Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+0$

= $-12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-12\cdot 0^2$

= $-12\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^3-1$ = $-4\cdot 0-1$ = $0-1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = 0⋅0 + c

$-1$ = 0 + c

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ ${\left(-x+1\right)}^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-x+1\right)·\left(-1+0\right)+0$

= $2\left(-x+1\right)·\left(-1\right)$

= $-2\left(-x+1\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $2\cdot 2-2$

= $4-2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ ${\left(-2+1\right)}^2+1$ = ${\left(-1\right)}^2+1$ = $1+1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $2$⋅$2$ + c

$2$ = $4$ + c | $-4$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{-\left(x-3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{-\left(x-3\right)}·\left(-1\right)$

= $-\frac{1}{5}{e}^{-\left(x-3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{5}{e}^{-\left(3-3\right)}$

= $-\frac{1}{5}{e}^{-1·0}$

= $-\frac{1}{5}{e}^0$

= $-\frac{1}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{-\left(3-3\right)}$ = $\frac{1}{5}{e}^{-1·0}$ = $\frac{1}{5}{e}^0$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $\frac{1}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $-\frac{1}{5}$⋅ $3$ + c

$\frac{1}{5}$ = $-\frac{3}{5}$ + c | + $\frac{3}{5}$

$\frac{4}{5}$ = c

also c= $\frac{4}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{5}$⋅x + $\frac{4}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·e^{\mathrm{0,1}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{\mathrm{0,1}x}+\left(x+2\right)·e^{\mathrm{0,1}x}·\mathrm{0,1}$

= $e^{\mathrm{0,1}x}+\left(x+2\right)·\mathrm{0,1}{e}^{\mathrm{0,1}x}$

= $e^{\mathrm{0,1}x}+\mathrm{0,1}\left(x+2\right)·e^{\mathrm{0,1}x}$

= $e^{\mathrm{0,1}x}·\left(1+\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{\mathrm{0,1}x}·\left(\mathrm{0,1}x+\mathrm{1,2}\right)$

= $\left(\mathrm{0,1}x+\mathrm{1,2}\right)·e^{\mathrm{0,1}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,1}\cdot \left(-1\right)}·\left(\mathrm{0,1}\cdot \left(-1\right)+\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}}·\left(-\mathrm{0,1}+\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,1}}·\mathrm{1,1}$

= $\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$

≈ 1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(-1+2\right)·e^{\mathrm{0,1}\cdot \left(-1\right)}$ = $1·e^{-\mathrm{0,1}}$ = $e^{-\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.9

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $e^{-\mathrm{0,1}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e^{-\mathrm{0,1}}$ = $\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$⋅( $-1$) + c

$e^{-\mathrm{0,1}}$ = $-\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$ + c | + $\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$

$\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$ = c

also c= $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$ ≈ 1.9

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$⋅x + $\mathrm{2,1}{e}^{-\mathrm{0,1}}$ oder y=1x +1.9

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0-2$

= $0-2$

= $-2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^2-2\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{2}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{2}$⋅x +0

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|-6) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|-6) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-6 = $\left(2u+2\right)·\left(-2-u\right)$ + $u^2+2u-2$ | +6

$\left(2u+2\right)\left(-2-u\right)+u^2+2u-2+6$ = 0

$-2u^2-6u-4+u^2+2u-2+6$ = 0

$-u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2-4u+0$	=	0
$-u^2-4u$	=	0
$-u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+2+0$

= $2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-4\right)+2$

= $-8+2$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-4\right)}^2+2\cdot \left(-4\right)-2$ = $16-8-2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-6$⋅( $-4$) + c

$6$ = $24$ + c | $-24$

$-18$ = c

also c= $-18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-18$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+2+0$

= $2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0+2$

= $0+2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^2+2\cdot 0-2$ = $0+0-2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $2$⋅0 + c

$-2$ = 0 + c

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-2$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{4,8}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)u-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{4,8}{u}^2-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{2,4}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,2}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,2}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,4}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,2}}^2+\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{1,2}$

= $-3\cdot \mathrm{1,44}+\mathrm{5,76}$

= $-\mathrm{4,32}+\mathrm{5,76}$

= $\mathrm{1,44}$

≈ 1.44

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,44}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,2}}^3+\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{1,2}}^2$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{1,44}$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{3,456}$ = $\mathrm{1,728}$ ≈ 1.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,2}$| $\mathrm{1,728}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,44}$⋅ $\mathrm{1,2}$ + c

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,728}$ + c | $-\mathrm{1,728}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,44}$⋅x +0 oder y=1.44x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,44}x$	=	$\mathrm{3,048}$	|:$\mathrm{1,44}$
$x$	=	$\mathrm{2,1167}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.117.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($2$|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($2$|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($2$|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(2-u\right)$ + $u^2+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}+u^2+2-\frac{5}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}+u^2+2-\frac{5}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}·2u+u^2·2u+2·2u-\frac{5}{2}·2u$ = 0

$-\left(2-u\right)+2u^2·u+4u-5u$ = 0

$-2+u+2u^3+4u-5u$ = 0

$2u^3+0-2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-2$	=	0
$2u^3-2$	=	0	| $+2$
$2u^3$	=	$2$	|:$2$
$u^3$	=	$1$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $1$) = $1^2+2$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $1$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{10,8}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{8,8}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{10,8}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{10,8}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{10,8}$ = $1-3+\mathrm{10,8}$ = $\mathrm{8,8}$ ≈ 8.8

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{8,8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{8,8}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{8,8}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{11,8}$ = c

also c= $\mathrm{11,8}$ ≈ 11.8

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{11,8}$ oder y=-3x +11.8

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{11,8}$	=	0	| $-\mathrm{11,8}$
$-3x$	=	$-\mathrm{11,8}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{3,9333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.933.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|-4) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|-4) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-4 = $\left(2u+3\right)·\left(1-u\right)$ + $u^2+3u-4$ | +4

$\left(2u+3\right)\left(1-u\right)+u^2+3u-4+4$ = 0

$-2u^2-u+3+u^2+3u-4+4$ = 0

$-u^2+2u+3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2+2u+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

L={ $-1$; $3$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+3x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+3+0$

= $2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-1\right)+3$

= $-2+3$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)-4$ = $1-3-4$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $1$⋅( $-1$) + c

$-6$ = $-1$ + c | + $1$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-5$

An der Stelle x= $3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+3x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+3+0$

= $2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 3+3$

= $6+3$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3^2+3\cdot 3-4$ = $9+9-4$ = $14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$14$ = $9$⋅ $3$ + c

$14$ = $27$ + c | $-27$

$-13$ = c

also c= $-13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x $-13$