Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-3\cdot \sin \left(2\pi \right)+4$

= $-3\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left(2\pi \right)+4\cdot \left(2\pi \right)$ = $3\cdot 1+4\cdot \left(2\pi \right)$ = $3+4\cdot \left(2\pi \right)$ ≈ 28.13

Wir erhalten so also den Punkt B( $2\pi$| $3+8\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3+8\pi$ = $4$⋅ $2\pi$ + c

$3+8\pi$ = $8\pi$ + c | $-8\pi$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(-3x+3\right)}^3+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(-3x+3\right)}^2·\left(-3+0\right)+3$

= $-9{\left(-3x+3\right)}^2·\left(-3\right)+3$

= $27{\left(-3x+3\right)}^2+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $27\cdot {\left(-3\cdot 1+3\right)}^2+3$

= $27\cdot {\left(-3+3\right)}^2+3$

= $27\cdot 0^2+3$

= $27\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(-3\cdot 1+3\right)}^3+3\cdot 1$ = $-3\cdot {\left(-3+3\right)}^3+3$ = $-3\cdot 0^3+3$ = $-3\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $3$⋅$1$ + c

$3$ = $3$ + c | $-3$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x·e^{x-3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·1·e^{x-3}+2x·e^{x-3}·1$

= $2e^{x-3}+2x·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·\left(2+2x\right)$

= $e^{x-3}·\left(2x+2\right)$

= $\left(2x+2\right)·e^{x-3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{3-3}·\left(2\cdot 3+2\right)$

= $e^0·\left(6+2\right)$

= $1·8$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·3·e^{3-3}$ = $2·3·e^0$ = $2·3·1$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $8$⋅ $3$ + c

$6$ = $24$ + c | $-24$

$-18$ = c

also c= $-18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x $-18$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x·e^{\mathrm{0,3}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $1·e^{\mathrm{0,3}x}+x·e^{\mathrm{0,3}x}·\mathrm{0,3}$

= $e^{\mathrm{0,3}x}+x·\mathrm{0,3}{e}^{\mathrm{0,3}x}$

= $e^{\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}x·e^{\mathrm{0,3}x}$

= $e^{\mathrm{0,3}x}·\left(1+\mathrm{0,3}x\right)$

= $e^{\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,3}x+1\right)$

= $\left(\mathrm{0,3}x+1\right)·e^{\mathrm{0,3}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}·\left(\mathrm{0,3}\cdot 0+1\right)$

= $e^0·\left(0+1\right)$

= $1·1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0·e^{\mathrm{0,3}\cdot 0}$ = $0·e^0$ = $0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x+\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\left(-2\right)+\frac{1}{2}$

= $2+\frac{1}{2}$

= $\frac{4}{2}+\frac{1}{2}$

= $\frac{5}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{2}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{1}{2}\cdot 4-1$ = $-2-1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-\frac{2}{5}$⋅( $-2$) + c

$-3$ = $\frac{4}{5}$ + c | $-\frac{4}{5}$

$-\frac{19}{5}$ = c

also c= $-\frac{19}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{2}{5}$⋅x $-\frac{19}{5}$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-46) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-46) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-46 = $\left(-8u-5\right)·\left(4-u\right)$ + $-4u^2-5u+2$ | +46

$\left(-8u-5\right)·\left(4-u\right)-4u^2-5u+2+46$ = 0

$8u^2-27u-20-4u^2-5u+2+46$ = 0

$4u^2-32u+28$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2-32u+28$ = 0 |:4

$u^2-8u+7$ = 0

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-5x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-5+0$

= $-8x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 1-5$

= $-8-5$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1^2-5\cdot 1+2$ = $-4\cdot 1-5+2$ = $-4-5+2$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-13$⋅ $1$ + c

$-7$ = $-13$ + c | + $13$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x + $6$

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-5x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-5+0$

