Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-4\cdot \sin \left(3\pi \right)+2$

= $-4\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \cos \left(3\pi \right)+2\cdot \left(3\pi \right)$ = $4\cdot \left(-1\right)+2\cdot \left(3\pi \right)$ = $-4+2\cdot \left(3\pi \right)$ ≈ 14.85

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $-4+6\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4+6\pi$ = $2$⋅ $3\pi$ + c

$-4+6\pi$ = $6\pi$ + c | $-6\pi$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(-x-\frac{1}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(-x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(-1+0\right)$

= $\cos \left(-x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(-1\right)$

= $-\cos \left(-x-\frac{1}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-\cos \left(-\left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-\cos (-\pi )$

= $-\left(-1\right)$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(-\left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\sin (-\pi )$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $1$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

0 = $\frac{1}{2}\pi$ + c | $-\frac{1}{2}\pi$

$-\frac{1}{2}\pi$ = c

also c= $-\frac{1}{2}\pi$ ≈ -1.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-\frac{1}{2}\pi$ oder y=1x -1.57

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{-2x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{14}{5}{e}^{-2x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{14}{5}{e}^{-2\cdot 0}$

= $\frac{14}{5}{e}^0$

= $\frac{14}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{14}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{-2\cdot 0}$ = $-\frac{7}{5}{e}^0$ = $-\frac{7}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-\frac{7}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{5}$⋅0 + c

$-\frac{7}{5}$ = 0 + c

$-\frac{7}{5}$ = c

also c= $-\frac{7}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{14}{5}$⋅x $-\frac{7}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)·e^{\mathrm{0,3}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{\mathrm{0,3}x}+\left(x+3\right)·e^{\mathrm{0,3}x}·\mathrm{0,3}$

= $e^{\mathrm{0,3}x}+\left(x+3\right)·\mathrm{0,3}{e}^{\mathrm{0,3}x}$

= $e^{\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(x+3\right)·e^{\mathrm{0,3}x}$

= $e^{\mathrm{0,3}x}·\left(1+\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}\right)$

= $e^{\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,9}\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x+\mathrm{1,9}\right)·e^{\mathrm{0,3}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,3}\cdot \left(-2\right)}·\left(\mathrm{0,3}\cdot \left(-2\right)+\mathrm{1,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}}·\left(-\mathrm{0,6}+\mathrm{1,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}}·\mathrm{1,3}$

= $\mathrm{1,3}{e}^{-\mathrm{0,6}}$

≈ 0.71

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,3}{e}^{-\mathrm{0,6}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(-2+3\right)·e^{\mathrm{0,3}\cdot \left(-2\right)}$ = $1·e^{-\mathrm{0,6}}$ = $e^{-\mathrm{0,6}}$ ≈ 0.55

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $e^{-\mathrm{0,6}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e^{-\mathrm{0,6}}$ = $\mathrm{1,3}{e}^{-\mathrm{0,6}}$⋅( $-2$) + c

$e^{-\mathrm{0,6}}$ = $-\mathrm{2,6}{e}^{-\mathrm{0,6}}$ + c | + $\mathrm{2,6}{e}^{-\mathrm{0,6}}$

$\mathrm{3,6}{e}^{-\mathrm{0,6}}$ = c

also c= $\mathrm{3,6}{e}^{-\mathrm{0,6}}$ ≈ 1.98

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,3}{e}^{-\mathrm{0,6}}$⋅x + $\mathrm{3,6}{e}^{-\mathrm{0,6}}$ oder y=0.71x +1.98

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(0\right)$

= $2\cdot 1$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(0\right)+3$ = $2\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-\frac{1}{2}$⋅ $0$ + c

$3$ = 0 + c

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $3$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|2) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|2) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

2 = $\left(-2u-2\right)·\left(-2-u\right)$ + $-u^2-2u-2$ | -2

$\left(-2u-2\right)\left(-2-u\right)-u^2-2u-2-2$ = 0

$2u^2+6u+4-u^2-2u-2-2$ = 0

$u^2+4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2+4u+0$	=	0
$u^2+4u$	=	0
$u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-4\right)-2$

= $8-2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-4\right)}^2-2\cdot \left(-4\right)-2$ = $-16+8-2$ = $-10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $-10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-10$ = $6$⋅( $-4$) + c

$-10$ = $-24$ + c | + $24$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x + $14$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0-2$

