Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4 x$ an der Stelle x= $π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(π) =$ $- 4 \cdot \sin (π) + 4$

= $- 4 \cdot 0 + 4$

= $0 + 4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(π) =$ $4 \cdot \cos (π) + 4 \cdot π$ = $4 \cdot (- 1) + 4 \cdot π$ = $- 4 + 4 \cdot π$ ≈ 8.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $π$ | $- 4 + 4 π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4 + 4 π$ = $4$ ⋅ $π$ + c

$- 4 + 4 π$ = $4 π$ + c | $- 4 π$

$- 4$ = c

also c= $- 4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x $- 4$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \sin (- x + \frac{1}{2} π)$ an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \sin (- x + \frac{1}{2} π)$ ,
also

$f'(x) =$ $- \cos (- x + \frac{1}{2} π) \cdot (- 1 + 0)$

= $- \cos (- x + \frac{1}{2} π) \cdot (- 1)$

= $\cos (- x + \frac{1}{2} π)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2} π) =$ $\cos (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $\cos (0)$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2} π) =$ $- \sin (- (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$ = $- \sin (0)$ = $- 0$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2} π$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $1$ ⋅ $\frac{1}{2} π$ + c

0 = $\frac{1}{2} π$ + c | $- \frac{1}{2} π$

$- \frac{1}{2} π$ = c

also c= $- \frac{1}{2} π$ ≈ -1.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$ ⋅x $- \frac{1}{2} π$ oder y=1x -1.57

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 (x + 2)}$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 (x + 2)}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 (x + 2)} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{5} e^{- 2 (x + 2)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- \frac{2}{5} e^{- 2 (- 2 + 2)}$

= $- \frac{2}{5} e^{- 2 \cdot 0}$

= $- \frac{2}{5} e^{0}$

= $- \frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 (- 2 + 2)}$ = $\frac{1}{5} e^{- 2 \cdot 0}$ = $\frac{1}{5} e^{0}$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $\frac{1}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$\frac{1}{5}$ = $\frac{4}{5}$ + c | $- \frac{4}{5}$

$- \frac{3}{5}$ = c

also c= $- \frac{3}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{5}$ ⋅x $- \frac{3}{5}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{x}$ an der Stelle x= $- 3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{x} + (3 x - 5) \cdot e^{x}$

= $3 e^{x} + (3 x - 5) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (3 + 3 x - 5)$

= $e^{x} \cdot (3 x - 2)$

= $(3 x - 2) \cdot e^{x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 3) =$ $e^{- 3} \cdot (3 \cdot (- 3) - 2)$

= $e^{- 3} \cdot (- 9 - 2)$

= $e^{- 3} \cdot (- 11)$

= $- 11 e^{- 3}$

≈ -0.55

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 11 e^{- 3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 3) =$ $(3 \cdot (- 3) - 5) \cdot e^{- 3}$ = $- 14 \cdot e^{- 3}$ = $- 14 e^{- 3}$ ≈ -0.7

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 3$ | $- 14 e^{- 3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 14 e^{- 3}$ = $- 11 e^{- 3}$ ⋅( $- 3$ ) + c

$- 14 e^{- 3}$ = $33 e^{- 3}$ + c | $- 33 e^{- 3}$

$- 47 e^{- 3}$ = c

also c= $- 47 e^{- 3}$ ≈ -2.34

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 11 e^{- 3}$ ⋅x $- 47 e^{- 3}$ oder y=-0.55x -2.34

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + x$ an der Stelle x= $- π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- π) =$ $- 4 \cdot \sin ((- π)) + 1$

= $- 4 \cdot 0 + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- π) =$ $4 \cdot \cos ((- π)) + (- π)$ = $4 \cdot (- 1) + (- π)$ = $- 4 + (- π)$ ≈ -7.14

Wir erhalten so also den Punkt B( $- π$ | $- 4 - π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4 - π$ = $- 1$ ⋅( $- π$ ) + c

