Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \cos \left(0\right)$

= $4\cdot 1$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(0\right)+1$ = $4\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $4$⋅ $0$ + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3{\left(-3x+6\right)}^3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(-3x+6\right)}^2·\left(-3+0\right)$

= $9{\left(-3x+6\right)}^2·\left(-3\right)$

= $-27{\left(-3x+6\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-27\cdot {\left(-3\cdot 2+6\right)}^2$

= $-27\cdot {\left(-6+6\right)}^2$

= $-27\cdot 0^2$

= $-27\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(-3\cdot 2+6\right)}^3$ = $3\cdot {\left(-6+6\right)}^3$ = $3\cdot 0^3$ = $3\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B($2$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅$2$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{x-1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{x-1}·1$

= $-\frac{7}{5}{e}^{x-1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{1-1}$

= $-\frac{7}{5}{e}^0$

= $-\frac{7}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{7}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{1-1}$ = $-\frac{7}{5}{e}^0$ = $-\frac{7}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{7}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{5}$ = $-\frac{7}{5}$⋅ $1$ + c

$-\frac{7}{5}$ = $-\frac{7}{5}$ + c | + $\frac{7}{5}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{7}{5}$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3·e^{\mathrm{0,8}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·3x^2·e^{\mathrm{0,8}x}+2x^3·e^{\mathrm{0,8}x}·\mathrm{0,8}$

= $6x^2·e^{\mathrm{0,8}x}+2x^3·\mathrm{0,8}{e}^{\mathrm{0,8}x}$

= $6x^2·e^{\mathrm{0,8}x}+\mathrm{1,6}{x}^3·e^{\mathrm{0,8}x}$

= $e^{\mathrm{0,8}x}·\left(6x^2+\mathrm{1,6}{x}^3\right)$

= $e^{\mathrm{0,8}x}·\left(\mathrm{1,6}{x}^3+6x^2\right)$

= $\left(\mathrm{1,6}{x}^3+6x^2\right)·e^{\mathrm{0,8}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,8}\cdot \left(-3\right)}·\left(\mathrm{1,6}\cdot {\left(-3\right)}^3+6\cdot {\left(-3\right)}^2\right)$

= $e^{-\mathrm{2,4}}·\left(\mathrm{1,6}\cdot \left(-27\right)+6\cdot 9\right)$

= $e^{-\mathrm{2,4}}·\left(-\mathrm{43,2}+54\right)$

= $e^{-\mathrm{2,4}}·\mathrm{10,8}$

= $\mathrm{10,8}{e}^{-\mathrm{2,4}}$

≈ 0.98

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{10,8}{e}^{-\mathrm{2,4}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·{\left(-3\right)}^3·e^{\mathrm{0,8}\cdot \left(-3\right)}$ = $2·\left(-27\right)·e^{-\mathrm{2,4}}$ = $-54e^{-\mathrm{2,4}}$ ≈ -4.9

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-54e^{-\mathrm{2,4}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-54e^{-\mathrm{2,4}}$ = $\mathrm{10,8}{e}^{-\mathrm{2,4}}$⋅( $-3$) + c

$-54e^{-\mathrm{2,4}}$ = $-\mathrm{32,4}{e}^{-\mathrm{2,4}}$ + c | + $\mathrm{32,4}{e}^{-\mathrm{2,4}}$

$-\mathrm{21,6}{e}^{-\mathrm{2,4}}$ = c

also c= $-\mathrm{21,6}{e}^{-\mathrm{2,4}}$ ≈ -1.96

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{10,8}{e}^{-\mathrm{2,4}}$⋅x $-\mathrm{21,6}{e}^{-\mathrm{2,4}}$ oder y=0.98x -1.96

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 1-1$

= $10-1$

= $9$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{9}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{9}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 1^2-1$ = $5\cdot 1-1$ = $5-1$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-\frac{1}{9}$⋅ $1$ + c

