Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (x) + 4$ an der Stelle x= $- \frac{1}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\cos (x) + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- \sin (x) + 0$

= $- \sin (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- \frac{1}{2} π) =$ $- \sin ((- \frac{1}{2} π))$

= $- (- 1)$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- \frac{1}{2} π) =$ $\cos ((- \frac{1}{2} π)) + 4$ = $0 + 4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- \frac{1}{2} π$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $1$ ⋅( $- \frac{1}{2} π$ ) + c

$4$ = $- \frac{1}{2} π$ + c | + $\frac{1}{2} π$

$4 + \frac{1}{2} π$ = c

also c= $4 + \frac{1}{2} π$ ≈ 5.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$ ⋅x + $4 + \frac{1}{2} π$ oder y=1x +5.57

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 {(x - 1)}^{2} + 6 x$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 {(x - 1)}^{2} + 6 x$ ,
also

$f'(x) =$ $6 (x - 1) \cdot (1 + 0) + 6$

= $6 (x - 1) \cdot (1) + 6$

= $6 (x - 1) + 6$

= $6 \cdot x + 6 \cdot (- 1) + 6$

= $6 x - 6 + 6$

= $6 x + 0$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $6 \cdot 2$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $3 \cdot {(2 - 1)}^{2} + 6 \cdot 2$ = $3 \cdot 1^{2} + 12$ = $3 \cdot 1 + 12$ = $3 + 12$ = $15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $15$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$15$ = $12$ ⋅ $2$ + c

$15$ = $24$ + c | $- 24$

$- 9$ = c

also c= $- 9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$ ⋅x $- 9$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot e^{x - 3}$ an der Stelle x= $3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x \cdot e^{x - 3}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 \cdot 1 \cdot e^{x - 3} + 3 x \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $3 e^{x - 3} + 3 x \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (3 + 3 x)$

= $e^{x - 3} \cdot (3 x + 3)$

= $(3 x + 3) \cdot e^{x - 3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $e^{3 - 3} \cdot (3 \cdot 3 + 3)$

= $e^{0} \cdot (9 + 3)$

= $1 \cdot 12$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $3 \cdot 3 \cdot e^{3 - 3}$ = $3 \cdot 3 \cdot e^{0}$ = $3 \cdot 3 \cdot 1$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$ | $9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $12$ ⋅ $3$ + c

$9$ = $36$ + c | $- 36$

$- 27$ = c

also c= $- 27$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$ ⋅x $- 27$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 2}$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- e^{- x + 2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $e^{- 0 + 2}$

= $e^{2}$

≈ 7.39

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $e^{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- e^{- 0 + 2}$ = $- e^{2}$ ≈ -7.39

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $- e^{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- e^{2}$ = $e^{2}$ ⋅ $0$ + c

$- e^{2}$ = 0 + c

$- e^{2}$ = c

also c= $- e^{2}$ ≈ -7.39

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $e^{2}$ ⋅x $- e^{2}$ oder y=7.39x -7.39

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 2 x$ an der Stelle x= $2 π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 2 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2 π) =$ $- 3 \cdot \sin (2 π) + 2$

= $- 3 \cdot 0 + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2 π) =$ $3 \cdot \cos (2 π) + 2 \cdot (2 π)$ = $3 \cdot 1 + 2 \cdot (2 π)$ = $3 + 2 \cdot (2 π)$ ≈ 15.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $2 π$ | $3 + 4 π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3 + 4 π$ = $- \frac{1}{2}$ ⋅ $2 π$ + c

$3 + 4 π$ = $- π$ + c | + $π$

$3 + 5 π$ = c

also c= $3 + 5 π$ ≈ 18.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{2}$ ⋅x + $3 + 5 π$ oder y=-0.5x +18.71

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(0|-5) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 x + 4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2 u + 4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-5 = $(2 u + 4) \cdot (0 - u)$ + $u^{2} + 4 u - 1$ | +5

$- (2 u + 4) u + u^{2} + 4 u - 1 + 5$ = 0

$- 2 u^{2} - 4 u + u^{2} + 4 u - 1 + 5$ = 0

$- u^{2} + 0 + 4$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$- u^{2} + 0 + 4$	=	0
$- u^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- u^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$u^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
u₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x + 4 + 0$

= $2 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $2 \cdot (- 2) + 4$

= $- 4 + 4$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) - 1$ = $4 - 8 - 1$ = $- 5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 5$ = 0⋅( $- 2$ ) + c

