Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+\frac{3}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2+\frac{3}{2}$

= $-4+\frac{3}{2}$

= $-\frac{5}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{5}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3+\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)-3$ = $\frac{8}{3}-3$ = $\frac{8}{3}-\frac{9}{3}$ = $-\frac{1}{3}$ ≈ -0.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{1}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{1}{3}$ = $-\frac{5}{2}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{1}{3}$ = $5$ + c | $-5$

$-\frac{16}{3}$ = c

also c= $-\frac{16}{3}$ ≈ -5.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{5}{2}$⋅x $-\frac{16}{3}$ oder y=-2.5x -5.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-{\left(-x+3\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(-x+3\right)·\left(-1+0\right)$

= $-2\left(-x+3\right)·\left(-1\right)$

= $2\left(-x+3\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $2\left(-2+3\right)$

= $2·1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-{\left(-2+3\right)}^2$ = $-1^2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $2$⋅$2$ + c

$-1$ = $4$ + c | $-4$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-e^{-\left(x+1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-\left(x+1\right)}·\left(-1\right)$

= $e^{-\left(x+1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-\left(-1+1\right)}$

= $e^{-1·0}$

= $e^0$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-e^{-\left(-1+1\right)}$ = $-e^{-1·0}$ = $-e^0$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $1$⋅( $-1$) + c

$-1$ = $-1$ + c | + $1$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2·e^x-x^3·e^x$

= $-3x^2·e^x-x^3·e^x$

= $e^x·\left(-x^3-3x^2\right)$

= $\left(-x^3-3x^2\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^3·\left(-3^3-3\cdot 3^2\right)$

= $e^3·\left(-27-3\cdot 9\right)$

= $e^3·\left(-27-27\right)$

= $e^3·\left(-54\right)$

= $-54e^3$

≈ -1084.62

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-54e^3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3^3·e^3$ = $-27e^3$ ≈ -542.31

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-27e^3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-27e^3$ = $-54e^3$⋅ $3$ + c

$-27e^3$ = $-162e^3$ + c | + $162e^3$

$135e^3$ = c

also c= $135e^3$ ≈ 2711.55

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-54e^3$⋅x + $135e^3$ oder y=-1084.62x +2711.55

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \sin \left(0\right)+2$

= $-2\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(0\right)+2\cdot \left(0\right)$ = $2\cdot 1+0$ = $2+0$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-\frac{1}{2}$⋅ $0$ + c

$2$ = 0 + c

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $2$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-40) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|-40) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-40 = $\left(-8u-3\right)·\left(-4-u\right)$ + $-4u^2-3u-4$ | +40

$\left(-8u-3\right)\left(-4-u\right)-4u^2-3u-4+40$ = 0

$8u^2+35u+12-4u^2-3u-4+40$ = 0

$4u^2+32u+48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+32u+48$ = 0 |:4

$u^2+8u+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{2}$ = $-6$

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-3x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-3+0$

= $-8x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-6\right)-3$

= $48-3$

= $45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $45$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-6\right)}^2-3\cdot \left(-6\right)-4$ = $-4\cdot 36+18-4$ = $-144+18-4$ = $-130$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $-130$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-130$ = $45$⋅( $-6$) + c

$-130$ = $-270$ + c | + $270$

$140$ = c

also c= $140$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $45$⋅x + $140$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-3x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-3+0$

= $-8x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)-3$

= $16-3$

= $13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)-4$ = $-4\cdot 4+6-4$ = $-16+6-4$ = $-14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-14$ = $13$⋅( $-2$) + c

$-14$ = $-26$ + c | + $26$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $13$⋅x + $12$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{4,8}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)u-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{4,8}{u}^2-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{2,4}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,2}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,2}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,4}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,2}}^2+\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{1,2}$

