Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 2$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^2+2$ = $-2\cdot 4+2$ = $-8+2$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-8$⋅ $2$ + c

$-6$ = $-16$ + c | + $16$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x + $10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3{\left(2x-2\right)}^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)-2$

= $6\left(2x-2\right)·\left(2\right)-2$

= $12\left(2x-2\right)-2$

= $12·2x+12·\left(-2\right)-2$

= $24x-24-2$

= $24x-26$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $24\cdot 0-26$

= $0-26$

= $-26$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-26$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^2-2\cdot 0$ = $3\cdot {\left(0-2\right)}^2+0$ = $3\cdot {\left(-2\right)}^2+0$ = $3\cdot 4+0$ = $12+0$ = $12$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$12$ = $-26$⋅$0$ + c

$12$ = 0 + c

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-26$⋅x + $12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-e^{x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x+3}·1$

= $-e^{x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-e^{-3+3}$

= $-e^0$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-e^{-3+3}$ = $-e^0$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-1$⋅( $-3$) + c

$-1$ = $3$ + c | $-3$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x+4}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x+4}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x+4}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $4e^{-2\cdot 2+4}$

= $4e^{-4+4}$

= $4e^0$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-2e^{-2\cdot 2+4}$ = $-2e^{-4+4}$ = $-2e^0$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $4$⋅$2$ + c

$-2$ = $8$ + c | $-8$

$-10$ = c

also c= $-10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x+0$

= $x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 2^2+3$ = $\frac{1}{2}\cdot 4+3$ = $2+3$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-\frac{1}{2}$⋅ $2$ + c

$5$ = $-1$ + c | + $1$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $6$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $6x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|-22) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|-22) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-22 = $\left(6u-1\right)·\left(1-u\right)$ + $3u^2-u+3$ | +22

$\left(6u-1\right)\left(1-u\right)+3u^2-u+3+22$ = 0

$-6u^2+7u-1+3u^2-u+3+22$ = 0

$-3u^2+6u+24$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-3u^2+6u+24$ = 0 |:3

$-u^2+2u+8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·8}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{-2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{-2}$ = $4$

L={ $-2$; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-1+0$

= $6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-2\right)-1$

= $-12-1$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+3$ = $3\cdot 4+2+3$ = $12+2+3$ = $17$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $17$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$17$ = $-13$⋅( $-2$) + c

$17$ = $26$ + c | $-26$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x $-9$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-1+0$

= $6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 4-1$

= $24-1$

= $23$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $23$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 4^2-4+3$ = $3\cdot 16-4+3$ = $48-4+3$ = $47$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $47$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$47$ = $23$⋅ $4$ + c

$47$ = $92$ + c | $-92$

$-45$ = c

also c= $-45$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $23$⋅x $-45$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{12,5}}{{\left(\mathrm{2,5}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{12,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{12,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{5}{\mathrm{2,5}u-2}$

$-\mathrm{12,5}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{5}{\mathrm{2,5}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$

$\left(-\mathrm{12,5}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{5}{\mathrm{2,5}u-2}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{12,5}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2+\frac{5}{\mathrm{2,5}u-2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{12,5}\left(45-u\right)+5\left(\mathrm{2,5}u-2\right)$ = 0

$-\mathrm{562,5}+\mathrm{12,5}u+\mathrm{12,5}u-10$ = 0

$25u-\mathrm{572,5}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$25u-\mathrm{572,5}$	=	0	| $+\mathrm{572,5}$
$25u$	=	$\mathrm{572,5}$	|:$25$
$u$	=	$\mathrm{22,9}$

L={ $\mathrm{22,9}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 22.9 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($\frac{4}{27}$|$3$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($\frac{4}{27}$|$3$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{u}$ = $-\frac{1}{u}$

Wir können also P($\frac{4}{27}$|$3$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$3$ = $\frac{-1}{u}·\left(\frac{4}{27}-u\right)$ + $\frac{1}{2}{u}^2+2$ | -$3$

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+2-3$ = 0 | ⋅ $u$

$(-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+2-3)·u$ = 0

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}·u+\frac{1}{2}{u}^2·u+2·u-3·u$ = 0

$-\left(\frac{4}{27}-u\right)+\frac{1}{2}{u}^2·u+2u-3u$ = 0

$-\frac{4}{27}+u+\frac{1}{2}{u}^3+2u-3u$ = 0

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$	=	0
$\frac{1}{2}{u}^3-\frac{4}{27}$	=	0	| $+\frac{4}{27}$
$\frac{1}{2}{u}^3$	=	$\frac{4}{27}$	|⋅$2$
$u^3$	=	$\frac{8}{27}$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$	= $\frac{2}{3}$

L={ $\frac{2}{3}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{2}{3}$) = $\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2+2$ = $\frac{20}{9}$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{2}{3}$| $\frac{20}{9}$) bzw. Q(0.67|2.22)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{5,733}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{5,047}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{5,733}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{5,733}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{5,733}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{5,733}$ = $\mathrm{5,047}$ ≈ 5.05

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{5,047}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,047}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{5,047}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{6,076}$ = c

also c= $\mathrm{6,076}$ ≈ 6.08

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{6,076}$ oder y=-1.47x +6.08

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{6,076}$	=	0	| $-\mathrm{6,076}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{6,076}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{4,1333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.133.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|7) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|7) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

7 = $\left(-2u-3\right)·\left(-1-u\right)$ + $-u^2-3u+1$ | -7

$\left(-2u-3\right)\left(-1-u\right)-u^2-3u+1-7$ = 0

$2u^2+5u+3-u^2-3u+1-7$ = 0

$u^2+2u-3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2+2u-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-3+0$

= $-2x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-3\right)-3$

= $6-3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)+1$ = $-9+9+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $3$⋅( $-3$) + c

$1$ = $-9$ + c | + $9$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $10$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-3+0$

= $-2x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1-3$

= $-2-3$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^2-3\cdot 1+1$ = $-1-3+1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-5$⋅ $1$ + c

$-3$ = $-5$ + c | + $5$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $2$