Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-4\cdot \sin \left(3\pi \right)+2$

= $-4\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \cos \left(3\pi \right)+2\cdot \left(3\pi \right)$ = $4\cdot \left(-1\right)+2\cdot \left(3\pi \right)$ = $-4+2\cdot \left(3\pi \right)$ ≈ 14.85

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $-4+6\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4+6\pi$ = $2$⋅ $3\pi$ + c

$-4+6\pi$ = $6\pi$ + c | $-6\pi$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3\cdot \cos (-2x+\pi )$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \sin (-2x+\pi )·\left(-2+0\right)$

= $3\cdot \sin (-2x+\pi )·\left(-2\right)$

= $-6\cdot \sin (-2x+\pi )$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-6\cdot \sin (-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )$

= $-6\cdot \sin \left(0\right)$

= $-6\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $-3\cdot \cos (-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )$ = $-3\cdot \cos \left(0\right)$ = $-3\cdot 1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = 0⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$-3$ = 0 + c

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x·e^{x+1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·e^{x+1}-2x·e^{x+1}·1$

= $-2e^{x+1}-2x·e^{x+1}$

= $e^{x+1}·\left(-2-2x\right)$

= $e^{x+1}·\left(-2x-2\right)$

= $\left(-2x-2\right)·e^{x+1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-1+1}·\left(-2\cdot \left(-1\right)-2\right)$

= $e^0·\left(2-2\right)$

= $1·0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·\left(-1\right)·e^{-1+1}$ = $-2·\left(-1\right)·e^0$ = $-2·\left(-1\right)·1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = 0⋅( $-1$) + c

$2$ = 0 + c

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $e^{-x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x+3}·\left(-1\right)$

= $-e^{-x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{-0+3}$

= $-e^3$

≈ -20.09

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-e^3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $e^{-0+3}$ = $e^3$ ≈ 20.09

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $e^3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e^3$ = $-e^3$⋅$0$ + c

$e^3$ = 0 + c

$e^3$ = c

also c= $e^3$ ≈ 20.09

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-e^3$⋅x + $e^3$ oder y=-20.09x +20.09

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^2+3$

= $3\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^3+3\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{3}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x +0 oder y=-0.33x

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-25) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-25) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-25 = $\left(10u+5\right)·\left(0-u\right)$ + $5u^2+5u-5$ | +25

$-\left(10u+5\right)u+5u^2+5u-5+25$ = 0

$-10u^2-5u+5u^2+5u-5+25$ = 0

$-5u^2+0+20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+0+20$	=	0
$-5u^2+20$	=	0	| $-20$
$-5u^2$	=	$-20$	|: $\left(-5\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+5x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+5+0$

= $10x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)+5$

= $-20+5$

= $-15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2+5\cdot \left(-2\right)-5$ = $5\cdot 4-10-5$ = $20-10-5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $-15$⋅( $-2$) + c

$5$ = $30$ + c | $-30$

$-25$ = c

also c= $-25$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-15$⋅x $-25$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+5x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+5+0$

= $10x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 2+5$

= $20+5$

= $25$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $25$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^2+5\cdot 2-5$ = $5\cdot 4+10-5$ = $20+10-5$ = $25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $25$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$25$ = $25$⋅ $2$ + c

$25$ = $50$ + c | $-50$

$-25$ = c

also c= $-25$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $25$⋅x $-25$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{{\left(x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{9}{{\left(u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{9}{{\left(u-2\right)}^2}·\left(20-u\right)$ + $\frac{9}{u-2}$

$-9\frac{20-u}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{9}{u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-2\right)}^2$

$\left(-9\frac{20-u}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{9}{u-2}\right)·{\left(u-2\right)}^2$ = 0

$-9\frac{20-u}{{\left(u-2\right)}^2}·{\left(u-2\right)}^2+\frac{9}{u-2}·{\left(u-2\right)}^2$ = 0

$-9\left(20-u\right)+9\left(u-2\right)$ = 0

$-180+9u+9u-18$ = 0

$18u-198$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$18u-198$	=	0	| $+198$
$18u$	=	$198$	|:$18$
$u$	=	$11$

L={ $11$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 11 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($\frac{3}{32}$|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($\frac{3}{32}$|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}$ = $-\frac{3}{2u}$

Wir können also P($\frac{3}{32}$|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{3}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}·\left(\frac{3}{32}-u\right)$ + $\frac{1}{3}{u}^2+2$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{3}{2}\frac{\frac{3}{32}-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2+2-\frac{7}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3}u$

$\left(-\frac{3}{2}\frac{\frac{3}{32}-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2+2-\frac{7}{2}\right)·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\frac{3}{2}\frac{\frac{3}{32}-u}{u}·\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}{u}^2·\frac{2}{3}u+2·\frac{2}{3}u-\frac{7}{2}·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\left(\frac{3}{32}-u\right)+\frac{2}{9}{u}^2·u+\frac{4}{3}u-\frac{7}{3}u$ = 0

$-\frac{3}{32}+u+\frac{2}{9}{u}^3+\frac{4}{3}u-\frac{7}{3}u$ = 0

$\frac{2}{9}{u}^3+0-\frac{3}{32}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9}{u}^3+0-\frac{3}{32}$	=	0
$\frac{2}{9}{u}^3-\frac{3}{32}$	=	0	| $+\frac{3}{32}$
$\frac{2}{9}{u}^3$	=	$\frac{3}{32}$	|⋅$\frac{9}{2}$
$u^3$	=	$\frac{27}{64}$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$	= $\frac{3}{4}$

L={ $\frac{3}{4}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{3}{4}$) = $\frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+2$ = $\frac{35}{16}$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{3}{4}$| $\frac{35}{16}$) bzw. Q(0.75|2.19)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{13,851}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{12,393}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{13,851}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{13,851}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{13,851}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{13,851}$ = $\mathrm{12,393}$ ≈ 12.39

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{12,393}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{12,393}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{12,393}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{14,58}$ = c

also c= $\mathrm{14,58}$ ≈ 14.58

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{14,58}$ oder y=-2.43x +14.58

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{14,58}$	=	0	| $-\mathrm{14,58}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{14,58}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$6$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 6.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{2,268}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{1,836}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{2,268}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,268}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{2,268}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{2,268}$ = $\mathrm{1,836}$ ≈ 1.84

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{1,836}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,836}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{1,836}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{2,484}$ = c

also c= $\mathrm{2,484}$ ≈ 2.48

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{2,484}$ oder y=-1.08x +2.48

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{2,484}$	=	0	| $-\mathrm{2,484}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{2,484}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{2,3}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.3.