Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+0$

= $12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $12\cdot 1$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-1\right)}^3+4$ = $4\cdot \left(-1\right)+4$ = $-4+4$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $12$⋅( $-1$) + c

0 = $-12$ + c | + $12$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$⋅x + $12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-{\left(-x+3\right)}^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-x+3\right)}^2·\left(-1+0\right)+0$

= $-3{\left(-x+3\right)}^2·\left(-1\right)$

= $3{\left(-x+3\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(-0+3\right)}^2$

= $3\cdot {\left(3\right)}^2$

= $27$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $27$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-{\left(-0+3\right)}^3-5$ = $-5-27$ = $-32$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-32$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-32$ = $27$⋅$0$ + c

$-32$ = 0 + c

$-32$ = c

also c= $-32$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $27$⋅x $-32$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{-\left(x+2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{-\left(x+2\right)}·\left(-1\right)$

= $\frac{7}{2}{e}^{-\left(x+2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{-\left(-2+2\right)}$

= $\frac{7}{2}{e}^{-1·0}$

= $\frac{7}{2}{e}^0$

= $\frac{7}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{7}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{-\left(-2+2\right)}$ = $-\frac{7}{2}{e}^{-1·0}$ = $-\frac{7}{2}{e}^0$ = $-\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{2}$ = $\frac{7}{2}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{7}{2}$ = $-7$ + c | + $7$

$\frac{7}{2}$ = c

also c= $\frac{7}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{7}{2}$⋅x + $\frac{7}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $e^{-2x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-2e^{-2\cdot 2+3}$

= $-2e^{-4+3}$

= $-2e^{-1}$

≈ -0.74

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2e^{-1}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $e^{-2\cdot 2+3}$ = $e^{-4+3}$ = $e^{-1}$ ≈ 0.37

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $e^{-1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e^{-1}$ = $-2e^{-1}$⋅$2$ + c

$e^{-1}$ = $-4e^{-1}$ + c | + $4e^{-1}$

$5e^{-1}$ = c

also c= $5e^{-1}$ ≈ 1.84

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2e^{-1}$⋅x + $5e^{-1}$ oder y=-0.74x +1.84

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-3\cdot \sin \left(2\pi \right)+3$

= $-3\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left(2\pi \right)+3\cdot \left(2\pi \right)$ = $3\cdot 1+3\cdot \left(2\pi \right)$ = $3+3\cdot \left(2\pi \right)$ ≈ 21.85

Wir erhalten so also den Punkt B( $2\pi$| $3+6\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3+6\pi$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $2\pi$ + c

$3+6\pi$ = $-\frac{2}{3}\pi$ + c | + $\frac{2}{3}\pi$

$3+\frac{20}{3}\pi$ = c

also c= $3+\frac{20}{3}\pi$ ≈ 23.94

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $3+\frac{20}{3}\pi$ oder y=-0.33x +23.94

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-23) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|-23) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-23 = $\left(-2u+2\right)·\left(-4-u\right)$ + $-u^2+2u-3$ | +23

$\left(-2u+2\right)\left(-4-u\right)-u^2+2u-3+23$ = 0

$2u^2+6u-8-u^2+2u-3+23$ = 0

$u^2+8u+12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2+8u+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{2}$ = $-6$

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+2x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+2+0$

= $-2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-6\right)+2$

= $12+2$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-6\right)}^2+2\cdot \left(-6\right)-3$ = $-36-12-3$ = $-51$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $-51$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-51$ = $14$⋅( $-6$) + c

$-51$ = $-84$ + c | + $84$

$33$ = c

also c= $33$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$⋅x + $33$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+2x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+2+0$

= $-2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)+2$

= $4+2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)-3$ = $-4-4-3$ = $-11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-11$ = $6$⋅( $-2$) + c

$-11$ = $-12$ + c | + $12$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x + $1$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{7,5}}{{\left(\mathrm{2,5}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(15|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(15|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{7,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{7,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·\left(15-u\right)$ + $\frac{3}{\mathrm{2,5}u-3}$

$-\mathrm{7,5}\frac{15-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{3}{\mathrm{2,5}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$

$\left(-\mathrm{7,5}\frac{15-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{3}{\mathrm{2,5}u-3}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{7,5}\frac{15-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2+\frac{3}{\mathrm{2,5}u-3}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{7,5}\left(15-u\right)+3\left(\mathrm{2,5}u-3\right)$ = 0

$-\mathrm{112,5}+\mathrm{7,5}u+\mathrm{7,5}u-9$ = 0

$15u-\mathrm{121,5}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$15u-\mathrm{121,5}$	=	0	| $+\mathrm{121,5}$
$15u$	=	$\mathrm{121,5}$	|:$15$
$u$	=	$\mathrm{8,1}$

L={ $\mathrm{8,1}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 8.1 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $2$)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $2$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{4,851}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{4,165}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{4,851}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{4,851}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{4,851}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{4,851}$ = $\mathrm{4,165}$ ≈ 4.17

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{4,165}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,165}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{4,165}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{5,194}$ = c

also c= $\mathrm{5,194}$ ≈ 5.19

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{5,194}$ oder y=-1.47x +5.19

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{5,194}$	=	0	| $-\mathrm{5,194}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{5,194}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{3,5333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.533.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|3) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|3) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

3 = $\left(-10u+1\right)·\left(2-u\right)$ + $-5u^2+u+1$ | -3

$\left(-10u+1\right)\left(2-u\right)-5u^2+u+1-3$ = 0

$10u^2-21u+2-5u^2+u+1-3$ = 0

$5u^2-20u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2-20u+0$	=	0
$5u^2-20u$	=	0
$5u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+1+0$

= $-10x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-10\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^2+0+1$ = $-5\cdot 0+0+1$ = $0+0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $1$⋅0 + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x + $1$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+1+0$

= $-10x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 4+1$

= $-40+1$

= $-39$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-39$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 4^2+4+1$ = $-5\cdot 16+4+1$ = $-80+4+1$ = $-75$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-75$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-75$ = $-39$⋅ $4$ + c

$-75$ = $-156$ + c | + $156$

$81$ = c

also c= $81$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-39$⋅x + $81$