u$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$	=	0
$\frac{1}{8}{u}^3-8$	=	0	| $+8$
$\frac{1}{8}{u}^3$	=	$8$	|⋅$8$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $\frac{1}{4}\cdot 4^2+4$ = $8$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $8$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{10,8}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{8,8}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{10,8}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{10,8}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{10,8}$ = $1-3+\mathrm{10,8}$ = $\mathrm{8,8}$ ≈ 8.8

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{8,8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{8,8}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{8,8}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{11,8}$ = c

also c= $\mathrm{11,8}$ ≈ 11.8

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{11,8}$ oder y=-3x +11.8

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{11,8}$	=	0	| $-\mathrm{11,8}$
$-3x$	=	$-\mathrm{11,8}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{3,9333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.933.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|-19) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|-19) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-19 = $\left(10u-5\right)·\left(1-u\right)$ + $5u^2-5u+1$ | +19

$\left(10u-5\right)\left(1-u\right)+5u^2-5u+1+19$ = 0

$-10u^2+15u-5+5u^2-5u+1+19$ = 0

$-5u^2+10u+15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+10u+15$ = 0 |:5

$-u^2+2u+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

L={ $-1$; $3$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-5x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-5+0$

= $10x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-1\right)-5$

= $-10-5$

= $-15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)+1$ = $5\cdot 1+5+1$ = $5+5+1$ = $11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$11$ = $-15$⋅( $-1$) + c

$11$ = $15$ + c | $-15$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-15$⋅x $-4$

An der Stelle x= $3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-5x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-5+0$

= $10x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 3-5$

= $30-5$

= $25$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $25$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 3^2-5\cdot 3+1$ = $5\cdot 9-15+1$ = $45-15+1$ = $31$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $31$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$31$ = $25$⋅ $3$ + c

$31$ = $75$ + c | $-75$

$-44$ = c

also c= $-44$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $25$⋅x $-44$