Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$3\cdot \cos \left(3\pi \right)$

= $3\cdot \left(-1\right)$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \sin \left(3\pi \right)$ = $3\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-3$⋅ $3\pi$ + c

0 = $-9\pi$ + c | + $9\pi$

$9\pi$ = c

also c= $9\pi$ ≈ 28.27

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $9\pi$ oder y=-3x +28.27

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(x-2\right)}^3+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(x-2\right)}^2·\left(1+0\right)+0$

= $-6{\left(x-2\right)}^2·\left(1\right)$

= $-6{\left(x-2\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-6\cdot {\left(1-2\right)}^2$

= $-6\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $-6\cdot 1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(1-2\right)}^3+4$ = $-2\cdot {\left(-1\right)}^3+4$ = $-2\cdot \left(-1\right)+4$ = $2+4$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-6$⋅$1$ + c

$6$ = $-6$ + c | + $6$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{e}^{-\left(x+3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}{e}^{-\left(x+3\right)}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{2}{e}^{-\left(x+3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{-\left(-3+3\right)}$

= $\frac{1}{2}{e}^{-1·0}$

= $\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}{e}^{-\left(-3+3\right)}$ = $-\frac{1}{2}{e}^{-1·0}$ = $-\frac{1}{2}{e}^0$ = $-\frac{1}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-\frac{1}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$⋅( $-3$) + c

$-\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2e^{3x-6}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2e^{3x-6}·3$

= $6e^{3x-6}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $6e^{3\cdot 1-6}$

= $6e^{3-6}$

= $6e^{-3}$

≈ 0.3

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6e^{-3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $2e^{3\cdot 1-6}$ = $2e^{3-6}$ = $2e^{-3}$ ≈ 0.1

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $2e^{-3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^{-3}$ = $6e^{-3}$⋅$1$ + c

$2e^{-3}$ = $6e^{-3}$ + c | $-6e^{-3}$

$-4e^{-3}$ = c

also c= $-4e^{-3}$ ≈ -0.2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6e^{-3}$⋅x $-4e^{-3}$ oder y=0.3x -0.2

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}x+0$

= $\frac{2}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^2-3$ = $\frac{1}{3}\cdot 1-3$ = $\frac{1}{3}-3$ = $\frac{1}{3}-\frac{9}{3}$ = $-\frac{8}{3}$ ≈ -2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{8}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{8}{3}$ = $\frac{3}{2}$⋅( $-1$) + c

$-\frac{8}{3}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$-\frac{7}{6}$ = c

also c= $-\frac{7}{6}$ ≈ -1.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{2}$⋅x $-\frac{7}{6}$ oder y=1.5x -1.17

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-16) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-16) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-16 = $\left(10u+3\right)·\left(0-u\right)$ + $5u^2+3u+4$ | +16

$-\left(10u+3\right)u+5u^2+3u+4+16$ = 0

$-10u^2-3u+5u^2+3u+4+16$ = 0

$-5u^2+0+20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+0+20$	=	0
$-5u^2+20$	=	0	| $-20$
$-5u^2$	=	$-20$	|: $\left(-5\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+3x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+3+0$

= $10x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)+3$

= $-20+3$

= $-17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-17$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+4$ = $5\cdot 4-6+4$ = $20-6+4$ = $18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $18$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$18$ = $-17$⋅( $-2$) + c

$18$ = $34$ + c | $-34$

$-16$ = c

also c= $-16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-17$⋅x $-16$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+3x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+3+0$

= $10x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 2+3$

= $20+3$

= $23$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $23$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^2+3\cdot 2+4$ = $5\cdot 4+6+4$ = $20+6+4$ = $30$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $30$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$30$ = $23$⋅ $2$ + c

$30$ = $46$ + c | $-46$

$-16$ = c

also c= $-16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $23$⋅x $-16$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(t)}=$ $-\frac{1}{4}t+\frac{3}{4}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P($\frac{445}{36}$|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den t-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P($\frac{445}{36}$|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{1}{4}u+\frac{3}{4}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-\frac{1}{4}u+\frac{3}{4}\right)·\left(\frac{445}{36}-u\right)$ + $-\frac{1}{8}{u}^2+\frac{3}{4}u+\frac{55}{8}$

$\left(-\frac{1}{4}u+\frac{3}{4}\right)\left(\frac{445}{36}-u\right)-\frac{1}{8}{u}^2+\frac{3}{4}u+\frac{55}{8}$ = 0

