Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (x) + 3$ an der Stelle x= $\frac{3}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\cos (x) + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- \sin (x) + 0$

= $- \sin (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{3}{2} π) =$ $- \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- (- 1)$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{3}{2} π) =$ $\cos (\frac{3}{2} π) + 3$ = $0 + 3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2} π$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $1$ ⋅ $\frac{3}{2} π$ + c

$3$ = $\frac{3}{2} π$ + c | $- \frac{3}{2} π$

$3 - \frac{3}{2} π$ = c

also c= $3 - \frac{3}{2} π$ ≈ -1.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$ ⋅x + $3 - \frac{3}{2} π$ oder y=1x -1.71

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- 3 x + 6}$ an der Stelle x= $4$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{- 3 x + 6}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- 3 x + 6)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{{(- 3 x + 6)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{{(- 3 x + 6)}^{2}}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{3}{{(- 3 \cdot 4 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{3}{{(- 12 + 6)}^{2}}$

= $- \frac{3}{{(- 6)}^{2}}$

= $- 3 \cdot (\frac{1}{36})$

= $- \frac{1}{12}$

≈ -0.08

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{1}{12}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $- \frac{1}{- 3 \cdot 4 + 6}$ = $- \frac{1}{- 12 + 6}$ = $- \frac{1}{(- 6)}$ = $- (- \frac{1}{6})$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$ | $\frac{1}{6}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{12}$ ⋅ $4$ + c

$\frac{1}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$ = c

also c= $\frac{1}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{1}{12}$ ⋅x + $\frac{1}{2}$ oder y=-0.08x +0.5

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4} e^{- 2 (x - 3)}$ an der Stelle x= $3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{3}{4} e^{- 2 (x - 3)}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{3}{4} e^{- 2 (x - 3)} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 (x - 3)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $\frac{3}{2} e^{- 2 (3 - 3)}$

= $\frac{3}{2} e^{- 2 \cdot 0}$

= $\frac{3}{2} e^{0}$

= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $- \frac{3}{4} e^{- 2 (3 - 3)}$ = $- \frac{3}{4} e^{- 2 \cdot 0}$ = $- \frac{3}{4} e^{0}$ = $- \frac{3}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$ | $- \frac{3}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{3}{4}$ = $\frac{3}{2}$ ⋅ $3$ + c

$- \frac{3}{4}$ = $\frac{9}{2}$ + c | $- \frac{9}{2}$

$- \frac{21}{4}$ = c

also c= $- \frac{21}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{3}{2}$ ⋅x $- \frac{21}{4}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{0,9 x}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{0,9 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{0,9 x} + (x^{2} + 5) \cdot e^{0,9 x} \cdot 0,9$

= $2 x \cdot e^{0,9 x} + (x^{2} + 5) \cdot 0,9 e^{0,9 x}$

= $2 x \cdot e^{0,9 x} + 0,9 (x^{2} + 5) \cdot e^{0,9 x}$

= $e^{0,9 x} \cdot (0,9 x^{2} + 4,5 + 2 x)$

= $e^{0,9 x} \cdot (0,9 x^{2} + 2 x + 4,5)$

= $(0,9 x^{2} + 2 x + 4,5) \cdot e^{0,9 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $e^{0,9 \cdot 1} \cdot (0,9 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 4,5)$

= $e^{0,9} \cdot (0,9 \cdot 1 + 2 + 4,5)$

= $e^{0,9} \cdot (0,9 + 2 + 4,5)$

= $e^{0,9} \cdot 7,4$

= $7,4 e^{0,9}$

≈ 18.2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7,4 e^{0,9}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $(1^{2} + 5) \cdot e^{0,9 \cdot 1}$ = $(1 + 5) \cdot e^{0,9}$ = $6 \cdot e^{0,9}$ = $6 e^{0,9}$ ≈ 14.76

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $6 e^{0,9}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6 e^{0,9}$ = $7,4 e^{0,9}$ ⋅ $1$ + c

