Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1-4$

= $-4-4$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2-4\cdot 1$ = $-2\cdot 1-4$ = $-2-4$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-8$⋅ $1$ + c

$-6$ = $-8$ + c | + $8$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ ${\left(-2x+3\right)}^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-2x+3\right)}^2·\left(-2+0\right)+4$

= $3{\left(-2x+3\right)}^2·\left(-2\right)+4$

= $-6{\left(-2x+3\right)}^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-6\cdot {\left(-2\cdot 0+3\right)}^2+4$

= $-6\cdot {\left(0+3\right)}^2+4$

= $-6\cdot 3^2+4$

= $-6\cdot 9+4$

= $-54+4$

= $-50$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-50$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ ${\left(-2\cdot 0+3\right)}^3+4\cdot 0$ = ${\left(0+3\right)}^3+0$ = $3^3+0$ = $27+0$ = $27$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27$ = $-50$⋅$0$ + c

$27$ = 0 + c

$27$ = c

also c= $27$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-50$⋅x + $27$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-2x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $3e^{-2x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $3e^{-2\cdot 0}$

= $3e^0$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-2\cdot 0}$ = $-\frac{3}{2}{e}^0$ = $-\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{3}{2}$ = $3$⋅0 + c

$-\frac{3}{2}$ = 0 + c

$-\frac{3}{2}$ = c

also c= $-\frac{3}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-\frac{3}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2·e^{\mathrm{0,4}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·2x·e^{\mathrm{0,4}x}+2x^2·e^{\mathrm{0,4}x}·\mathrm{0,4}$

= $4x·e^{\mathrm{0,4}x}+2x^2·\mathrm{0,4}{e}^{\mathrm{0,4}x}$

= $4x·e^{\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,8}{x}^2·e^{\mathrm{0,4}x}$

= $e^{\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{0,8}{x}^2+4x\right)$

= $\left(\mathrm{0,8}{x}^2+4x\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}·\left(\mathrm{0,8}\cdot 1^2+4\cdot 1\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}}·\left(\mathrm{0,8}\cdot 1+4\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}}·\left(\mathrm{0,8}+4\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}}·\mathrm{4,8}$

= $\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$

≈ 7.16

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·1^2·e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}$ = $2·1·e^{\mathrm{0,4}}$ = $2e^{\mathrm{0,4}}$ ≈ 2.98

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $2e^{\mathrm{0,4}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^{\mathrm{0,4}}$ = $\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$⋅ $1$ + c

$2e^{\mathrm{0,4}}$ = $\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ + c | $-\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$

$-\mathrm{2,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ = c

also c= $-\mathrm{2,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ ≈ -4.18

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$⋅x $-\mathrm{2,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ oder y=7.16x -4.18

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+0$

= $-3\cdot \sin \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-3\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $-3\cdot \left(-1\right)$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+2$ = $3\cdot 0+2$ = $0+2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\frac{1}{2}\pi$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-\frac{1}{3}$⋅( $-\frac{1}{2}\pi$) + c

$2$ = $\frac{1}{6}\pi$ + c | $-\frac{1}{6}\pi$

$2-\frac{1}{6}\pi$ = c

also c= $2-\frac{1}{6}\pi$ ≈ 1.48

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $2-\frac{1}{6}\pi$ oder y=-0.33x +1.48

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|-4) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|-4) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-4 = $\left(8u+3\right)·\left(1-u\right)$ + $4u^2+3u+5$ | +4

$\left(8u+3\right)\left(1-u\right)+4u^2+3u+5+4$ = 0

$-8u^2+5u+3+4u^2+3u+5+4$ = 0

$-4u^2+8u+12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2+8u+12$ = 0 |:4

$-u^2+2u+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

L={ $-1$; $3$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+3x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+3+0$

= $8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-1\right)+3$

= $-8+3$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)+5$ = $4\cdot 1-3+5$ = $4-3+5$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-5$⋅( $-1$) + c

$6$ = $5$ + c | $-5$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $1$

An der Stelle x= $3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+3x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+3+0$

= $8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 3+3$

= $24+3$

= $27$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $27$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 3^2+3\cdot 3+5$ = $4\cdot 9+9+5$ = $36+9+5$ = $50$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $50$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$50$ = $27$⋅ $3$ + c

$50$ = $81$ + c | $-81$

$-31$ = c

also c= $-31$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $27$⋅x $-31$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+3x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+3u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+3u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,5}{u}^2$

$-\left(-3u^2+3u\right)u-u^3+\mathrm{1,5}{u}^2$ = 0

$3u^3-3u^2-u^3+\mathrm{1,5}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,5}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,5}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,5}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,75}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,75}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,5}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,75</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,75}}^2+3\cdot \mathrm{0,75}$

= $-3\cdot \mathrm{0,5625}+\mathrm{2,25}$

= $-\mathrm{1,6875}+\mathrm{2,25}$

= $\mathrm{0,5625}$

≈ 0.56

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,5625}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,75</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,75}}^3+\mathrm{1,5}\cdot {\mathrm{0,75}}^2$ = $-\mathrm{0,4219}+\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,5625}$ = $\mathrm{0,4219}$ ≈ 0.42

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,75}$| $\mathrm{0,4219}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,4219}$ = $\mathrm{0,5625}$⋅ $\mathrm{0,75}$ + c

$\mathrm{0,4219}$ = $\mathrm{0,4219}$ + c | $-\mathrm{0,4219}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,5625}$⋅x +0 oder y=0.56x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,5625}x$	=	$\mathrm{1,5}$	|:$\mathrm{0,5625}$
$x$	=	$\mathrm{2,6667}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.667.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-6$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(3|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-6}$ = $-\frac{1}{2u-6}$

Wir können also P(3|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-6}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u-6}·\left(3-u\right)$ + $u^2-6u+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{3-u}{2u-6}+u^2-6u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-6u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$u^2-6u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-6u+0$	=	0
$u^2-6u$	=	0
$u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-6\cdot 0+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $2$)

f( $6$) = $6^2-6\cdot 6+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $6$| $2$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{10,368}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{9,344}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{10,368}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{9,344}$ ≈ 9.34

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{9,344}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{9,344}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{9,344}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{10,88}$ = c

also c= $\mathrm{10,88}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{10,88}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{10,88}$	=	0	| $-\mathrm{10,88}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{10,88}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{5,6667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.667.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|-13) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|-13) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-13 = $\left(-8u+4\right)·\left(-2-u\right)$ + $-4u^2+4u-5$ | +13

$\left(-8u+4\right)\left(-2-u\right)-4u^2+4u-5+13$ = 0

$8u^2+12u-8-4u^2+4u-5+13$ = 0

$4u^2+16u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+16u+0$	=	0
$4u^2+16u$	=	0
$4u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+4x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+4+0$

= $-8x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-4\right)+4$

= $32+4$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)-5$ = $-4\cdot 16-16-5$ = $-64-16-5$ = $-85$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $-85$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-85$ = $36$⋅( $-4$) + c

$-85$ = $-144$ + c | + $144$

$59$ = c

also c= $59$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x + $59$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+4x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+4+0$

= $-8x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-8\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2+4\cdot 0-5$ = $-4\cdot 0+0-5$ = $0+0-5$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $4$⋅0 + c

$-5$ = 0 + c

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-5$