= $-8x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 7-5$

= $-56-5$

= $-61$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-61$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 7^2-5\cdot 7+2$ = $-4\cdot 49-35+2$ = $-196-35+2$ = $-229$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $-229$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-229$ = $-61$⋅ $7$ + c

$-229$ = $-427$ + c | + $427$

$198$ = c

also c= $198$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-61$⋅x + $198$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(1|-7) mit der zugehörigen Tangente: $-13x+6$

B(7|-229) mit der zugehörigen Tangente: $-61x+198$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{1,8}}{{\left(\mathrm{0,2}x-1\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{1,8}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{1,8}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{9}{\mathrm{0,2}u-1}$

$-\mathrm{1,8}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{0,2}u-1}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$

$\left(-\mathrm{1,8}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{0,2}u-1}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,8}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2+\frac{9}{\mathrm{0,2}u-1}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,8}\left(45-u\right)+9\left(\mathrm{0,2}u-1\right)$ = 0

$-81+\mathrm{1,8}u+\mathrm{1,8}u-9$ = 0

$\mathrm{3,6}u-90$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{3,6}u-90$	=	0	| $+90$
$\mathrm{3,6}u$	=	$90$	|:$\mathrm{3,6}$
$u$	=	$25$

L={ $25$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(25|2.25)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 25 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($6$|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($6$|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}$ = $-\frac{3}{2u}$

Wir können also P($6$|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{3}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}·\left(6-u\right)$ + $\frac{1}{3}{u}^2$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2}\frac{6-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2-\frac{3}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3}u$

$\left(-\frac{3}{2}\frac{6-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2-\frac{3}{2}\right)·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\frac{3}{2}\frac{6-u}{u}·\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}{u}^2·\frac{2}{3}u-\frac{3}{2}·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\left(6-u\right)+\frac{2}{9}{u}^2·u-u$ = 0

$-6+u+\frac{2}{9}{u}^3-u$ = 0

$\frac{2}{9}{u}^3+0-6$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9}{u}^3+0-6$	=	0
$\frac{2}{9}{u}^3-6$	=	0	| $+6$
$\frac{2}{9}{u}^3$	=	$6$	|⋅$\frac{9}{2}$
$u^3$	=	$27$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

L={ $3$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $3$) = $\frac{1}{3}\cdot 3^2$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $3$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{8,1}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{6,1}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{8,1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{8,1}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{8,1}$ = $1-3+\mathrm{8,1}$ = $\mathrm{6,1}$ ≈ 6.1

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{6,1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{6,1}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{6,1}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{9,1}$ = c

also c= $\mathrm{9,1}$ ≈ 9.1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{9,1}$ oder y=-3x +9.1

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{9,1}$	=	0	| $-\mathrm{9,1}$
$-3x$	=	$-\mathrm{9,1}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{3,0333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.033.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|21) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|21) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

21 = $\left(-10u-1\right)·\left(2-u\right)$ + $-5u^2-u-2$ | -21

$\left(-10u-1\right)·\left(2-u\right)-5u^2-u-2-21$ = 0

$10u^2-19u-2-5u^2-u-2-21$ = 0

$5u^2-20u-25$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2-20u-25$ = 0 |:5

$u^2-4u-5$ = 0

L={ $-1$; $5$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-1+0$

= $-10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-1\right)-1$

= $10-1$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-2$ = $-5\cdot 1+1-2$ = $-5+1-2$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $9$⋅( $-1$) + c

$-6$ = $-9$ + c | + $9$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x + $3$

An der Stelle x= $5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-1+0$

= $-10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 5-1$

= $-50-1$

= $-51$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-51$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 5^2-5-2$ = $-5\cdot 25-5-2$ = $-125-5-2$ = $-132$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$| $-132$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-132$ = $-51$⋅ $5$ + c

$-132$ = $-255$ + c | + $255$

$123$ = c

also c= $123$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-51$⋅x + $123$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-1|-6) mit der zugehörigen Tangente: $9x+3$

B(5|-132) mit der zugehörigen Tangente: $-51x+123$