$- 5$ = 0 + c

$- 5$ = c

also c= $- 5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $- 5$

An der Stelle x= $2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{2} + 4 x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x + 4 + 0$

= $2 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $2 \cdot 2 + 4$

= $4 + 4$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $2^{2} + 4 \cdot 2 - 1$ = $4 + 8 - 1$ = $11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $11$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$11$ = $8$ ⋅ $2$ + c

$11$ = $16$ + c | $- 16$

$- 5$ = c

also c= $- 5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$ ⋅x $- 5$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{8}{0,2 x - 3}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (50|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{1,6}{{(0,2 x - 3)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(50|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(50|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{1,6}{{(0,2 u - 3)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{1,6}{{(0,2 u - 3)}^{2}} \cdot (50 - u)$ + $\frac{8}{0,2 u - 3}$

$- 1,6 \frac{50 - u}{{(0,2 u - 3)}^{2}} + \frac{8}{0,2 u - 3}$ = 0 | ⋅ ${(0,2 u - 3)}^{2}$

$(- 1,6 \frac{50 - u}{{(0,2 u - 3)}^{2}} + \frac{8}{0,2 u - 3}) \cdot {(0,2 u - 3)}^{2}$ = 0

$- 1,6 \frac{50 - u}{{(0,2 u - 3)}^{2}} \cdot {(0,2 u - 3)}^{2} + \frac{8}{0,2 u - 3} \cdot {(0,2 u - 3)}^{2}$ = 0

$- 1,6 (50 - u) + 8 (0,2 u - 3)$ = 0

$- 80 + 1,6 u + 1,6 u - 24$ = 0

$3,2 u - 104$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3,2 u - 104$	=	0	\| $+ 104$
$3,2 u$	=	$104$	\|: $3,2$
$u$	=	$32,5$

L={ $32,5$ }

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 32.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3} x^{2} + 3$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

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Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{2}{3} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u}$ = $- \frac{3}{2 u}$

Wir können also P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{3}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u} \cdot (\frac{3}{32} - u)$ + $\frac{1}{3} u^{2} + 3$ | - $\frac{9}{2}$

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{32} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 3 - \frac{9}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3} u$

$(- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{32} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 3 - \frac{9}{2}) \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{32} - u}{u} \cdot \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} u^{2} \cdot \frac{2}{3} u + 3 \cdot \frac{2}{3} u - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- (\frac{3}{32} - u) + \frac{2}{9} u^{2} \cdot u + 2 u - 3 u$ = 0

$- \frac{3}{32} + u + \frac{2}{9} u^{3} + 2 u - 3 u$ = 0

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{32}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{32}$	=	0
$\frac{2}{9} u^{3} - \frac{3}{32}$	=	0	\| $+ \frac{3}{32}$
$\frac{2}{9} u^{3}$	=	$\frac{3}{32}$	\|⋅ $\frac{9}{2}$
$u^{3}$	=	$\frac{27}{64}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$	= $\frac{3}{4}$

L={ $\frac{3}{4}$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{3}{4}$ ) = $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2} + 3$ = $\frac{51}{16}$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{3}{4}$ | $\frac{51}{16}$ ) bzw. Q(0.75|3.19)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 2,7 x^{2} + 8,748$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

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Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 2,7 x^{2} + 8,748$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 5,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 5,4 x$

$f''(x) =$ $6 x - 5,4$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 5,4$	=	0	\| $+ 5,4$
$6 x$	=	$5,4$	\|: $6$
$x$	=	$0,9$

Die Lösung x= $0,9$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,9$ | $7,29$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 2,7 x^{2} + 8,748$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 5,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 5,4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,9) =$ $3 \cdot {0,9}^{2} - 5,4 \cdot 0,9$

= $3 \cdot 0,81 - 4,86$

= $2,43 - 4,86$

= $- 2,43$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2,43$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,9) =$ ${0,9}^{3} - 2,7 \cdot {0,9}^{2} + 8,748$ = $0,729 - 2,7 \cdot 0,81 + 8,748$ = $0,729 - 2,187 + 8,748$ = $7,29$ ≈ 7.29

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,9$ | $7,29$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7,29$ = $- 2,43$ ⋅ $0,9$ + c

$7,29$ = $- 2,187$ + c | + $2,187$

$9,477$ = c

also c= $9,477$ ≈ 9.48

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2,43$ ⋅x + $9,477$ oder y=-2.43x +9.48

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 2,43 x + 9,477$	=	0	\| $- 9,477$
$- 2,43 x$	=	$- 9,477$	\|:( $- 2,43$ )
$x$	=	$3,9$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.9.