$- 4 - π$ = $π$ + c | $- π$

$- 4 - 2 π$ = c

also c= $- 4 - 2 π$ ≈ -10.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 1$ ⋅x + $- 4 - 2 π$ oder y=-1x -10.28

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-4|57) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $6 x - 5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|57) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|57) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6 u - 5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

57 = $(6 u - 5) \cdot (- 4 - u)$ + $3 u^{2} - 5 u + 1$ | -57

$(6 u - 5) (- 4 - u) + 3 u^{2} - 5 u + 1 - 57$ = 0

$- 6 u^{2} - 19 u + 20 + 3 u^{2} - 5 u + 1 - 57$ = 0

$- 3 u^{2} - 24 u - 36$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 3 u^{2} - 24 u - 36

= 0 |:3

$- u^{2} - 8 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8+4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8-4}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $6 x - 5 + 0$

= $6 x - 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 6) =$ $6 \cdot (- 6) - 5$

= $- 36 - 5$

= $- 41$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 41$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 6) =$ $3 \cdot {(- 6)}^{2} - 5 \cdot (- 6) + 1$ = $3 \cdot 36 + 30 + 1$ = $108 + 30 + 1$ = $139$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 6$ | $139$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$139$ = $- 41$ ⋅( $- 6$ ) + c

$139$ = $246$ + c | $- 246$

$- 107$ = c

also c= $- 107$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 41$ ⋅x $- 107$

An der Stelle x= $- 2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $6 x - 5 + 0$

= $6 x - 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $6 \cdot (- 2) - 5$

= $- 12 - 5$

= $- 17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 17$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $3 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) + 1$ = $3 \cdot 4 + 10 + 1$ = $12 + 10 + 1$ = $23$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $23$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$23$ = $- 17$ ⋅( $- 2$ ) + c

$23$ = $34$ + c | $- 34$

$- 11$ = c

also c= $- 11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 17$ ⋅x $- 11$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{7}{x - 2}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (35|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{7}{{(x - 2)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(35|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(35|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{7}{{(u - 2)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{7}{{(u - 2)}^{2}} \cdot (35 - u)$ + $\frac{7}{u - 2}$

$- 7 \frac{35 - u}{{(u - 2)}^{2}} + \frac{7}{u - 2}$ = 0 | ⋅ ${(u - 2)}^{2}$

$(- 7 \frac{35 - u}{{(u - 2)}^{2}} + \frac{7}{u - 2}) \cdot {(u - 2)}^{2}$ = 0

$- 7 \frac{35 - u}{{(u - 2)}^{2}} \cdot {(u - 2)}^{2} + \frac{7}{u - 2} \cdot {(u - 2)}^{2}$ = 0

$- 7 (35 - u) + 7 (u - 2)$ = 0

$- 245 + 7 u + 7 u - 14$ = 0

$14 u - 259$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$14 u - 259$	=	0	\| $+ 259$
$14 u$	=	$259$	\|: $14$
$u$	=	$\frac{37}{2}$ = 18.5

L={ $\frac{37}{2}$ }

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 18.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f mit f(x) = $\frac{1}{3} x^{2} + 3$ , der den kürzesten Abstand zu P( $6$ | $\frac{9}{2}$ ) hat.

Lösung einblenden

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $6$ | $\frac{9}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{2}{3} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $6$ | $\frac{9}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u}$ = $- \frac{3}{2 u}$

Wir können also P( $6$ | $\frac{9}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{3}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u} \cdot (6 - u)$ + $\frac{1}{3} u^{2} + 3$ | - $\frac{9}{2}$

$- \frac{3}{2} \frac{6 - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 3 - \frac{9}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3} u$

$(- \frac{3}{2} \frac{6 - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 3 - \frac{9}{2}) \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{2} \frac{6 - u}{u} \cdot \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} u^{2} \cdot \frac{2}{3} u + 3 \cdot \frac{2}{3} u - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- (6 - u) + \frac{2}{9} u^{2} \cdot u + 2 u - 3 u$ = 0

