Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{6} x^{3} + 4 x$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{6} x^{3} + 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{2} + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 4$

= $- \frac{1}{2} \cdot 4 + 4$

= $- 2 + 4$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- \frac{1}{6} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$ = $- \frac{1}{6} \cdot 8 + 8$ = $- \frac{4}{3} + 8$ = $- \frac{4}{3} + \frac{24}{3}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $\frac{20}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{20}{3}$ = $2$ ⋅ $2$ + c

$\frac{20}{3}$ = $4$ + c | $- 4$

$\frac{8}{3}$ = c

also c= $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$ ⋅x + $\frac{8}{3}$ oder y=2x +2.67

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (- x - π)$ an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\sin (- x - π)$ ,
also

$f'(x) =$ $\cos (- x - π) \cdot (- 1 + 0)$

= $\cos (- x - π) \cdot (- 1)$

= $- \cos (- x - π)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2} π) =$ $- \cos (- (\frac{1}{2} π) - π)$

= $- \cos (- \frac{3}{2} π)$

= $- 0$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2} π) =$ $\sin (- (\frac{1}{2} π) - π)$ = $\sin (- \frac{3}{2} π)$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2} π$ | $1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = 0⋅ $\frac{1}{2} π$ + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $1$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{- (x + 1)}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{- (x + 1)}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{1}{5} e^{- (x + 1)} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{5} e^{- (x + 1)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- \frac{1}{5} e^{- (- 1 + 1)}$

= $- \frac{1}{5} e^{- 1 \cdot 0}$

= $- \frac{1}{5} e^{0}$

= $- \frac{1}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{1}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $\frac{1}{5} e^{- (- 1 + 1)}$ = $\frac{1}{5} e^{- 1 \cdot 0}$ = $\frac{1}{5} e^{0}$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $\frac{1}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ + c | $- \frac{1}{5}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{1}{5}$ ⋅x +0

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot e^{0,6 x}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot e^{0,6 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{0,6 x} + (3 x^{2} + 4) \cdot e^{0,6 x} \cdot 0,6$

= $6 x \cdot e^{0,6 x} + (3 x^{2} + 4) \cdot 0,6 e^{0,6 x}$

= $6 x \cdot e^{0,6 x} + 0,6 (3 x^{2} + 4) \cdot e^{0,6 x}$

= $e^{0,6 x} \cdot (1,8 x^{2} + 2,4 + 6 x)$

= $e^{0,6 x} \cdot (1,8 x^{2} + 6 x + 2,4)$

= $(1,8 x^{2} + 6 x + 2,4) \cdot e^{0,6 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $e^{0,6 \cdot 2} \cdot (1,8 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 + 2,4)$

= $e^{1,2} \cdot (1,8 \cdot 4 + 12 + 2,4)$

= $e^{1,2} \cdot (7,2 + 12 + 2,4)$

= $e^{1,2} \cdot 21,6$

= $21,6 e^{1,2}$

≈ 71.71

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $21,6 e^{1,2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $(3 \cdot 2^{2} + 4) \cdot e^{0,6 \cdot 2}$ = $(3 \cdot 4 + 4) \cdot e^{1,2}$ = $16 \cdot e^{1,2}$ = $16 e^{1,2}$ ≈ 53.12

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $16 e^{1,2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$16 e^{1,2}$ = $21,6 e^{1,2}$ ⋅ $2$ + c

$16 e^{1,2}$ = $43,2 e^{1,2}$ + c | $- 43,2 e^{1,2}$

$- 27,2 e^{1,2}$ = c

also c= $- 27,2 e^{1,2}$ ≈ -90.31

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $21,6 e^{1,2}$ ⋅x $- 27,2 e^{1,2}$ oder y=71.71x -90.31

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 4$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + 0$

= $2 \cdot \cos (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $2 \cdot \cos (0)$

= $2 \cdot 1$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $2 \cdot \sin (0) + 4$ = $2 \cdot 0 + 4$ = $0 + 4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- \frac{1}{2}$ ⋅ $0$ + c

$4$ = 0 + c

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{2}$ ⋅x + $4$

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(1|-5) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 x + 2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|-5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|-5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2 u + 2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-5 = $(2 u + 2) \cdot (1 - u)$ + $u^{2} + 2 u + 1$ | +5

$(2 u + 2) (1 - u) + u^{2} + 2 u + 1 + 5$ = 0

$- 2 u^{2} + 2 + u^{2} + 2 u + 1 + 5$ = 0

$- u^{2} + 2 u + 8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$- u^{2} + 2 u + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

L={ $- 2$ ; $4$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x + 2 + 0$

= $2 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $2 \cdot (- 2) + 2$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ ${(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 1$ = $4 - 4 + 1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $- 2$ ⋅( $- 2$ ) + c

$1$ = $4$ + c | $- 4$

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x $- 3$

An der Stelle x= $4$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x + 2 + 0$

= $2 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $2 \cdot 4 + 2$

= $8 + 2$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $4^{2} + 2 \cdot 4 + 1$ = $16 + 8 + 1$ = $25$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$ | $25$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$25$ = $10$ ⋅ $4$ + c