$6 e^{0,9}$ = $7,4 e^{0,9}$ + c | $- 7,4 e^{0,9}$

$- 1,4 e^{0,9}$ = c

also c= $- 1,4 e^{0,9}$ ≈ -3.44

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7,4 e^{0,9}$ ⋅x $- 1,4 e^{0,9}$ oder y=18.2x -3.44

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ ,
also

$f'(x) =$ $x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $1 - 3$

= $- 2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1$ = $\frac{1}{2} \cdot 1 - 3$ = $\frac{1}{2} - 3$ = $\frac{1}{2} - \frac{6}{2}$ = $- \frac{5}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- \frac{5}{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{5}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ + c

$- \frac{5}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + c | $- \frac{1}{2}$

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{2}$ ⋅x $- 3$

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-4|68) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 4 x + 4$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $8 x - 4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|68) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|68) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8 u - 4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

68 = $(8 u - 4) \cdot (- 4 - u)$ + $4 u^{2} - 4 u + 4$ | -68

$(8 u - 4) (- 4 - u) + 4 u^{2} - 4 u + 4 - 68$ = 0

$- 8 u^{2} - 28 u + 16 + 4 u^{2} - 4 u + 4 - 68$ = 0

$- 4 u^{2} - 32 u - 48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 4 u^{2} - 32 u - 48

= 0 |:4

$- u^{2} - 8 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8+4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8-4}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} - 4 x + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x - 4 + 0$

= $8 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 6) =$ $8 \cdot (- 6) - 4$

= $- 48 - 4$

= $- 52$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 52$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 6) =$ $4 \cdot {(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 6) + 4$ = $4 \cdot 36 + 24 + 4$ = $144 + 24 + 4$ = $172$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 6$ | $172$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$172$ = $- 52$ ⋅( $- 6$ ) + c

$172$ = $312$ + c | $- 312$

$- 140$ = c

also c= $- 140$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 52$ ⋅x $- 140$

An der Stelle x= $- 2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} - 4 x + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x - 4 + 0$

= $8 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $8 \cdot (- 2) - 4$

= $- 16 - 4$

= $- 20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 20$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 4$ = $4 \cdot 4 + 8 + 4$ = $16 + 8 + 4$ = $28$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $28$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$28$ = $- 20$ ⋅( $- 2$ ) + c

$28$ = $40$ + c | $- 40$

$- 12$ = c

also c= $- 12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 20$ ⋅x $- 12$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 2,1 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 1,4) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $1,372$ (für x ≥ 1,4) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,2 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 4,2 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 4,2 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 2,1 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 4,2 u) u - u^{3} + 2,1 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 4,2 u^{2} - u^{3} + 2,1 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 2,1 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 2,1 u^{2}$	=	0
$u^{2} (2 u - 2,1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 2,1$	=	0	\| $+ 2,1$
$2 u$	=	$2,1$	\|: $2$
u₂	=	$1,05$

L={0; $1,05$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1,05$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 2,1 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1,05) =$ $- 3 \cdot {1,05}^{2} + 4,2 \cdot 1,05$

= $- 3 \cdot 1,1025 + 4,41$

= $- 3,3075 + 4,41$

= $1,1025$

≈ 1.1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1,1025$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1,05) =$ $- {1,05}^{3} + 2,1 \cdot {1,05}^{2}$ = $- 1,1576 + 2,1 \cdot 1,1025$ = $1,1576$ ≈ 1.16

Wir erhalten so also den Punkt B( $1,05$ | $1,1576$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1,1576$ = $1,1025$ ⋅ $1,05$ + c

$1,1576$ = $1,1576$ + c | $- 1,1576$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1,1025$ ⋅x +0 oder y=1.1x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$1,1025 x$	=	$2,372$	\|: $1,1025$
$x$	=	$2,1515$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.152.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f mit f(x) = $x^{2} + 1$ , der den kürzesten Abstand zu P( $54$ | $\frac{3}{2}$ ) hat.