= $-3\cdot \mathrm{1,44}+\mathrm{5,76}$

= $-\mathrm{4,32}+\mathrm{5,76}$

= $\mathrm{1,44}$

≈ 1.44

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,44}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,2}}^3+\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{1,2}}^2$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{1,44}$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{3,456}$ = $\mathrm{1,728}$ ≈ 1.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,2}$| $\mathrm{1,728}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,44}$⋅ $\mathrm{1,2}$ + c

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,728}$ + c | $-\mathrm{1,728}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,44}$⋅x +0 oder y=1.44x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,44}x$	=	$\mathrm{3,048}$	|:$\mathrm{1,44}$
$x$	=	$\mathrm{2,1167}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.117.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($\frac{8}{27}$|$2$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($\frac{8}{27}$|$2$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}$ = $-\frac{2}{u}$

Wir können also P($\frac{8}{27}$|$2$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$2$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}·\left(\frac{8}{27}-u\right)$ + $\frac{1}{4}{u}^2$ | -$2$

$-2\frac{\frac{8}{27}-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2-2$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2}u$

$\left(-2\frac{\frac{8}{27}-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2-2\right)·\frac{1}{2}u$ = 0

$-2\frac{\frac{8}{27}-u}{u}·\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}{u}^2·\frac{1}{2}u-2·\frac{1}{2}u$ = 0

$-\left(\frac{8}{27}-u\right)+\frac{1}{8}{u}^2·u-u$ = 0

$-\frac{8}{27}+u+\frac{1}{8}{u}^3-u$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^3+0-\frac{8}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^3+0-\frac{8}{27}$	=	0
$\frac{1}{8}{u}^3-\frac{8}{27}$	=	0	| $+\frac{8}{27}$
$\frac{1}{8}{u}^3$	=	$\frac{8}{27}$	|⋅$8$
$u^3$	=	$\frac{64}{27}$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$	= $\frac{4}{3}$

L={ $\frac{4}{3}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{4}{3}$) = $\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^2$ = $\frac{4}{9}$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{4}{3}$| $\frac{4}{9}$) bzw. Q(1.33|0.44)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,296}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{2,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{2,4}$	=	0	| $+\mathrm{2,4}$
$6x$	=	$\mathrm{2,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,168}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,296}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,4}}^2-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,4}$

= $3\cdot \mathrm{0,16}-\mathrm{0,96}$

= $\mathrm{0,48}-\mathrm{0,96}$

= $-\mathrm{0,48}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{0,48}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,4}}^3-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{1,296}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{1,296}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{0,192}+\mathrm{1,296}$ = $\mathrm{1,168}$ ≈ 1.17

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,168}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,168}$ = $-\mathrm{0,48}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{1,168}$ = $-\mathrm{0,192}$ + c | + $\mathrm{0,192}$

$\mathrm{1,36}$ = c

also c= $\mathrm{1,36}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{0,48}$⋅x + $\mathrm{1,36}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{0,48}x+\mathrm{1,36}$	=	0	| $-\mathrm{1,36}$
$-\mathrm{0,48}x$	=	$-\mathrm{1,36}$	|:($-\mathrm{0,48}$)
$x$	=	$\mathrm{2,8333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.833.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-28) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-28) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-28 = $\left(-6u-1\right)·\left(4-u\right)$ + $-3u^2-u-3$ | +28

$\left(-6u-1\right)\left(4-u\right)-3u^2-u-3+28$ = 0

$6u^2-23u-4-3u^2-u-3+28$ = 0

$3u^2-24u+21$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2-24u+21$ = 0 |:3

$u^2-8u+7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·7}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1-1$

= $-6-1$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2-1-3$ = $-3\cdot 1-1-3$ = $-3-1-3$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-7$⋅ $1$ + c

$-7$ = $-7$ + c | + $7$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x +0

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 7-1$

= $-42-1$

= $-43$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-43$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 7^2-7-3$ = $-3\cdot 49-7-3$ = $-147-7-3$ = $-157$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $-157$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-157$ = $-43$⋅ $7$ + c

$-157$ = $-301$ + c | + $301$

$144$ = c

also c= $144$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-43$⋅x + $144$