$\frac{1}{4}{u}^2-\frac{553}{144}u+\frac{445}{48}-\frac{1}{8}{u}^2+\frac{3}{4}u+\frac{55}{8}$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^2-\frac{445}{144}u+\frac{775}{48}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^2-\frac{445}{144}u+\frac{775}{48}$	=	0	|⋅ 144
$144\left(\frac{1}{8}{u}^2-\frac{445}{144}u+\frac{775}{48}\right)$	=	0

$18u^2-445u+2325$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+445\pm \sqrt{{\left(-445\right)}^2-4·18·2325}}{2\cdot 18}$

u_1,2 = $\frac{+445\pm \sqrt{198025-167400}}{36}$

u_1,2 = $\frac{+445\pm \sqrt{30625}}{36}$

u₁ = $\frac{445+\sqrt{30625}}{36}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>445</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>175</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>36</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{620}{36}$ = $\frac{155}{9}$ ≈ 17.22

u₂ = $\frac{445-\sqrt{30625}}{36}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>445</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>175</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>36</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{270}{36}$ = $\mathrm{7,5}$

L={ $\mathrm{7,5}$; $\frac{155}{9}$}

Es gibt also zwei Berührstellen, eine vor der finalen Nullstelle ($\frac{445}{36}$|0) und eine danach. Natürlich macht hier nur die kleinere Sinn, weil ja der Wechsel der Funktion vorher stattfindet.

(Man erkennt auch am Funktionsterm, dass der Graph dazu eine nach unten geöffnete Parabel mit positivem y-Achsenabschnitt sein muss und somit nur der Berührpunkt mit dem kleineren t-Wert im positiven y-Bereich in Frage kommt.)

Der gesuchte Zeitpunkt des Wechsels war also bei t = 7.5

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{9}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{9}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{9}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u+4$ | -$\frac{9}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $4$)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,1}{x}^3+\mathrm{0,18}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{0,36}x$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,36}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,36}$	=	0	| $-\mathrm{0,36}$
$-\mathrm{0,6}x$	=	$-\mathrm{0,36}$	|:($-\mathrm{0,6}$)
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,0432}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,1}{x}^3+\mathrm{0,18}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{0,36}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{0,3}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{0,36}\cdot \mathrm{0,6}$

= $-\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{0,216}$

= $-\mathrm{0,108}+\mathrm{0,216}$

= $\mathrm{0,108}$

≈ 0.11

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,108}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,1}\cdot {\mathrm{0,6}}^3+\mathrm{0,18}\cdot {\mathrm{0,6}}^2$ = $-\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,216}+\mathrm{0,18}\cdot \mathrm{0,36}$ = $-\mathrm{0,0216}+\mathrm{0,0648}$ = $\mathrm{0,0432}$ ≈ 0.04

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,0432}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,0432}$ = $\mathrm{0,108}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{0,0432}$ = $\mathrm{0,0648}$ + c | $-\mathrm{0,0648}$

$-\mathrm{0,0216}$ = c

also c= $-\mathrm{0,0216}$ ≈ -0.02

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,108}$⋅x $-\mathrm{0,0216}$ oder y=0.11x -0.02

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{1,0864}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,108}x-\mathrm{0,0216}$	=	$\mathrm{1,0864}$	| $+\mathrm{0,0216}$
$\mathrm{0,108}x$	=	$\mathrm{1,108}$	|:$\mathrm{0,108}$
$x$	=	$\mathrm{10,2593}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 10.259.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $6x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|33) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|33) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

33 = $\left(6u+2\right)·\left(4-u\right)$ + $3u^2+2u+4$ | -33

$\left(6u+2\right)\left(4-u\right)+3u^2+2u+4-33$ = 0

$-6u^2+22u+8+3u^2+2u+4-33$ = 0

$-3u^2+24u-21$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-3u^2+24u-21$ = 0 |:3

$-u^2+8u-7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·\left(-1\right)·\left(-7\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-28}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{36}}{-2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{-2}$ = $7$

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+2+0$

= $6x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 1+2$

= $6+2$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2+2\cdot 1+4$ = $3\cdot 1+2+4$ = $3+2+4$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $8$⋅ $1$ + c

$9$ = $8$ + c | $-8$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x + $1$

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+2+0$

= $6x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 7+2$

= $42+2$

= $44$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $44$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 7^2+2\cdot 7+4$ = $3\cdot 49+14+4$ = $147+14+4$ = $165$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $165$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$165$ = $44$⋅ $7$ + c

$165$ = $308$ + c | $-308$

$-143$ = c

also c= $-143$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $44$⋅x $-143$