$4$ = $-\frac{1}{9}$ + c | + $\frac{1}{9}$

$\frac{37}{9}$ = c

also c= $\frac{37}{9}$ ≈ 4.11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{9}$⋅x + $\frac{37}{9}$ oder y=-0.11x +4.11

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-3) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-3) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-3 = $\left(2u+2\right)·\left(0-u\right)$ + $u^2+2u+1$ | +3

$-\left(2u+2\right)u+u^2+2u+1+3$ = 0

$-2u^2-2u+u^2+2u+1+3$ = 0

$-u^2+0+4$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2+0+4$	=	0
$-u^2+4$	=	0	| $-4$
$-u^2$	=	$-4$	|: $\left(-1\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+2+0$

= $2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-2\right)+2$

= $-4+2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)+1$ = $4-4+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-2$⋅( $-2$) + c

$1$ = $4$ + c | $-4$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-3$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+2+0$

= $2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 2+2$

= $4+2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^2+2\cdot 2+1$ = $4+4+1$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $6$⋅ $2$ + c

$9$ = $12$ + c | $-12$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-3$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{2,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)u-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{2,4}{u}^2-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,2}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,6}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,6}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,6}$

= $-3\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{1,44}$

= $-\mathrm{1,08}+\mathrm{1,44}$

= $\mathrm{0,36}$

≈ 0.36

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,36}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,6}}^3+\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,6}}^2$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,36}$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{0,432}$ = $\mathrm{0,216}$ ≈ 0.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,216}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,36}$⋅ $\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,216}$ + c | $-\mathrm{0,216}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,36}$⋅x +0 oder y=0.36x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,36}x$	=	$\mathrm{1,256}$	|:$\mathrm{0,36}$
$x$	=	$\mathrm{3,4889}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 3.489.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($2$|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($2$|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($2$|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(2-u\right)$ + $u^2+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}+u^2+2-\frac{5}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}+u^2+2-\frac{5}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}·2u+u^2·2u+2·2u-\frac{5}{2}·2u$ = 0

$-\left(2-u\right)+2u^2·u+4u-5u$ = 0

$-2+u+2u^3+4u-5u$ = 0

$2u^3+0-2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-2$	=	0
$2u^3-2$	=	0	| $+2$
$2u^3$	=	$2$	|:$2$
$u^3$	=	$1$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $1$) = $1^2+2$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $1$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,938}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{7,252}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,938}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{7,938}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{7,938}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{7,938}$ = $\mathrm{7,252}$ ≈ 7.25

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{7,252}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{7,252}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{7,252}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{8,281}$ = c

also c= $\mathrm{8,281}$ ≈ 8.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{8,281}$ oder y=-1.47x +8.28

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{8,281}$	=	0	| $-\mathrm{8,281}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{8,281}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{5,6333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.633.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|72) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|72) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

72 = $\left(8u+5\right)·\left(4-u\right)$ + $4u^2+5u+4$ | -72

$\left(8u+5\right)\left(4-u\right)+4u^2+5u+4-72$ = 0

$-8u^2+27u+20+4u^2+5u+4-72$ = 0

$-4u^2+32u-48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2+32u-48$ = 0 |:4

$-u^2+8u-12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-12\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{-2}$ = $6$

L={ $2$; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+5x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+5+0$

= $8x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 2+5$

= $16+5$

= $21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $21$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^2+5\cdot 2+4$ = $4\cdot 4+10+4$ = $16+10+4$ = $30$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $30$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$30$ = $21$⋅ $2$ + c

$30$ = $42$ + c | $-42$

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $21$⋅x $-12$

An der Stelle x= $6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+5x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+5+0$

= $8x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 6+5$

= $48+5$

= $53$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $53$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 6^2+5\cdot 6+4$ = $4\cdot 36+30+4$ = $144+30+4$ = $178$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$| $178$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$178$ = $53$⋅ $6$ + c

$178$ = $318$ + c | $-318$

$-140$ = c

also c= $-140$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $53$⋅x $-140$