Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+1$

= $4\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi$ = $4\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{2}\pi$ = $-4+\frac{3}{2}\pi$ ≈ 0.71

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $-4+\frac{3}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4+\frac{3}{2}\pi$ = $1$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$-4+\frac{3}{2}\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ + c | $-\frac{3}{2}\pi$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ ${\left(x-1\right)}^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(x-1\right)}^2·\left(1+0\right)+0$

= $3{\left(x-1\right)}^2·\left(1\right)$

= $3{\left(x-1\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(0-1\right)}^2$

= $3\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $3\cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ ${\left(0-1\right)}^3-4$ = ${\left(-1\right)}^3-4$ = $\left(-1\right)-4$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $3$⋅$0$ + c

$-5$ = 0 + c

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{2\left(x+1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{2\left(x+1\right)}·2$

= $7e^{2\left(x+1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $7e^{2\left(-1+1\right)}$

= $7e^{2·0}$

= $7e^0$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{2\left(-1+1\right)}$ = $\frac{7}{2}{e}^{2·0}$ = $\frac{7}{2}{e}^0$ = $\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{2}$ = $7$⋅( $-1$) + c

$\frac{7}{2}$ = $-7$ + c | + $7$

$\frac{21}{2}$ = c

also c= $\frac{21}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $\frac{21}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2e^{x-1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x-1}·1$

= $2e^{x-1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $2e^{1-1}$

= $2e^0$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $2e^{1-1}$ = $2e^0$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $2$⋅$1$ + c

$2$ = $2$ + c | $-2$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+3$

= $2\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot \left(-1\right)+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-2+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ ≈ -6.71

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\frac{1}{2}\pi$| $-2-\frac{3}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2-\frac{3}{2}\pi$ = $-\frac{1}{3}$⋅( $-\frac{1}{2}\pi$) + c

$-2-\frac{3}{2}\pi$ = $\frac{1}{6}\pi$ + c | $-\frac{1}{6}\pi$

$-2-\frac{5}{3}\pi$ = c

also c= $-2-\frac{5}{3}\pi$ ≈ -7.24

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $-2-\frac{5}{3}\pi$ oder y=-0.33x -7.24

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-31) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-31) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-31 = $\left(-10u+2\right)·\left(4-u\right)$ + $-5u^2+2u-4$ | +31

$\left(-10u+2\right)\left(4-u\right)-5u^2+2u-4+31$ = 0

$10u^2-42u+8-5u^2+2u-4+31$ = 0

$5u^2-40u+35$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2-40u+35$ = 0 |:5

$u^2-8u+7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·7}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+2+0$

= $-10x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 1+2$

= $-10+2$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 1^2+2\cdot 1-4$ = $-5\cdot 1+2-4$ = $-5+2-4$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-8$⋅ $1$ + c

$-7$ = $-8$ + c | + $8$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x + $1$

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+2+0$

= $-10x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 7+2$

= $-70+2$

= $-68$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-68$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 7^2+2\cdot 7-4$ = $-5\cdot 49+14-4$ = $-245+14-4$ = $-235$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $-235$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-235$ = $-68$⋅ $7$ + c

$-235$ = $-476$ + c | + $476$

$241$ = c

also c= $241$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-68$⋅x + $241$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{2,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)u-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{2,4}{u}^2-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,2}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,6}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,6}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,6}$

= $-3\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{1,44}$

= $-\mathrm{1,08}+\mathrm{1,44}$

= $\mathrm{0,36}$

≈ 0.36

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,36}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,6}}^3+\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,6}}^2$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,36}$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{0,432}$ = $\mathrm{0,216}$ ≈ 0.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,216}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,36}$⋅ $\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,216}$ + c | $-\mathrm{0,216}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,36}$⋅x +0 oder y=0.36x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,36}x$	=	$\mathrm{1,256}$	|:$\mathrm{0,36}$
$x$	=	$\mathrm{3,4889}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 3.489.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($8$|$2$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($8$|$2$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}$ = $-\frac{2}{u}$

Wir können also P($8$|$2$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$2$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}·\left(8-u\right)$ + $\frac{1}{4}{u}^2$ | -$2$

$-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2-2$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2}u$

$\left(-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2-2\right)·\frac{1}{2}u$ = 0

$-2\frac{8-u}{u}·\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}{u}^2·\frac{1}{2}u-2·\frac{1}{2}u$ = 0

$-\left(8-u\right)+\frac{1}{8}{u}^2·u-u$ = 0

$-8+u+\frac{1}{8}{u}^3-u$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$	=	0
$\frac{1}{8}{u}^3-8$	=	0	| $+8$
$\frac{1}{8}{u}^3$	=	$8$	|⋅$8$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $\frac{1}{4}\cdot 4^2$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{10,368}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{9,344}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{10,368}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{9,344}$ ≈ 9.34

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{9,344}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{9,344}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{9,344}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{10,88}$ = c

also c= $\mathrm{10,88}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{10,88}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{10,88}$	=	0	| $-\mathrm{10,88}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{10,88}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{5,6667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.667.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-21) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-21) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-21 = $\left(-6u+3\right)·\left(-3-u\right)$ + $-3u^2+3u+3$ | +21

$\left(-6u+3\right)\left(-3-u\right)-3u^2+3u+3+21$ = 0

$6u^2+15u-9-3u^2+3u+3+21$ = 0

$3u^2+18u+15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+18u+15$ = 0 |:3

$u^2+6u+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

u₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+3x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+3+0$

= $-6x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-5\right)+3$

= $30+3$

= $33$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $33$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-5\right)}^2+3\cdot \left(-5\right)+3$ = $-3\cdot 25-15+3$ = $-75-15+3$ = $-87$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $-87$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-87$ = $33$⋅( $-5$) + c

$-87$ = $-165$ + c | + $165$

$78$ = c

also c= $78$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $33$⋅x + $78$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+3x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+3+0$

= $-6x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-1\right)+3$

= $6+3$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)+3$ = $-3\cdot 1-3+3$ = $-3-3+3$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $9$⋅( $-1$) + c

$-3$ = $-9$ + c | + $9$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x + $6$