Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+4$

= $12+4$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)$ = $-3\cdot 4-8$ = $-12-8$ = $-20$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-20$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-20$ = $16$⋅( $-2$) + c

$-20$ = $-32$ + c | + $32$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x + $12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(-3x+4\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(-3x+4\right)·\left(-3+0\right)$

= $-6\left(-3x+4\right)·\left(-3\right)$

= $18\left(-3x+4\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $18\left(-3\cdot 0+4\right)$

= $18\left(0+4\right)$

= $72$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $72$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(-3\cdot 0+4\right)}^2$ = $-3\cdot {\left(0+4\right)}^2$ = $-3\cdot 4^2$ = $-3\cdot 16$ = $-48$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-48$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-48$ = $72$⋅$0$ + c

$-48$ = 0 + c

$-48$ = c

also c= $-48$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $72$⋅x $-48$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3e^{-2\left(x+1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{-2\left(x+1\right)}·\left(-2\right)$

= $6e^{-2\left(x+1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6e^{-2\left(-1+1\right)}$

= $6e^{-2·0}$

= $6e^0$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3e^{-2\left(-1+1\right)}$ = $-3e^{-2·0}$ = $-3e^0$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $6$⋅( $-1$) + c

$-3$ = $-6$ + c | + $6$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x + $3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-e^{-x+2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-x+2}·\left(-1\right)$

= $e^{-x+2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $e^{-1+2}$

= $e$

≈ 2.72

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $e$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{-1+2}$ = $-e$ ≈ -2.72

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-e$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-e$ = $e$⋅$1$ + c

$-e$ = $e$ + c | $-e$

$-2e$ = c

also c= $-2e$ ≈ -5.44

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $e$⋅x $-2e$ oder y=2.72x -5.44

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-\frac{2}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-\frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-2\right)-\frac{2}{3}$

= $8-\frac{2}{3}$

= $\frac{24}{3}-\frac{2}{3}$

= $\frac{22}{3}$

≈ 7.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{22}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{22}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{2}{3}\cdot \left(-2\right)$ = $-2\cdot 4+\frac{4}{3}$ = $-8+\frac{4}{3}$ = $-\frac{24}{3}+\frac{4}{3}$ = $-\frac{20}{3}$ ≈ -6.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-\frac{20}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{20}{3}$ = $-\frac{3}{22}$⋅( $-2$) + c

$-\frac{20}{3}$ = $\frac{3}{11}$ + c | $-\frac{3}{11}$

$-\frac{229}{33}$ = c

also c= $-\frac{229}{33}$ ≈ -6.94

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{22}$⋅x $-\frac{229}{33}$ oder y=-0.14x -6.94

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|9) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|9) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

9 = $\left(2u+2\right)·\left(3-u\right)$ + $u^2+2u-2$ | -9

$\left(2u+2\right)\left(3-u\right)+u^2+2u-2-9$ = 0

$-2u^2+4u+6+u^2+2u-2-9$ = 0

$-u^2+6u-5$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2+6u-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·\left(-5\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

L={ $1$; $5$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+2+0$

= $2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 1+2$

= $2+2$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^2+2\cdot 1-2$ = $1+2-2$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $4$⋅ $1$ + c

$1$ = $4$ + c | $-4$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-3$

An der Stelle x= $5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+2+0$

= $2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 5+2$

= $10+2$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5^2+2\cdot 5-2$ = $25+10-2$ = $33$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$| $33$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$33$ = $12$⋅ $5$ + c

$33$ = $60$ + c | $-60$

$-27$ = c

also c= $-27$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$⋅x $-27$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{2,4}}{{\left(\mathrm{0,4}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(35|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(35|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{2,4}}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{2,4}}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}·\left(35-u\right)$ + $\frac{6}{\mathrm{0,4}u-2}$

$-\mathrm{2,4}\frac{35-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,4}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2$

$\left(-\mathrm{2,4}\frac{35-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,4}u-2}\right)·{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{2,4}\frac{35-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2+\frac{6}{\mathrm{0,4}u-2}·{\left(\mathrm{0,4}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{2,4}\left(35-u\right)+6\left(\mathrm{0,4}u-2\right)$ = 0

$-84+\mathrm{2,4}u+\mathrm{2,4}u-12$ = 0

$\mathrm{4,8}u-96$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{4,8}u-96$	=	0	| $+96$
$\mathrm{4,8}u$	=	$96$	|:$\mathrm{4,8}$
$u$	=	$20$

L={ $20$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 20 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($128$|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($128$|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($128$|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(128-u\right)$ + $u^2+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}+u^2+3-\frac{7}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}+u^2+3-\frac{7}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}·2u+u^2·2u+3·2u-\frac{7}{2}·2u$ = 0

$-\left(128-u\right)+2u^2·u+6u-7u$ = 0

$-128+u+2u^3+6u-7u$ = 0

$2u^3+0-128$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-128$	=	0
$2u^3-128$	=	0	| $+128$
$2u^3$	=	$128$	|:$2$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $4^2+3$ = $19$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $19$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{6,156}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{5,724}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{6,156}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{6,156}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{6,156}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{6,156}$ = $\mathrm{5,724}$ ≈ 5.72

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{5,724}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,724}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{5,724}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{6,372}$ = c

also c= $\mathrm{6,372}$ ≈ 6.37

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{6,372}$ oder y=-1.08x +6.37

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{6,372}$	=	0	| $-\mathrm{6,372}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{6,372}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{5,9}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.9.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{12,393}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{10,935}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{12,393}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{12,393}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{12,393}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{12,393}$ = $\mathrm{10,935}$ ≈ 10.94

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{10,935}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{10,935}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{10,935}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{13,122}$ = c

also c= $\mathrm{13,122}$ ≈ 13.12

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{13,122}$ oder y=-2.43x +13.12

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{13,122}$	=	0	| $-\mathrm{13,122}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{13,122}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{5,4}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.4.