Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 0^2-0$ = $\frac{2}{3}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\cos \left(-3x-\frac{1}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(-3x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(-3+0\right)$

= $-\sin \left(-3x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(-3\right)$

= $3\cdot \sin \left(-3x-\frac{1}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$3\cdot \sin \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $3\cdot \sin \left(-2\pi \right)$

= $3\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\cos \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\cos \left(-2\pi \right)$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = 0⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3e^{2\left(x-3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2\left(x-3\right)}·2$

= $-6e^{2\left(x-3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6e^{2\left(3-3\right)}$

= $-6e^{2·0}$

= $-6e^0$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3e^{2\left(3-3\right)}$ = $-3e^{2·0}$ = $-3e^0$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-6$⋅ $3$ + c

$-3$ = $-18$ + c | + $18$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3e^{-x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-3e^{-x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-3e^{-2+3}$

= $-3e$

≈ -8.15

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3e$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $3e^{-2+3}$ = $3e$ ≈ 8.15

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $3e$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3e$ = $-3e$⋅$2$ + c

$3e$ = $-6e$ + c | + $6e$

$9e$ = c

also c= $9e$ ≈ 24.46

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3e$⋅x + $9e$ oder y=-8.15x +24.46

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $6\cdot 1$

= $6$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{6}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-1\right)}^3+3$ = $2\cdot \left(-1\right)+3$ = $-2+3$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-\frac{1}{6}$⋅( $-1$) + c

$1$ = $\frac{1}{6}$ + c | $-\frac{1}{6}$

$\frac{5}{6}$ = c

also c= $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{6}$⋅x + $\frac{5}{6}$ oder y=-0.17x +0.83

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x-4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(5|-104) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(5|-104) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u-4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-104 = $\left(-10u-4\right)·\left(5-u\right)$ + $-5u^2-4u-4$ | +104

$\left(-10u-4\right)\left(5-u\right)-5u^2-4u-4+104$ = 0

$10u^2-46u-20-5u^2-4u-4+104$ = 0

$5u^2-50u+80$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2-50u+80$ = 0 |:5

$u^2-10u+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{10+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{10-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-4x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-4+0$

= $-10x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 2-4$

= $-20-4$

= $-24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 2^2-4\cdot 2-4$ = $-5\cdot 4-8-4$ = $-20-8-4$ = $-32$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-32$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-32$ = $-24$⋅ $2$ + c

$-32$ = $-48$ + c | + $48$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-24$⋅x + $16$

An der Stelle x= $8$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-4x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-4+0$

= $-10x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 8-4$

= $-80-4$

= $-84$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-84$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 8^2-4\cdot 8-4$ = $-5\cdot 64-32-4$ = $-320-32-4$ = $-356$

Wir erhalten so also den Punkt B( $8$| $-356$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-356$ = $-84$⋅ $8$ + c

$-356$ = $-672$ + c | + $672$

$316$ = c

also c= $316$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-84$⋅x + $316$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{{\left(x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{7}{{\left(u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{7}{{\left(u-3\right)}^2}·\left(20-u\right)$ + $\frac{7}{u-3}$

$-7\frac{20-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{7}{u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-3\right)}^2$

$\left(-7\frac{20-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{7}{u-3}\right)·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-7\frac{20-u}{{\left(u-3\right)}^2}·{\left(u-3\right)}^2+\frac{7}{u-3}·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-7\left(20-u\right)+7\left(u-3\right)$ = 0

$-140+7u+7u-21$ = 0

$14u-161$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$14u-161$	=	0	| $+161$
$14u$	=	$161$	|:$14$
$u$	=	$\frac{23}{2}$ = 11.5

L={ $\frac{23}{2}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 11.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-8u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+0$	=	0
$u^2-8u$	=	0
$u\left(u-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-8\cdot 0+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $1$)

f( $8$) = $8^2-8\cdot 8+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $8$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{10,935}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{9,477}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{10,935}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{10,935}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{10,935}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{10,935}$ = $\mathrm{9,477}$ ≈ 9.48

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{9,477}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{9,477}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{9,477}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{11,664}$ = c

also c= $\mathrm{11,664}$ ≈ 11.66

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{11,664}$ oder y=-2.43x +11.66

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{11,664}$	=	0	| $-\mathrm{11,664}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{11,664}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{4,8}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.8.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $4x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $4u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(4u+2\right)·\left(2-u\right)$ + $2u^2+2u-4$

$\left(4u+2\right)\left(2-u\right)+2u^2+2u-4$ = 0

$-4u^2+6u+4+2u^2+2u-4$ = 0

$-2u^2+8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-2u^2+8u+0$	=	0
$-2u^2+8u$	=	0
$2u\left(-u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+2+0$

= $4x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2+2\cdot 0-4$ = $2\cdot 0+0-4$ = $0+0-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $2$⋅0 + c

$-4$ = 0 + c

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-4$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+2+0$

= $4x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 4+2$

= $16+2$

= $18$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $18$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 4^2+2\cdot 4-4$ = $2\cdot 16+8-4$ = $32+8-4$ = $36$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $36$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$36$ = $18$⋅ $4$ + c

$36$ = $72$ + c | $-72$

$-36$ = c

also c= $-36$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $18$⋅x $-36$