Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 1+3$

= $8+3$

= $11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^2+3\cdot 1$ = $4\cdot 1+3$ = $4+3$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $11$⋅ $1$ + c

$7$ = $11$ + c | $-11$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $11$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(-3x+6\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(-3x+6\right)·\left(-3+0\right)$

= $-6\left(-3x+6\right)·\left(-3\right)$

= $18\left(-3x+6\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $18\left(-3\cdot 0+6\right)$

= $18\left(0+6\right)$

= $108$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $108$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(-3\cdot 0+6\right)}^2$ = $-3\cdot {\left(0+6\right)}^2$ = $-3\cdot 6^2$ = $-3\cdot 36$ = $-108$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-108$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-108$ = $108$⋅$0$ + c

$-108$ = 0 + c

$-108$ = c

also c= $-108$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $108$⋅x $-108$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x·e^{x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·e^{x+3}-2x·e^{x+3}·1$

= $-2e^{x+3}-2x·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(-2-2x\right)$

= $e^{x+3}·\left(-2x-2\right)$

= $\left(-2x-2\right)·e^{x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-3+3}·\left(-2\cdot \left(-3\right)-2\right)$

= $e^0·\left(6-2\right)$

= $1·4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·\left(-3\right)·e^{-3+3}$ = $-2·\left(-3\right)·e^0$ = $-2·\left(-3\right)·1$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $4$⋅( $-3$) + c

$6$ = $-12$ + c | + $12$

$18$ = c

also c= $18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $18$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(x^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(x^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $2x·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(x^2+4\right)·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $2x·e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}{x}^2+\mathrm{2,4}+2x\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}{x}^2+2x+\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}{x}^2+2x+\mathrm{2,4}\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-1\right)}·\left(\mathrm{0,6}\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}}·\left(\mathrm{0,6}\cdot 1-2+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}}·\left(\mathrm{0,6}-2+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,6}}·1$

= $e^{-\mathrm{0,6}}$

≈ 0.55

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $e^{-\mathrm{0,6}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left({\left(-1\right)}^2+4\right)·e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-1\right)}$ = $\left(1+4\right)·e^{-\mathrm{0,6}}$ = $5·e^{-\mathrm{0,6}}$ = $5e^{-\mathrm{0,6}}$ ≈ 2.74

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $5e^{-\mathrm{0,6}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5e^{-\mathrm{0,6}}$ = $e^{-\mathrm{0,6}}$⋅( $-1$) + c

$5e^{-\mathrm{0,6}}$ = $-e^{-\mathrm{0,6}}$ + c | + $e^{-\mathrm{0,6}}$

$6e^{-\mathrm{0,6}}$ = c

also c= $6e^{-\mathrm{0,6}}$ ≈ 3.29

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $e^{-\mathrm{0,6}}$⋅x + $6e^{-\mathrm{0,6}}$ oder y=0.55x +3.29

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$3\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+4$

= $3\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+4\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $3\cdot \left(-1\right)+4\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-3+4\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ ≈ -9.28

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\frac{1}{2}\pi$| $-3-2\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3-2\pi$ = $-\frac{1}{4}$⋅( $-\frac{1}{2}\pi$) + c

$-3-2\pi$ = $\frac{1}{8}\pi$ + c | $-\frac{1}{8}\pi$

$-3-\frac{17}{8}\pi$ = c

also c= $-3-\frac{17}{8}\pi$ ≈ -9.68

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x + $-3-\frac{17}{8}\pi$ oder y=-0.25x -9.68

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|21) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|21) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

21 = $\left(-8u-5\right)·\left(-1-u\right)$ + $-4u^2-5u+4$ | -21

$\left(-8u-5\right)\left(-1-u\right)-4u^2-5u+4-21$ = 0

$8u^2+13u+5-4u^2-5u+4-21$ = 0

$4u^2+8u-12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+8u-12$ = 0 |:4

$u^2+2u-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-5x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-5+0$

= $-8x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-3\right)-5$

= $24-5$

= $19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-3\right)}^2-5\cdot \left(-3\right)+4$ = $-4\cdot 9+15+4$ = $-36+15+4$ = $-17$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-17$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-17$ = $19$⋅( $-3$) + c

$-17$ = $-57$ + c | + $57$

$40$ = c

also c= $40$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $19$⋅x + $40$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-5x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-5+0$

= $-8x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 1-5$

= $-8-5$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1^2-5\cdot 1+4$ = $-4\cdot 1-5+4$ = $-4-5+4$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-13$⋅ $1$ + c

$-5$ = $-13$ + c | + $13$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x + $8$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,4}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}·\left(20-u\right)$ + $\frac{4}{\mathrm{0,4}u-2}$

$-\mathrm{1,6}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}+\frac{4}{\mathrm{0,4}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2$

$\left(-\mathrm{1,6}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}+\frac{4}{\mathrm{0,4}u-2}\right)·{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,6}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2+\frac{4}{\mathrm{0,4}u-2}·{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,6}\left(20-u\right)+4\left(\mathrm{0,4}u-2\right)$ = 0

$-32+\mathrm{1,6}u+\mathrm{1,6}u-8$ = 0

$\mathrm{3,2}u-40$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{3,2}u-40$	=	0	| $+40$
$\mathrm{3,2}u$	=	$40$	|:$\mathrm{3,2}$
$u$	=	$\mathrm{12,5}$

L={ $\mathrm{12,5}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 12.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+9$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $7$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+9$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+9$ = $1-3\cdot 1+9$ = $1-3+9$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-3$⋅$1$ + c

$7$ = $-3$ + c | + $3$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $10$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+10$	=	0	| $-10$
$-3x$	=	$-10$	|:($-3$)
$x$	=	$\frac{10}{3}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.333.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{3,375}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $\frac{\mathrm{12,5}}{4}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{3,375}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{3,375}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{3,375}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{3,375}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{27}{8}$ = $\frac{25}{8}$ ≈ 3.13

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $\frac{25}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{25}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$\frac{25}{8}$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{7}{2}$ = c

also c= $\frac{7}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{7}{2}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}\right)$	=	0
$-3x+14$	=	0	| $-14$
$-3x$	=	$-14$	|:($-3$)
$x$	=	$\frac{14}{3}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.667.