Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(3\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(3\pi \right)+1$ = $4\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-4$⋅ $3\pi$ + c

$1$ = $-12\pi$ + c | + $12\pi$

$1+12\pi$ = c

also c= $1+12\pi$ ≈ 38.7

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $1+12\pi$ oder y=-4x +38.7

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3{\left(2x-5\right)}^3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(2x-5\right)}^2·\left(2+0\right)$

= $9{\left(2x-5\right)}^2·\left(2\right)$

= $18{\left(2x-5\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $18\cdot {\left(2\cdot 0-5\right)}^2$

= $18\cdot {\left(0-5\right)}^2$

= $18\cdot {\left(-5\right)}^2$

= $18\cdot 25$

= $450$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $450$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(2\cdot 0-5\right)}^3$ = $3\cdot {\left(0-5\right)}^3$ = $3\cdot {\left(-5\right)}^3$ = $3\cdot \left(-125\right)$ = $-375$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-375$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-375$ = $450$⋅$0$ + c

$-375$ = 0 + c

$-375$ = c

also c= $-375$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $450$⋅x $-375$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x·e^{x-2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-1·e^{x-2}-x·e^{x-2}·1$

= $-e^{x-2}-x·e^{x-2}$

= $e^{x-2}·\left(-1-x\right)$

= $e^{x-2}·\left(-x-1\right)$

= $\left(-x-1\right)·e^{x-2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{2-2}·\left(-2-1\right)$

= $1·\left(-2-1\right)$

= $-2-1$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·e^{2-2}$ = $-2·e^0$ = $-2·1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-3$⋅ $2$ + c

$-2$ = $-6$ + c | + $6$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(2x-4\right)·e^{\mathrm{0,3}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{\mathrm{0,3}x}+\left(2x-4\right)·e^{\mathrm{0,3}x}·\mathrm{0,3}$

= $2e^{\mathrm{0,3}x}+\left(2x-4\right)·\mathrm{0,3}{e}^{\mathrm{0,3}x}$

= $2e^{\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,3}\left(2x-4\right)·e^{\mathrm{0,3}x}$

= $e^{\mathrm{0,3}x}·\left(2+\mathrm{0,6}x-\mathrm{1,2}\right)$

= $e^{\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,8}\right)$

= $\left(\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,8}\right)·e^{\mathrm{0,3}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,3}\cdot 1}·\left(\mathrm{0,6}\cdot 1+\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{\mathrm{0,3}}·\left(\mathrm{0,6}+\mathrm{0,8}\right)$

= $e^{\mathrm{0,3}}·\mathrm{1,4}$

= $\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$

≈ 1.89

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(2\cdot 1-4\right)·e^{\mathrm{0,3}\cdot 1}$ = $\left(2-4\right)·e^{\mathrm{0,3}}$ = $-2e^{\mathrm{0,3}}$ ≈ -2.7

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-2e^{\mathrm{0,3}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2e^{\mathrm{0,3}}$ = $\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$⋅ $1$ + c

$-2e^{\mathrm{0,3}}$ = $\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$ + c | $-\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$

$-\mathrm{3,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$ = c

also c= $-\mathrm{3,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$ ≈ -4.59

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$⋅x $-\mathrm{3,4}{e}^{\mathrm{0,3}}$ oder y=1.89x -4.59

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2+0$

= $-15x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-15\cdot 2^2$

= $-15\cdot 4$

= $-60$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{60}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{60}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 2^3-5$ = $-5\cdot 8-5$ = $-40-5$ = $-45$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-45$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-45$ = $\frac{1}{60}$⋅ $2$ + c

$-45$ = $\frac{1}{30}$ + c | $-\frac{1}{30}$

$-\frac{1351}{30}$ = c

also c= $-\frac{1351}{30}$ ≈ -45.03

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{60}$⋅x $-\frac{1351}{30}$ oder y=0.02x -45.03

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-17) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-17) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-17 = $\left(-6u+1\right)·\left(-3-u\right)$ + $-3u^2+u+1$ | +17

$\left(-6u+1\right)\left(-3-u\right)-3u^2+u+1+17$ = 0

$6u^2+17u-3-3u^2+u+1+17$ = 0

$3u^2+18u+15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+18u+15$ = 0 |:3

