Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)+0$

= $\cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\cos \left(3\pi \right)$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(3\pi \right)+4$ = $0+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-1$⋅ $3\pi$ + c

$4$ = $-3\pi$ + c | + $3\pi$

$4+3\pi$ = c

also c= $4+3\pi$ ≈ 13.42

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $4+3\pi$ oder y=-1x +13.42

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(2x-2\right)}^2+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)+0$

= $-4\left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $-8\left(2x-2\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-16\cdot 0+16$

= $0+16$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^2+5$ = $-2\cdot {\left(0-2\right)}^2+5$ = $-2\cdot {\left(-2\right)}^2+5$ = $-2\cdot 4+5$ = $-8+5$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $16$⋅$0$ + c

$-3$ = 0 + c

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{-2\left(x-2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{-2\left(x-2\right)}·\left(-2\right)$

= $-\frac{14}{5}{e}^{-2\left(x-2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{14}{5}{e}^{-2\left(2-2\right)}$

= $-\frac{14}{5}{e}^{-2·0}$

= $-\frac{14}{5}{e}^0$

= $-\frac{14}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{14}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{-2\left(2-2\right)}$ = $\frac{7}{5}{e}^{-2·0}$ = $\frac{7}{5}{e}^0$ = $\frac{7}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{7}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{5}$ = $-\frac{14}{5}$⋅ $2$ + c

$\frac{7}{5}$ = $-\frac{28}{5}$ + c | + $\frac{28}{5}$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{14}{5}$⋅x + $7$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $1·e^x+x·e^x$

= $e^x+x·e^x$

= $e^x·\left(1+x\right)$

= $e^x·\left(x+1\right)$

= $\left(x+1\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^2·\left(2+1\right)$

= $e^2·3$

= $3e^2$

≈ 22.17

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3e^2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·e^2$ = $2e^2$ ≈ 14.78

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $2e^2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^2$ = $3e^2$⋅ $2$ + c

$2e^2$ = $6e^2$ + c | $-6e^2$

$-4e^2$ = c

also c= $-4e^2$ ≈ -29.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3e^2$⋅x $-4e^2$ oder y=22.17x -29.56

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-1\right)-1$

= $-10-1$

= $-11$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{11}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{11}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)$ = $5\cdot 1+1$ = $5+1$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $\frac{1}{11}$⋅( $-1$) + c

$6$ = $-\frac{1}{11}$ + c | + $\frac{1}{11}$

$\frac{67}{11}$ = c

also c= $\frac{67}{11}$ ≈ 6.09

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{11}$⋅x + $\frac{67}{11}$ oder y=0.09x +6.09

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-20) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-20) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-20 = $\left(-4u+4\right)·\left(-3-u\right)$ + $-2u^2+4u+2$ | +20

$\left(-4u+4\right)·\left(-3-u\right)-2u^2+4u+2+20$ = 0

$4u^2+8u-12-2u^2+4u+2+20$ = 0

$2u^2+12u+10$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2+12u+10$ = 0 |:2

$u^2+6u+5$ = 0

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+4+0$

= $-4x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-5\right)+4$

= $20+4$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-5\right)}^2+4\cdot \left(-5\right)+2$ = $-2\cdot 25-20+2$ = $-50-20+2$ = $-68$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $-68$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-68$ = $24$⋅( $-5$) + c

$-68$ = $-120$ + c | + $120$

$52$ = c

also c= $52$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x + $52$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+4+0$

= $-4x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-1\right)+4$

= $4+4$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)+2$ = $-2\cdot 1-4+2$ = $-2-4+2$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $8$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $-8$ + c | + $8$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x + $4$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-5|-68) mit der zugehörigen Tangente: $24x+52$

B(-1|-4) mit der zugehörigen Tangente: $8x+4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{5,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{5,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{5,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,7}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{5,4}u\right)u-u^3+\mathrm{2,7}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{5,4}{u}^2-u^3+\mathrm{2,7}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,7}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,7}{u}^2$	=	0
$u^2·\left(2u-\mathrm{2,7}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,35}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,35}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,7}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,35</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,35}}^2+\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{1,35}$

= $-3\cdot \mathrm{1,8225}+\mathrm{7,29}$

= $-\mathrm{5,4675}+\mathrm{7,29}$

= $\mathrm{1,8225}$

≈ 1.82

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,8225}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,35</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,35}}^3+\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{1,35}}^2$ = $-\mathrm{2,4604}+\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{1,8225}$ = $\mathrm{2,4604}$ ≈ 2.46

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,35}$| $\mathrm{2,4604}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{2,4604}$ = $\mathrm{1,8225}$⋅ $\mathrm{1,35}$ + c

$\mathrm{2,4604}$ = $\mathrm{2,4604}$ + c | $-\mathrm{2,4604}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,8225}$⋅x +0 oder y=1.82x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.35|2.46) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{1,82}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,8225}x$	=	$\mathrm{3,916}$	|:$\mathrm{1,8225}$
$x$	=	$\mathrm{2,1487}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.149.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u·\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $1$)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{5,76}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{4,736}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{5,76}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{5,76}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{5,76}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{5,76}$ = $\mathrm{4,736}$ ≈ 4.74

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{4,736}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,736}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{4,736}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{6,272}$ = c

also c= $\mathrm{6,272}$ ≈ 6.27

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{6,272}$ oder y=-1.92x +6.27

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{6,272}$	=	0	| $-\mathrm{6,272}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{6,272}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{3,2667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.267.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{8,64}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{7,616}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{8,64}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{8,64}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{8,64}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{8,64}$ = $\mathrm{7,616}$ ≈ 7.62

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{7,616}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{7,616}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{7,616}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{9,152}$ = c

also c= $\mathrm{9,152}$ ≈ 9.15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{9,152}$ oder y=-1.92x +9.15

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{9,152}$	=	0	| $-\mathrm{9,152}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{9,152}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{4,7667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.767.