Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x^2+0$

= $-x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2^2$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{3}\cdot 2^3+3$ = $-\frac{1}{3}\cdot 8+3$ = $-\frac{8}{3}+3$ = $-\frac{8}{3}+\frac{9}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{1}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{3}$ = $-4$⋅ $2$ + c

$\frac{1}{3}$ = $-8$ + c | + $8$

$\frac{25}{3}$ = c

also c= $\frac{25}{3}$ ≈ 8.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $\frac{25}{3}$ oder y=-4x +8.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(-2x+2\right)}^2-6x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(-2x+2\right)·\left(-2+0\right)-6$

= $-6\left(-2x+2\right)·\left(-2\right)-6$

= $12\left(-2x+2\right)-6$

= $12·\left(-2x\right)+12·2-6$

= $-24x+24-6$

= $-24x+18$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-24\cdot 0+18$

= $0+18$

= $18$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $18$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\cdot 0+2\right)}^2-6\cdot 0$ = $-3\cdot {\left(0+2\right)}^2+0$ = $-3\cdot 2^2+0$ = $-3\cdot 4+0$ = $-12+0$ = $-12$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-12$ = $18$⋅$0$ + c

$-12$ = 0 + c

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $18$⋅x $-12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-e^{2\left(x-3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2\left(x-3\right)}·2$

= $-2e^{2\left(x-3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2e^{2\left(3-3\right)}$

= $-2e^{2·0}$

= $-2e^0$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-e^{2\left(3-3\right)}$ = $-e^{2·0}$ = $-e^0$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-2$⋅ $3$ + c

$-1$ = $-6$ + c | + $6$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $e^{3x-6}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $e^{3x-6}·3$

= $3e^{3x-6}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $3e^{3\cdot 2-6}$

= $3e^{6-6}$

= $3e^0$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $e^{3\cdot 2-6}$ = $e^{6-6}$ = $e^0$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $3$⋅$2$ + c

$1$ = $6$ + c | $-6$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \sin \left(\pi \right)+3$

= $-2\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(\pi \right)+3\cdot \pi$ = $2\cdot \left(-1\right)+3\cdot \pi$ = $-2+3\cdot \pi$ ≈ 7.42

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $-2+3\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2+3\pi$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $\pi$ + c

$-2+3\pi$ = $-\frac{1}{3}\pi$ + c | + $\frac{1}{3}\pi$

$-2+\frac{10}{3}\pi$ = c

also c= $-2+\frac{10}{3}\pi$ ≈ 8.47

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $-2+\frac{10}{3}\pi$ oder y=-0.33x +8.47

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|10) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|10) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

10 = $\left(-2u-3\right)·\left(-2-u\right)$ + $-u^2-3u+4$ | -10

$\left(-2u-3\right)\left(-2-u\right)-u^2-3u+4-10$ = 0

$2u^2+7u+6-u^2-3u+4-10$ = 0

$u^2+4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2+4u+0$	=	0
$u^2+4u$	=	0
$u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-3x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-3+0$

= $-2x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-4\right)-3$

= $8-3$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-4\right)}^2-3\cdot \left(-4\right)+4$ = $-16+12+4$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $5$⋅( $-4$) + c

0 = $-20$ + c | + $20$

$20$ = c

also c= $20$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $20$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-3x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-3+0$

= $-2x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0-3$

= $0-3$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2-3\cdot 0+4$ = $-0+0+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-3$⋅0 + c

$4$ = 0 + c

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,2}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{4,2}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{4,2}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,1}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{4,2}u\right)u-u^3+\mathrm{2,1}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{4,2}{u}^2-u^3+\mathrm{2,1}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,1}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,1}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{2,1}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,05}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,05}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,1}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,05</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,05}}^2+\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{1,05}$

= $-3\cdot \mathrm{1,1025}+\mathrm{4,41}$

= $-\mathrm{3,3075}+\mathrm{4,41}$

= $\mathrm{1,1025}$

≈ 1.1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,1025}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,05</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,05}}^3+\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{1,05}}^2$ = $-\mathrm{1,1576}+\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{1,1025}$ = $\mathrm{1,1576}$ ≈ 1.16

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,05}$| $\mathrm{1,1576}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,1576}$ = $\mathrm{1,1025}$⋅ $\mathrm{1,05}$ + c

$\mathrm{1,1576}$ = $\mathrm{1,1576}$ + c | $-\mathrm{1,1576}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,1025}$⋅x +0 oder y=1.1x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,1025}x$	=	$\mathrm{2,372}$	|:$\mathrm{1,1025}$
$x$	=	$\mathrm{2,1515}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.152.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-8u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+0$	=	0
$u^2-8u$	=	0
$u\left(u-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-8\cdot 0+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$)

f( $8$) = $8^2-8\cdot 8+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $8$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,056}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{6,37}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,056}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{7,056}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{7,056}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{7,056}$ = $\mathrm{6,37}$ ≈ 6.37

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{6,37}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{6,37}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{6,37}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{7,399}$ = c

also c= $\mathrm{7,399}$ ≈ 7.4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{7,399}$ oder y=-1.47x +7.4

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{7,399}$	=	0	| $-\mathrm{7,399}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{7,399}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{5,0333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.033.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-1) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-1) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-1 = $\left(2u+4\right)·\left(0-u\right)$ + $u^2+4u+3$ | +1

$-\left(2u+4\right)u+u^2+4u+3+1$ = 0

$-2u^2-4u+u^2+4u+3+1$ = 0

$-u^2+0+4$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2+0+4$	=	0
$-u^2+4$	=	0	| $-4$
$-u^2$	=	$-4$	|: $\left(-1\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+4+0$

= $2x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-2\right)+4$

= $-4+4$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+3$ = $4-8+3$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = 0⋅( $-2$) + c

$-1$ = 0 + c

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-1$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+4x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+4+0$

= $2x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 2+4$

= $4+4$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^2+4\cdot 2+3$ = $4+8+3$ = $15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$15$ = $8$⋅ $2$ + c

$15$ = $16$ + c | $-16$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x $-1$