Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(\pi \right)+2$ = $4\cdot 0+2$ = $0+2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-4$⋅ $\pi$ + c

$2$ = $-4\pi$ + c | + $4\pi$

$2+4\pi$ = c

also c= $2+4\pi$ ≈ 14.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $2+4\pi$ oder y=-4x +14.57

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(2x-3\right)}^2+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(2x-3\right)·\left(2+0\right)+0$

= $-6\left(2x-3\right)·\left(2\right)$

= $-12\left(2x-3\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-24\cdot 0+36$

= $0+36$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(2\cdot 0-3\right)}^2+5$ = $-3\cdot {\left(0-3\right)}^2+5$ = $-3\cdot {\left(-3\right)}^2+5$ = $-3\cdot 9+5$ = $-27+5$ = $-22$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-22$ = $36$⋅$0$ + c

$-22$ = 0 + c

$-22$ = c

also c= $-22$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x $-22$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\left(x-3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\left(x-3\right)}·2$

= $3e^{2\left(x-3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3e^{2\left(3-3\right)}$

= $3e^{2·0}$

= $3e^0$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{2\left(3-3\right)}$ = $\frac{3}{2}{e}^{2·0}$ = $\frac{3}{2}{e}^0$ = $\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{3}{2}$ = $3$⋅ $3$ + c

$\frac{3}{2}$ = $9$ + c | $-9$

$-\frac{15}{2}$ = c

also c= $-\frac{15}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-\frac{15}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x·e^x+x^2·e^x$

= $2x·e^x+x^2·e^x$

= $e^x·\left(x^2+2x\right)$

= $\left(x^2+2x\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-1}·\left({\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)\right)$

= $e^{-1}·\left(1-2\right)$

= $e^{-1}·\left(1-2\right)$

= $e^{-1}·\left(-1\right)$

= $-e^{-1}$

≈ -0.37

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-e^{-1}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^2·e^{-1}$ = $e^{-1}$ ≈ 0.37

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $e^{-1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e^{-1}$ = $-e^{-1}$⋅( $-1$) + c

$e^{-1}$ = $e^{-1}$ + c | $-e^{-1}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-e^{-1}$⋅x +0 oder y=-0.37x

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+1$

= $4\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\pi$ = $4\cdot 1+\frac{1}{2}\pi$ = $4+\frac{1}{2}\pi$ ≈ 5.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $4+\frac{1}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4+\frac{1}{2}\pi$ = $-1$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$4+\frac{1}{2}\pi$ = $-\frac{1}{2}\pi$ + c | + $\frac{1}{2}\pi$

$4+\pi$ = c

also c= $4+\pi$ ≈ 7.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-1$⋅x + $4+\pi$ oder y=-1x +7.14

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|-3) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|-3) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-3 = $\left(2u-2\right)·\left(-1-u\right)$ + $u^2-2u-2$ | +3

$\left(2u-2\right)\left(-1-u\right)+u^2-2u-2+3$ = 0

$-2u^2+2+u^2-2u-2+3$ = 0

$-u^2-2u+3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2-2u+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

= $2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-3\right)-2$

= $-6-2$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)-2$ = $9+6-2$ = $13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$13$ = $-8$⋅( $-3$) + c

$13$ = $24$ + c | $-24$

$-11$ = c

also c= $-11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x $-11$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-2+0$

= $2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 1-2$

= $2-2$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^2-2\cdot 1-2$ = $1-2-2$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = 0⋅ $1$ + c

$-3$ = 0 + c

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-3$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(30|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(30|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{6}{{\left(u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{6}{{\left(u-3\right)}^2}·\left(30-u\right)$ + $\frac{6}{u-3}$

$-6\frac{30-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{6}{u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-3\right)}^2$

$\left(-6\frac{30-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{6}{u-3}\right)·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-6\frac{30-u}{{\left(u-3\right)}^2}·{\left(u-3\right)}^2+\frac{6}{u-3}·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-6\left(30-u\right)+6\left(u-3\right)$ = 0

$-180+6u+6u-18$ = 0

$12u-198$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$12u-198$	=	0	| $+198$
$12u$	=	$198$	|:$12$
$u$	=	$\frac{33}{2}$ = 16.5

L={ $\frac{33}{2}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 16.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{12,6}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{10,6}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{12,6}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{12,6}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{12,6}$ = $1-3+\mathrm{12,6}$ = $\mathrm{10,6}$ ≈ 10.6

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{10,6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{10,6}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{10,6}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{13,6}$ = c

also c= $\mathrm{13,6}$ ≈ 13.6

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{13,6}$ oder y=-3x +13.6

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{13,6}$	=	0	| $-\mathrm{13,6}$
$-3x$	=	$-\mathrm{13,6}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{4,5333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.533.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|-1) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|-1) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-1 = $\left(-4u+2\right)·\left(-1-u\right)$ + $-2u^2+2u-5$ | +1

$\left(-4u+2\right)\left(-1-u\right)-2u^2+2u-5+1$ = 0

$4u^2+2u-2-2u^2+2u-5+1$ = 0

$2u^2+4u-6$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2+4u-6$ = 0 |:2

$u^2+2u-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+2+0$

= $-4x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-3\right)+2$

= $12+2$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-3\right)}^2+2\cdot \left(-3\right)-5$ = $-2\cdot 9-6-5$ = $-18-6-5$ = $-29$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-29$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-29$ = $14$⋅( $-3$) + c

$-29$ = $-42$ + c | + $42$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$⋅x + $13$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+2+0$

= $-4x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1+2$

= $-4+2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2+2\cdot 1-5$ = $-2\cdot 1+2-5$ = $-2+2-5$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-2$⋅ $1$ + c

$-5$ = $-2$ + c | + $2$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-3$