$25$ = $40$ + c | $- 40$

$- 15$ = c

also c= $- 15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$ ⋅x $- 15$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 2,4 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 1,6) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $2,048$ (für x ≥ 1,6) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,8 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 4,8 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 4,8 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 2,4 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 4,8 u) u - u^{3} + 2,4 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 4,8 u^{2} - u^{3} + 2,4 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 2,4 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 2,4 u^{2}$	=	0
$u^{2} (2 u - 2,4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 2,4$	=	0	\| $+ 2,4$
$2 u$	=	$2,4$	\|: $2$
u₂	=	$1,2$

L={0; $1,2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1,2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 2,4 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1,2) =$ $- 3 \cdot {1,2}^{2} + 4,8 \cdot 1,2$

= $- 3 \cdot 1,44 + 5,76$

= $- 4,32 + 5,76$

= $1,44$

≈ 1.44

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1,44$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1,2) =$ $- {1,2}^{3} + 2,4 \cdot {1,2}^{2}$ = $- 1,728 + 2,4 \cdot 1,44$ = $- 1,728 + 3,456$ = $1,728$ ≈ 1.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $1,2$ | $1,728$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1,728$ = $1,44$ ⋅ $1,2$ + c

$1,728$ = $1,728$ + c | $- 1,728$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1,44$ ⋅x +0 oder y=1.44x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$1,44 x$	=	$3,048$	\|: $1,44$
$x$	=	$2,1167$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.117.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P(1| $\frac{5}{2}$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2 x + 2$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1| $\frac{5}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 x - 2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1| $\frac{5}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{2 u - 2}$ = $- \frac{1}{2 u - 2}$

Wir können also P(1| $\frac{5}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{1}{2 u - 2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{- 1}{2 u - 2} \cdot (1 - u)$ + $u^{2} - 2 u + 2$ | - $\frac{5}{2}$

$- \frac{1 - u}{2 u - 2} + u^{2} - 2 u + 2 - \frac{5}{2}$ = 0

$\frac{1}{2} + u^{2} - 2 u + 2 - \frac{5}{2}$ = 0

$u^{2} - 2 u + 0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 0$	=	0
$u^{2} - 2 u$	=	0
$u (u - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u₁

=

0

2. Fall:

$u - 2$	=	0	\| $+ 2$
u₂	=	$2$

L={0; $2$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^{2} - 2 \cdot 0 + 2$ = $2$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $2$ )

f( $2$ ) = $2^{2} - 2 \cdot 2 + 2$ = $2$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$ | $2$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,564$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,564$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3,6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3,6$	=	0	\| $+ 3,6$
$6 x$	=	$3,6$	\|: $6$
$x$	=	$0,6$

Die Lösung x= $0,6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,6$ | $3,132$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,564$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,6) =$ $3 \cdot {0,6}^{2} - 3,6 \cdot 0,6$

= $3 \cdot 0,36 - 2,16$

= $1,08 - 2,16$

= $- 1,08$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,08$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,6) =$ ${0,6}^{3} - 1,8 \cdot {0,6}^{2} + 3,564$ = $0,216 - 1,8 \cdot 0,36 + 3,564$ = $0,216 - 0,648 + 3,564$ = $3,132$ ≈ 3.13

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,6$ | $3,132$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3,132$ = $- 1,08$ ⋅ $0,6$ + c

$3,132$ = $- 0,648$ + c | + $0,648$

$3,78$ = c

also c= $3,78$ ≈ 3.78

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,08$ ⋅x + $3,78$ oder y=-1.08x +3.78

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 1,08 x + 3,78$	=	0	\| $- 3,78$
$- 1,08 x$	=	$- 3,78$	\|:( $- 1,08$ )
$x$	=	$3,5$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.5.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(3|-1) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 4 x + 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $4 x - 4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|-1) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|-1) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $4 u - 4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-1 = $(4 u - 4) \cdot (3 - u)$ + $2 u^{2} - 4 u + 1$ | +1

$(4 u - 4) (3 - u) + 2 u^{2} - 4 u + 1 + 1$ = 0

$- 4 u^{2} + 16 u - 12 + 2 u^{2} - 4 u + 1 + 1$ = 0

$- 2 u^{2} + 12 u - 10$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 2 u^{2} + 12 u - 10

= 0 |:2

$- u^{2} + 6 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

L={ $1$ ; $5$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - 4 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x - 4 + 0$

= $4 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $4 \cdot 1 - 4$

= $4 - 4$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1$ = $2 \cdot 1 - 4 + 1$ = $2 - 4 + 1$ = $- 1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 1$ = 0⋅ $1$ + c

$- 1$ = 0 + c

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $- 1$

An der Stelle x= $5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - 4 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x - 4 + 0$

= $4 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(5) =$ $4 \cdot 5 - 4$

= $20 - 4$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(5) =$ $2 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 1$ = $2 \cdot 25 - 20 + 1$ = $50 - 20 + 1$ = $31$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$ | $31$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$31$ = $16$ ⋅ $5$ + c

$31$ = $80$ + c | $- 80$

$- 49$ = c

also c= $- 49$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$ ⋅x $- 49$

Aufgabenbeispiele von Tangenten

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= -2 :

An der Stelle x= 4 :

Tangente von außen Anwendungen

An der Stelle x= 1,2 :

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1| 5 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= 1 :

An der Stelle x= 5 :

An der Stelle x= $- 2$ :

An der Stelle x= $4$ :

An der Stelle x= $1,2$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1| $\frac{5}{2}$ ) verläuft.

An der Stelle x= $1$ :

An der Stelle x= $5$ :