Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\cos \left(2\pi \right)$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(2\pi \right)$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $2\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $1$⋅ $2\pi$ + c

0 = $2\pi$ + c | $-2\pi$

$-2\pi$ = c

also c= $-2\pi$ ≈ -6.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-2\pi$ oder y=1x -6.28

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2{\left(2x-3\right)}^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\left(2x-3\right)·\left(2+0\right)+0$

= $4\left(2x-3\right)·\left(2\right)$

= $8\left(2x-3\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $16\cdot 2-24$

= $32-24$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $2\cdot {\left(2\cdot 2-3\right)}^2+4$ = $2\cdot {\left(4-3\right)}^2+4$ = $2\cdot 1^2+4$ = $2\cdot 1+4$ = $2+4$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $8$⋅$2$ + c

$6$ = $16$ + c | $-16$

$-10$ = c

also c= $-10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x $-10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-\left(x+2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-\left(x+2\right)}·\left(-1\right)$

= $\frac{3}{2}{e}^{-\left(x+2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{-\left(-2+2\right)}$

= $\frac{3}{2}{e}^{-1·0}$

= $\frac{3}{2}{e}^0$

= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-\left(-2+2\right)}$ = $-\frac{3}{2}{e}^{-1·0}$ = $-\frac{3}{2}{e}^0$ = $-\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{3}{2}$ = $-3$ + c | + $3$

$\frac{3}{2}$ = c

also c= $\frac{3}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{3}{2}$⋅x + $\frac{3}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}+\left(x-7\right)·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(x-7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(1+\mathrm{0,6}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x-\mathrm{3,2}\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}·\left(\mathrm{0,6}\cdot 3-\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{\mathrm{1,8}}·\left(\mathrm{1,8}-\mathrm{3,2}\right)$

= $e^{\mathrm{1,8}}·\left(-\mathrm{1,4}\right)$

= $-\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$

≈ -8.47

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3-7\right)·e^{\mathrm{0,6}\cdot 3}$ = $-4·e^{\mathrm{1,8}}$ = $-4e^{\mathrm{1,8}}$ ≈ -24.2

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-4e^{\mathrm{1,8}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4e^{\mathrm{1,8}}$ = $-\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$⋅ $3$ + c

$-4e^{\mathrm{1,8}}$ = $-\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,8}}$ + c | + $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{1,8}}$

$\mathrm{0,2}{e}^{\mathrm{1,8}}$ = c

also c= $\mathrm{0,2}{e}^{\mathrm{1,8}}$ ≈ 1.21

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{1,8}}$⋅x + $\mathrm{0,2}{e}^{\mathrm{1,8}}$ oder y=-8.47x +1.21

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3-3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot 1+6$

= $\frac{1}{3}+6$

= $\frac{1}{3}+\frac{18}{3}$

= $\frac{19}{3}$

≈ 6.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{19}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{19}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{9}\cdot {\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $\frac{1}{9}\cdot \left(-1\right)-3\cdot 1$ = $-\frac{1}{9}-3$ = $-\frac{1}{9}-\frac{27}{9}$ = $-\frac{28}{9}$ ≈ -3.11

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{28}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{28}{9}$ = $-\frac{3}{19}$⋅( $-1$) + c

$-\frac{28}{9}$ = $\frac{3}{19}$ + c | $-\frac{3}{19}$

$-\frac{559}{171}$ = c

also c= $-\frac{559}{171}$ ≈ -3.27

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{19}$⋅x $-\frac{559}{171}$ oder y=-0.16x -3.27

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|-2) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|-2) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-2 = $\left(-2u-1\right)·\left(3-u\right)$ + $-u^2-u+1$ | +2

$\left(-2u-1\right)\left(3-u\right)-u^2-u+1+2$ = 0

$2u^2-5u-3-u^2-u+1+2$ = 0

$u^2-6u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-6u+0$	=	0
$u^2-6u$	=	0
$u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-1+0$

= $-2x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2-0+1$ = $-0+0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-1$⋅0 + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x + $1$

An der Stelle x= $6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-1+0$

= $-2x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 6-1$

= $-12-1$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-6^2-6+1$ = $-36-6+1$ = $-41$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$| $-41$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-41$ = $-13$⋅ $6$ + c

$-41$ = $-78$ + c | + $78$

$37$ = c

also c= $37$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x + $37$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{7,2}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{7,2}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{7,2}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{7,2}u\right)u-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{7,2}{u}^2-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{3,6}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{3,6}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,8}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,8}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{3,6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{7,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,8}}^2+\mathrm{7,2}\cdot \mathrm{1,8}$

= $-3\cdot \mathrm{3,24}+\mathrm{12,96}$

= $-\mathrm{9,72}+\mathrm{12,96}$

= $\mathrm{3,24}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{3,24}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,8</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,8}}^3+\mathrm{3,6}\cdot {\mathrm{1,8}}^2$ = $-\mathrm{5,832}+\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{3,24}$ = $-\mathrm{5,832}+\mathrm{11,664}$ = $\mathrm{5,832}$ ≈ 5.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,8}$| $\mathrm{5,832}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{3,24}$⋅ $\mathrm{1,8}$ + c

$\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{5,832}$ + c | $-\mathrm{5,832}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{3,24}$⋅x +0

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{3,24}x$	=	$\mathrm{7,912}$	|:$\mathrm{3,24}$
$x$	=	$\mathrm{2,442}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.442.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u-\frac{1}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u-\frac{1}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0|0)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$|0)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{12,393}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{10,935}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{12,393}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{12,393}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{12,393}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{12,393}$ = $\mathrm{10,935}$ ≈ 10.94

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{10,935}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{10,935}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{10,935}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{13,122}$ = c

also c= $\mathrm{13,122}$ ≈ 13.12

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{13,122}$ oder y=-2.43x +13.12

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{13,122}$	=	0	| $-\mathrm{13,122}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{13,122}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{5,4}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.4.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{3,24}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{2,808}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{3,24}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{3,24}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{3,24}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{3,24}$ = $\mathrm{2,808}$ ≈ 2.81

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{2,808}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{2,808}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{2,808}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{3,456}$ = c

also c= $\mathrm{3,456}$ ≈ 3.46

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{3,456}$ oder y=-1.08x +3.46

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{3,456}$	=	0	| $-\mathrm{3,456}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{3,456}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{3,2}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.2.