Lösung einblenden

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $54$ | $\frac{3}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $54$ | $\frac{3}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{2 u}$ = $- \frac{1}{2 u}$

Wir können also P( $54$ | $\frac{3}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{1}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{- 1}{2 u} \cdot (54 - u)$ + $u^{2} + 1$ | - $\frac{3}{2}$

$- \frac{1}{2} \frac{54 - u}{u} + u^{2} + 1 - \frac{3}{2}$ = 0 | ⋅ $2 u$

$(- \frac{1}{2} \frac{54 - u}{u} + u^{2} + 1 - \frac{3}{2}) \cdot 2 u$ = 0

$- \frac{1}{2} \frac{54 - u}{u} \cdot 2 u + u^{2} \cdot 2 u + 1 \cdot 2 u - \frac{3}{2} \cdot 2 u$ = 0

$- (54 - u) + 2 u^{2} \cdot u + 2 u - 3 u$ = 0

$- 54 + u + 2 u^{3} + 2 u - 3 u$ = 0

$2 u^{3} + 0 - 54$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} + 0 - 54$	=	0
$2 u^{3} - 54$	=	0	\| $+ 54$
$2 u^{3}$	=	$54$	\|: $2$
$u^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

L={ $3$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $3$ ) = $3^{2} + 1$ = $10$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $3$ | $10$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,5 x^{2} + 3,825$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 3,825$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 x$	=	$3$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $\frac{1}{2}$ | $\frac{14,3}{4}$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 3,825$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2}) =$ $3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 3 \cdot (\frac{1}{2})$

= $3 \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{6}{4}$

= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2}) =$ ${(\frac{1}{2})}^{3} - 1,5 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 3,825$ = $\frac{1}{8} - 1,5 \cdot (\frac{1}{4}) + 3,825$ = $\frac{1}{8} - \frac{1,5}{4} + 3,825$ = $\frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{153}{40}$ = $\frac{5}{40} - \frac{15}{40} + \frac{153}{40}$ = $\frac{143}{40}$ ≈ 3.58

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}$ | $\frac{143}{40}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{143}{40}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + c

$\frac{143}{40}$ = $- \frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{79}{20}$ = c

also c= $\frac{79}{20}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅x + $\frac{79}{20}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- \frac{3}{4} x + \frac{79}{20}$	=	0	\|⋅ 20
$20 (- \frac{3}{4} x + \frac{79}{20})$	=	0
$- 15 x + 79$	=	0	\| $- 79$
$- 15 x$	=	$- 79$	\|:( $- 15$ )
$x$	=	$\frac{79}{15}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.267.

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,8 x^{2} + 5,184$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 5,184$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3,6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3,6$	=	0	\| $+ 3,6$
$6 x$	=	$3,6$	\|: $6$
$x$	=	$0,6$

Die Lösung x= $0,6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,6$ | $4,752$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 5,184$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,6) =$ $3 \cdot {0,6}^{2} - 3,6 \cdot 0,6$

= $3 \cdot 0,36 - 2,16$

= $1,08 - 2,16$

= $- 1,08$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,08$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,6) =$ ${0,6}^{3} - 1,8 \cdot {0,6}^{2} + 5,184$ = $0,216 - 1,8 \cdot 0,36 + 5,184$ = $0,216 - 0,648 + 5,184$ = $4,752$ ≈ 4.75

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,6$ | $4,752$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4,752$ = $- 1,08$ ⋅ $0,6$ + c

$4,752$ = $- 0,648$ + c | + $0,648$

$5,4$ = c

also c= $5,4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,08$ ⋅x + $5,4$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 1,08 x + 5,4$	=	0	\| $- 5,4$
$- 1,08 x$	=	$- 5,4$	\|:( $- 1,08$ )
$x$	=	$5$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.

Aufgabenbeispiele von Tangenten

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= -6 :

An der Stelle x= -2 :

Tangente von außen Anwendungen

An der Stelle x= 1,05 :

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(54| 3 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Wendetangente Anwendungen

An der Stelle x= $- 6$ :

An der Stelle x= $- 2$ :

An der Stelle x= $1,05$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $54$ | $\frac{3}{2}$ ) verläuft.