$u^2+6u+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

u₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1+0$

= $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-5\right)+1$

= $30+1$

= $31$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $31$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-5\right)}^2-5+1$ = $-3\cdot 25-5+1$ = $-75-5+1$ = $-79$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $-79$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-79$ = $31$⋅( $-5$) + c

$-79$ = $-155$ + c | + $155$

$76$ = c

also c= $76$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $31$⋅x + $76$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1+0$

= $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-1\right)+1$

= $6+1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-1+1$ = $-3\cdot 1-1+1$ = $-3-1+1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $7$⋅( $-1$) + c

$-3$ = $-7$ + c | + $7$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{2,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)u-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{2,4}{u}^2-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,2}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,6}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,6}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,6}$

= $-3\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{1,44}$

= $-\mathrm{1,08}+\mathrm{1,44}$

= $\mathrm{0,36}$

≈ 0.36

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,36}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,6}}^3+\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,6}}^2$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,36}$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{0,432}$ = $\mathrm{0,216}$ ≈ 0.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,216}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,36}$⋅ $\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,216}$ + c | $-\mathrm{0,216}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,36}$⋅x +0 oder y=0.36x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,36}x$	=	$\mathrm{1,256}$	|:$\mathrm{0,36}$
$x$	=	$\mathrm{3,4889}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 3.489.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($4$|$2$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($4$|$2$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{u}$ = $-\frac{1}{u}$

Wir können also P($4$|$2$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$2$ = $\frac{-1}{u}·\left(4-u\right)$ + $\frac{1}{2}{u}^2+1$ | -$2$

$-\frac{4-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+1-2$ = 0 | ⋅ $u$

$(-\frac{4-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+1-2)·u$ = 0

$-\frac{4-u}{u}·u+\frac{1}{2}{u}^2·u+1·u-2·u$ = 0

$-\left(4-u\right)+\frac{1}{2}{u}^2·u+u-2u$ = 0

$-4+u+\frac{1}{2}{u}^3+u-2u$ = 0

$\frac{1}{2}{u}^3+0-4$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{2}{u}^3+0-4$	=	0
$\frac{1}{2}{u}^3-4$	=	0	| $+4$
$\frac{1}{2}{u}^3$	=	$4$	|⋅$2$
$u^3$	=	$8$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $2$) = $\frac{1}{2}\cdot 2^2+1$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{4,275}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $\frac{\mathrm{16,1}}{4}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{4,275}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{4,275}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{4,275}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{4,275}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{171}{40}$ = $\frac{5}{40}-\frac{15}{40}+\frac{171}{40}$ = $\frac{161}{40}$ = $\frac{161000000}{40000000}$ = $\frac{\mathrm{1,61E+14}}{40000000000000}$ ≈ 4.03

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $\frac{161}{40}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{161}{40}$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$\frac{161}{40}$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{176}{40}$ = c

also c= $\frac{176}{40}$ ≈ 4.4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{176}{40}$ oder y=-0.75x +4.4

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\mathrm{4,4}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\mathrm{4,4}\right)$	=	0
$-3x+\mathrm{17,6}$	=	0	| $-\mathrm{17,6}$
$-3x$	=	$-\mathrm{17,6}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{5,8667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.867.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-48) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|-48) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-48 = $\left(-6u+2\right)·\left(-4-u\right)$ + $-3u^2+2u-4$ | +48

$\left(-6u+2\right)\left(-4-u\right)-3u^2+2u-4+48$ = 0

$6u^2+22u-8-3u^2+2u-4+48$ = 0

$3u^2+24u+36$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+24u+36$ = 0 |:3

$u^2+8u+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{2}$ = $-6$

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+2+0$

= $-6x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-6\right)+2$

= $36+2$

= $38$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $38$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-6\right)}^2+2\cdot \left(-6\right)-4$ = $-3\cdot 36-12-4$ = $-108-12-4$ = $-124$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $-124$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-124$ = $38$⋅( $-6$) + c

$-124$ = $-228$ + c | + $228$

$104$ = c

also c= $104$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $38$⋅x + $104$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+2+0$

= $-6x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+2$

= $12+2$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)-4$ = $-3\cdot 4-4-4$ = $-12-4-4$ = $-20$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-20$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-20$ = $14$⋅( $-2$) + c

$-20$ = $-28$ + c | + $28$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$⋅x + $8$