Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(3\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(3\pi \right)+4$ = $4\cdot 0+4$ = $0+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-4$⋅ $3\pi$ + c

$4$ = $-12\pi$ + c | + $12\pi$

$4+12\pi$ = c

also c= $4+12\pi$ ≈ 41.7

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $4+12\pi$ oder y=-4x +41.7

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(-x+2\right)}^3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(-x+2\right)}^2·\left(-1+0\right)$

= $-6{\left(-x+2\right)}^2·\left(-1\right)$

= $6{\left(-x+2\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $6\cdot {\left(-0+2\right)}^2$

= $6\cdot {\left(2\right)}^2$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(-0+2\right)}^3$ = $-2\cdot {\left(2\right)}^3$ = $-16$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-16$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-16$ = $24$⋅$0$ + c

$-16$ = 0 + c

$-16$ = c

also c= $-16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x $-16$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{2\left(x+2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{2\left(x+2\right)}·2$

= $-7e^{2\left(x+2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-7e^{2\left(-2+2\right)}$

= $-7e^{2·0}$

= $-7e^0$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{2\left(-2+2\right)}$ = $-\frac{7}{2}{e}^{2·0}$ = $-\frac{7}{2}{e}^0$ = $-\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{2}$ = $-7$⋅( $-2$) + c

$-\frac{7}{2}$ = $14$ + c | $-14$

$-\frac{35}{2}$ = c

also c= $-\frac{35}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x $-\frac{35}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(3x-6\right)·e^{\mathrm{0,5}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{\mathrm{0,5}x}+\left(3x-6\right)·e^{\mathrm{0,5}x}·\mathrm{0,5}$

= $3e^{\mathrm{0,5}x}+\left(3x-6\right)·\mathrm{0,5}{e}^{\mathrm{0,5}x}$

= $3e^{\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(3x-6\right)·e^{\mathrm{0,5}x}$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\left(3+\mathrm{1,5}x-3\right)$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x+0\right)$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\mathrm{1,5}x$

= $x·\mathrm{1,5}{e}^{\mathrm{0,5}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\mathrm{1,5}·e^{\mathrm{0,5}\cdot \left(-3\right)}·\left(-3\right)$

= $\mathrm{1,5}·e^{-\mathrm{1,5}}·\left(-3\right)$

= $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$

≈ -1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3\cdot \left(-3\right)-6\right)·e^{\mathrm{0,5}\cdot \left(-3\right)}$ = $\left(-9-6\right)·e^{-\mathrm{1,5}}$ = $-15e^{-\mathrm{1,5}}$ ≈ -3.35

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-15e^{-\mathrm{1,5}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-15e^{-\mathrm{1,5}}$ = $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$⋅( $-3$) + c

$-15e^{-\mathrm{1,5}}$ = $\mathrm{13,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$ + c | $-\mathrm{13,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$

$-\mathrm{28,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$ = c

also c= $-\mathrm{28,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$ ≈ -6.36

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{4,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$⋅x $-\mathrm{28,5}{e}^{-\mathrm{1,5}}$ oder y=-1x -6.36

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x+0$

= $-x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\left(-2\right)$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+3$ = $-\frac{1}{2}\cdot 4+3$ = $-2+3$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-\frac{1}{2}$⋅( $-2$) + c

$1$ = $1$ + c | $-1$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x +0

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-17) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-17) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-17 = $\left(10u+1\right)·\left(0-u\right)$ + $5u^2+u+3$ | +17

$-\left(10u+1\right)u+5u^2+u+3+17$ = 0

$-10u^2-u+5u^2+u+3+17$ = 0

$-5u^2+0+20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+0+20$	=	0
$-5u^2+20$	=	0	| $-20$
$-5u^2$	=	$-20$	|: $\left(-5\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+1+0$

= $10x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)+1$

= $-20+1$

= $-19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2-2+3$ = $5\cdot 4-2+3$ = $20-2+3$ = $21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $21$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$21$ = $-19$⋅( $-2$) + c

$21$ = $38$ + c | $-38$

$-17$ = c

also c= $-17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-19$⋅x $-17$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+1+0$

= $10x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 2+1$

= $20+1$

= $21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $21$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^2+2+3$ = $5\cdot 4+2+3$ = $20+2+3$ = $25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $25$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$25$ = $21$⋅ $2$ + c

$25$ = $42$ + c | $-42$

$-17$ = c

also c= $-17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $21$⋅x $-17$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{7,2}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{7,2}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{7,2}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{7,2}u\right)u-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{7,2}{u}^2-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{3,6}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{3,6}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,8}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,8}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{3,6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{7,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,8}}^2+\mathrm{7,2}\cdot \mathrm{1,8}$

= $-3\cdot \mathrm{3,24}+\mathrm{12,96}$

= $-\mathrm{9,72}+\mathrm{12,96}$

= $\mathrm{3,24}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{3,24}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,8</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,8}}^3+\mathrm{3,6}\cdot {\mathrm{1,8}}^2$ = $-\mathrm{5,832}+\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{3,24}$ = $-\mathrm{5,832}+\mathrm{11,664}$ = $\mathrm{5,832}$ ≈ 5.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,8}$| $\mathrm{5,832}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{3,24}$⋅ $\mathrm{1,8}$ + c

$\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{5,832}$ + c | $-\mathrm{5,832}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{3,24}$⋅x +0

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{3,24}x$	=	$\mathrm{7,912}$	|:$\mathrm{3,24}$
$x$	=	$\mathrm{2,442}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.442.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{9}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{9}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{9}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u+4$ | -$\frac{9}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $4$)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{4,86}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{4,428}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{4,86}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{4,86}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{4,86}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{4,86}$ = $\mathrm{4,428}$ ≈ 4.43

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{4,428}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,428}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{4,428}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{5,076}$ = c

also c= $\mathrm{5,076}$ ≈ 5.08

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{5,076}$ oder y=-1.08x +5.08

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{5,076}$	=	0	| $-\mathrm{5,076}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{5,076}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{4,7}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.7.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $4x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|-12) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|-12) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $4u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-12 = $\left(4u+5\right)·\left(-2-u\right)$ + $2u^2+5u-2$ | +12

$\left(4u+5\right)\left(-2-u\right)+2u^2+5u-2+12$ = 0

$-4u^2-13u-10+2u^2+5u-2+12$ = 0

$-2u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-2u^2-8u+0$	=	0
$-2u^2-8u$	=	0
$-2u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+5x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+5+0$

= $4x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \left(-4\right)+5$

= $-16+5$

= $-11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-4\right)}^2+5\cdot \left(-4\right)-2$ = $2\cdot 16-20-2$ = $32-20-2$ = $10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10$ = $-11$⋅( $-4$) + c

$10$ = $44$ + c | $-44$

$-34$ = c

also c= $-34$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-11$⋅x $-34$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+5x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+5+0$

= $4x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2+5\cdot 0-2$ = $2\cdot 0+0-2$ = $0+0-2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $5$⋅0 + c

$-2$ = 0 + c

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x $-2$