= $0-2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2-2\cdot 0-2$ = $-0+0-2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-2$⋅0 + c

$-2$ = 0 + c

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-2$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{22,5}}{{\left(\mathrm{2,5}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{22,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{22,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·\left(20-u\right)$ + $\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}$

$-\mathrm{22,5}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$

$\left(-\mathrm{22,5}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{22,5}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2+\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{22,5}\left(20-u\right)+9\left(\mathrm{2,5}u-2\right)$ = 0

$-450+\mathrm{22,5}u+\mathrm{22,5}u-18$ = 0

$45u-468$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$45u-468$	=	0	| $+468$
$45u$	=	$468$	|:$45$
$u$	=	$\frac{52}{5}$ = 10.4

L={ $\frac{52}{5}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 10.4 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($\frac{3}{32}$|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($\frac{3}{32}$|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}$ = $-\frac{3}{2u}$

Wir können also P($\frac{3}{32}$|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{3}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}·\left(\frac{3}{32}-u\right)$ + $\frac{1}{3}{u}^2+1$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{3}{2}\frac{\frac{3}{32}-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2+1-\frac{5}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3}u$

$\left(-\frac{3}{2}\frac{\frac{3}{32}-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2+1-\frac{5}{2}\right)·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\frac{3}{2}\frac{\frac{3}{32}-u}{u}·\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}{u}^2·\frac{2}{3}u+1·\frac{2}{3}u-\frac{5}{2}·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\left(\frac{3}{32}-u\right)+\frac{2}{9}{u}^2·u+\frac{2}{3}u-\frac{5}{3}u$ = 0

$-\frac{3}{32}+u+\frac{2}{9}{u}^3+\frac{2}{3}u-\frac{5}{3}u$ = 0

$\frac{2}{9}{u}^3+0-\frac{3}{32}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9}{u}^3+0-\frac{3}{32}$	=	0
$\frac{2}{9}{u}^3-\frac{3}{32}$	=	0	| $+\frac{3}{32}$
$\frac{2}{9}{u}^3$	=	$\frac{3}{32}$	|⋅$\frac{9}{2}$
$u^3$	=	$\frac{27}{64}$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$	= $\frac{3}{4}$

L={ $\frac{3}{4}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{3}{4}$) = $\frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+1$ = $\frac{19}{16}$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{3}{4}$| $\frac{19}{16}$) bzw. Q(0.75|1.19)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,7}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $\mathrm{2,45}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,7}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{2,7}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{2,7}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{2,7}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{27}{10}$ = $\frac{5}{40}-\frac{15}{40}+\frac{108}{40}$ = $\frac{98}{40}$ = $\frac{98000000}{40000000}$ = $\frac{98000000000000}{40000000000000}$ ≈ 2.45

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $\frac{49}{20}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{49}{20}$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$\frac{49}{20}$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{113}{40}$ = c

also c= $\frac{113}{40}$ ≈ 2.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{113}{40}$ oder y=-0.75x +2.83

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\mathrm{2,825}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\mathrm{2,825}\right)$	=	0
$-3x+\mathrm{11,3}$	=	0	| $-\mathrm{11,3}$
$-3x$	=	$-\mathrm{11,3}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{3,7667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.767.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|22) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|22) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

22 = $\left(-10u+2\right)·\left(1-u\right)$ + $-5u^2+2u+5$ | -22

$\left(-10u+2\right)\left(1-u\right)-5u^2+2u+5-22$ = 0

$10u^2-12u+2-5u^2+2u+5-22$ = 0

$5u^2-10u-15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2-10u-15$ = 0 |:5

$u^2-2u-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+2x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+2+0$

= $-10x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-1\right)+2$

= $10+2$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+5$ = $-5\cdot 1-2+5$ = $-5-2+5$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $12$⋅( $-1$) + c

$-2$ = $-12$ + c | + $12$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$⋅x + $10$

An der Stelle x= $3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+2x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+2+0$

= $-10x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 3+2$

= $-30+2$

= $-28$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-28$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 3^2+2\cdot 3+5$ = $-5\cdot 9+6+5$ = $-45+6+5$ = $-34$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-34$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-34$ = $-28$⋅ $3$ + c

$-34$ = $-84$ + c | + $84$

$50$ = c

also c= $50$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-28$⋅x + $50$