$- 6 + u + \frac{2}{9} u^{3} + 2 u - 3 u$ = 0

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - 6$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - 6$	=	0
$\frac{2}{9} u^{3} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$\frac{2}{9} u^{3}$	=	$6$	\|⋅ $\frac{9}{2}$
$u^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

L={ $3$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $3$ ) = $\frac{1}{3} \cdot 3^{2} + 3$ = $6$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $3$ | $6$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 2,4 x^{2} + 5,76$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 2,4 x^{2} + 5,76$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 4,8 x + 0$

= $3 x^{2} - 4,8 x$

$f''(x) =$ $6 x - 4,8$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 4,8$	=	0	\| $+ 4,8$
$6 x$	=	$4,8$	\|: $6$
$x$	=	$0,8$

Die Lösung x= $0,8$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,8$ | $4,736$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 2,4 x^{2} + 5,76$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 4,8 x + 0$

= $3 x^{2} - 4,8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,8) =$ $3 \cdot {0,8}^{2} - 4,8 \cdot 0,8$

= $3 \cdot 0,64 - 3,84$

= $1,92 - 3,84$

= $- 1,92$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,92$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,8) =$ ${0,8}^{3} - 2,4 \cdot {0,8}^{2} + 5,76$ = $0,512 - 2,4 \cdot 0,64 + 5,76$ = $0,512 - 1,536 + 5,76$ = $4,736$ ≈ 4.74

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,8$ | $4,736$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4,736$ = $- 1,92$ ⋅ $0,8$ + c

$4,736$ = $- 1,536$ + c | + $1,536$

$6,272$ = c

also c= $6,272$ ≈ 6.27

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,92$ ⋅x + $6,272$ oder y=-1.92x +6.27

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 1,92 x + 6,272$	=	0	\| $- 6,272$
$- 1,92 x$	=	$- 6,272$	\|:( $- 1,92$ )
$x$	=	$3,2667$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.267.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-3|-28) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x + 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 8 x + 3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-28) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-28) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 8 u + 3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-28 = $(- 8 u + 3) \cdot (- 3 - u)$ + $- 4 u^{2} + 3 u + 1$ | +28

$(- 8 u + 3) (- 3 - u) - 4 u^{2} + 3 u + 1 + 28$ = 0

$8 u^{2} + 21 u - 9 - 4 u^{2} + 3 u + 1 + 28$ = 0

$4 u^{2} + 24 u + 20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

4 u^{2} + 24 u + 20

= 0 |:4

$u^{2} + 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 3 + 0$

= $- 8 x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 5) =$ $- 8 \cdot (- 5) + 3$

= $40 + 3$

= $43$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $43$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 5) =$ $- 4 \cdot {(- 5)}^{2} + 3 \cdot (- 5) + 1$ = $- 4 \cdot 25 - 15 + 1$ = $- 100 - 15 + 1$ = $- 114$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 5$ | $- 114$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 114$ = $43$ ⋅( $- 5$ ) + c

$- 114$ = $- 215$ + c | + $215$

$101$ = c

also c= $101$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $43$ ⋅x + $101$

An der Stelle x= $- 1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 3 + 0$

= $- 8 x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 8 \cdot (- 1) + 3$

= $8 + 3$

= $11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $11$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 1$ = $- 4 \cdot 1 - 3 + 1$ = $- 4 - 3 + 1$ = $- 6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 6$ = $11$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 6$ = $- 11$ + c | + $11$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $11$ ⋅x + $5$

Aufgabenbeispiele von Tangenten

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= -6 :

An der Stelle x= -2 :

Tangente von außen Anwendungen

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(6| 9 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= -5 :

An der Stelle x= -1 :

An der Stelle x= $- 6$ :

An der Stelle x= $- 2$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $6$ | $\frac{9}{2}$ ) verläuft.

An der Stelle x= $- 5$ :

An der Stelle x= $- 1$ :