Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi$ = $-1+\frac{3}{2}\pi$ ≈ 3.71

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $-1+\frac{3}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1+\frac{3}{2}\pi$ = $1$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$-1+\frac{3}{2}\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ + c | $-\frac{3}{2}\pi$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\cos (3x-\pi )$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\sin (3x-\pi )·\left(3+0\right)$

= $-\sin (3x-\pi )·3$

= $-3\cdot \sin (3x-\pi )$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-3\cdot \sin (3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\pi )$

= $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot 1$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\cos (3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\pi )$ = $\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-3$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

0 = $-\frac{3}{2}\pi$ + c | + $\frac{3}{2}\pi$

$\frac{3}{2}\pi$ = c

also c= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ 4.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\frac{3}{2}\pi$ oder y=-3x +4.71

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x·e^{x-1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·e^{x-1}-2x·e^{x-1}·1$

= $-2e^{x-1}-2x·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·\left(-2-2x\right)$

= $e^{x-1}·\left(-2x-2\right)$

= $\left(-2x-2\right)·e^{x-1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{1-1}·\left(-2\cdot 1-2\right)$

= $e^0·\left(-2-2\right)$

= $1·\left(-4\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·1·e^{1-1}$ = $-2·1·e^0$ = $-2·1·1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-4$⋅ $1$ + c

$-2$ = $-4$ + c | + $4$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-e^{x-3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x-3}·1$

= $-e^{x-3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{1-3}$

= $-e^{-2}$

≈ -0.14

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-e^{-2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{1-3}$ = $-e^{-2}$ ≈ -0.14

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-e^{-2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-e^{-2}$ = $-e^{-2}$⋅$1$ + c

$-e^{-2}$ = $-e^{-2}$ + c | + $e^{-2}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-e^{-2}$⋅x +0 oder y=-0.14x

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+0$

= $-2x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-1\right)$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2+1$ = $-1+1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{2}$⋅( $-1$) + c

0 = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}$ = c

also c= $-\frac{1}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x $-\frac{1}{2}$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|13) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|13) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

13 = $\left(-8u+3\right)·\left(0-u\right)$ + $-4u^2+3u-3$ | -13

$-\left(-8u+3\right)u-4u^2+3u-3-13$ = 0

$8u^2-3u-4u^2+3u-3-13$ = 0

$4u^2+0-16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+0-16$	=	0
$4u^2-16$	=	0	| $+16$
$4u^2$	=	$16$	|:$4$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+3x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+3+0$

= $-8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)+3$

= $16+3$

= $19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)-3$ = $-4\cdot 4-6-3$ = $-16-6-3$ = $-25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-25$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-25$ = $19$⋅( $-2$) + c

$-25$ = $-38$ + c | + $38$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $19$⋅x + $13$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+3x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+3+0$

= $-8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 2+3$

= $-16+3$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 2^2+3\cdot 2-3$ = $-4\cdot 4+6-3$ = $-16+6-3$ = $-13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-13$ = $-13$⋅ $2$ + c

$-13$ = $-26$ + c | + $26$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x + $13$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{6,6}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)u-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{6,6}{u}^2-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{3,3}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,65}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,65}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{3,3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,65}}^2+\mathrm{6,6}\cdot \mathrm{1,65}$

= $-3\cdot \mathrm{2,7225}+\mathrm{10,89}$

= $-\mathrm{8,1675}+\mathrm{10,89}$

= $\mathrm{2,7225}$

≈ 2.72

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{2,7225}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,65}}^3+\mathrm{3,3}\cdot {\mathrm{1,65}}^2$ = $-\mathrm{4,4921}+\mathrm{3,3}\cdot \mathrm{2,7225}$ = $\mathrm{4,4921}$ ≈ 4.49

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,65}$| $\mathrm{4,4921}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{2,7225}$⋅ $\mathrm{1,65}$ + c

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{4,4921}$ + c | $-\mathrm{4,4921}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{2,7225}$⋅x +0 oder y=2.72x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{2,7225}x$	=	$\mathrm{6,324}$	|:$\mathrm{2,7225}$
$x$	=	$\mathrm{2,3229}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.323.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($6$|$\frac{9}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{3}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($6$|$\frac{9}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}$ = $-\frac{3}{2u}$

Wir können also P($6$|$\frac{9}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{3}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{-1}{\frac{2}{3}u}·\left(6-u\right)$ + $\frac{1}{3}{u}^2+3$ | -$\frac{9}{2}$

$-\frac{3}{2}\frac{6-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2+3-\frac{9}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3}u$

$\left(-\frac{3}{2}\frac{6-u}{u}+\frac{1}{3}{u}^2+3-\frac{9}{2}\right)·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\frac{3}{2}\frac{6-u}{u}·\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}{u}^2·\frac{2}{3}u+3·\frac{2}{3}u-\frac{9}{2}·\frac{2}{3}u$ = 0

$-\left(6-u\right)+\frac{2}{9}{u}^2·u+2u-3u$ = 0

$-6+u+\frac{2}{9}{u}^3+2u-3u$ = 0

$\frac{2}{9}{u}^3+0-6$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9}{u}^3+0-6$	=	0
$\frac{2}{9}{u}^3-6$	=	0	| $+6$
$\frac{2}{9}{u}^3$	=	$6$	|⋅$\frac{9}{2}$
$u^3$	=	$27$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

L={ $3$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $3$) = $\frac{1}{3}\cdot 3^2+3$ = $6$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $3$| $6$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{4,608}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{3,584}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{4,608}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{4,608}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{4,608}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{4,608}$ = $\mathrm{3,584}$ ≈ 3.58

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{3,584}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{3,584}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{3,584}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{5,12}$ = c

also c= $\mathrm{5,12}$ ≈ 5.12

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{5,12}$ oder y=-1.92x +5.12

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{5,12}$	=	0	| $-\mathrm{5,12}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{5,12}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{2,6667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.667.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|-1) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|-1) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-1 = $\left(-6u+1\right)·\left(3-u\right)$ + $-3u^2+u-4$ | +1

$\left(-6u+1\right)\left(3-u\right)-3u^2+u-4+1$ = 0

$6u^2-19u+3-3u^2+u-4+1$ = 0

$3u^2-18u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2-18u+0$	=	0
$3u^2-18u$	=	0
$3u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1+0$

= $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-6\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^2+0-4$ = $-3\cdot 0+0-4$ = $0+0-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $1$⋅0 + c

$-4$ = 0 + c

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-4$

An der Stelle x= $6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1+0$

= $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 6+1$

= $-36+1$

= $-35$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-35$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 6^2+6-4$ = $-3\cdot 36+6-4$ = $-108+6-4$ = $-106$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$| $-106$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-106$ = $-35$⋅ $6$ + c

$-106$ = $-210$ + c | + $210$

$104$ = c

also c= $104$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-35$⋅x + $104$