Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+1$

= $4\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\pi$ = $4\cdot 1+\frac{1}{2}\pi$ = $4+\frac{1}{2}\pi$ ≈ 5.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $4+\frac{1}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4+\frac{1}{2}\pi$ = $1$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$4+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ + c | $-\frac{1}{2}\pi$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-{\left(x-1\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(x-1\right)·\left(1+0\right)$

= $-2\left(x-1\right)·\left(1\right)$

= $-2\left(x-1\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-2\left(2-1\right)$

= $-2·1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-{\left(2-1\right)}^2$ = $-1^2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-2$⋅$2$ + c

$-1$ = $-4$ + c | + $4$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{x+1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{x+1}·1$

= $\frac{7}{2}{e}^{x+1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{-1+1}$

= $\frac{7}{2}{e}^0$

= $\frac{7}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{7}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{7}{2}{e}^{-1+1}$ = $\frac{7}{2}{e}^0$ = $\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{7}{2}$⋅( $-1$) + c

$\frac{7}{2}$ = $-\frac{7}{2}$ + c | + $\frac{7}{2}$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{7}{2}$⋅x + $7$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $e^{-2x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $-2e^{-2x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2e^{-2\cdot 1+3}$

= $-2e^{-2+3}$

= $-2e^1$

= $-2e$

≈ -5.44

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2e$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $e^{-2\cdot 1+3}$ = $e^{-2+3}$ = $e^1$ = $e$ ≈ 2.72

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $e$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e$ = $-2e$⋅$1$ + c

$e$ = $-2e$ + c | + $2e$

$3e$ = c

also c= $3e$ ≈ 8.15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2e$⋅x + $3e$ oder y=-5.44x +8.15

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-\sin \left(2\pi \right)+3$

= $-0+3$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\cos \left(2\pi \right)+3\cdot \left(2\pi \right)$ = $1+3\cdot \left(2\pi \right)$ ≈ 19.85

Wir erhalten so also den Punkt B( $2\pi$| $1+6\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1+6\pi$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $2\pi$ + c

$1+6\pi$ = $-\frac{2}{3}\pi$ + c | + $\frac{2}{3}\pi$

$1+\frac{20}{3}\pi$ = c

also c= $1+\frac{20}{3}\pi$ ≈ 21.94

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $1+\frac{20}{3}\pi$ oder y=-0.33x +21.94

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(8u-2\right)·\left(-2-u\right)$ + $4u^2-2u-4$

$\left(8u-2\right)\left(-2-u\right)+4u^2-2u-4$ = 0

$-8u^2-14u+4+4u^2-2u-4$ = 0

$-4u^2-16u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2-16u+0$	=	0
$-4u^2-16u$	=	0
$-4u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-2+0$

= $8x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-4\right)-2$

= $-32-2$

= $-34$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-34$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-4\right)}^2-2\cdot \left(-4\right)-4$ = $4\cdot 16+8-4$ = $64+8-4$ = $68$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $68$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$68$ = $-34$⋅( $-4$) + c

$68$ = $136$ + c | $-136$

$-68$ = c

also c= $-68$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-34$⋅x $-68$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-2x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-2+0$

= $8x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $8\cdot 0-2$

= $0-2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0^2-2\cdot 0-4$ = $4\cdot 0+0-4$ = $0+0-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-2$⋅0 + c

$-4$ = 0 + c

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{{\left(x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{5}{{\left(u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{5}{{\left(u-3\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{5}{u-3}$

$-5\frac{45-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{5}{u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-3\right)}^2$

$\left(-5\frac{45-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{5}{u-3}\right)·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-5\frac{45-u}{{\left(u-3\right)}^2}·{\left(u-3\right)}^2+\frac{5}{u-3}·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-5\left(45-u\right)+5\left(u-3\right)$ = 0

$-225+5u+5u-15$ = 0

$10u-240$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$10u-240$	=	0	| $+240$
$10u$	=	$240$	|:$10$
$u$	=	$24$

L={ $24$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 24 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $2$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $2$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{3,528}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{2,842}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{3,528}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{3,528}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{3,528}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{3,528}$ = $\mathrm{2,842}$ ≈ 2.84

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{2,842}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{2,842}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{2,842}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{3,871}$ = c

also c= $\mathrm{3,871}$ ≈ 3.87

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{3,871}$ oder y=-1.47x +3.87

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{3,871}$	=	0	| $-\mathrm{3,871}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{3,871}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{2,6333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.633.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|34) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|34) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

34 = $\left(8u-5\right)·\left(-3-u\right)$ + $4u^2-5u-1$ | -34

$\left(8u-5\right)\left(-3-u\right)+4u^2-5u-1-34$ = 0

$-8u^2-19u+15+4u^2-5u-1-34$ = 0

$-4u^2-24u-20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2-24u-20$ = 0 |:4

$-u^2-6u-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-5\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{6+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

u₂ = $\frac{6-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-5x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-5+0$

= $8x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-5\right)-5$

= $-40-5$

= $-45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-45$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-5\right)}^2-5\cdot \left(-5\right)-1$ = $4\cdot 25+25-1$ = $100+25-1$ = $124$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $124$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$124$ = $-45$⋅( $-5$) + c

$124$ = $225$ + c | $-225$

$-101$ = c

also c= $-101$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-45$⋅x $-101$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-5x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-5+0$

= $8x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-1\right)-5$

= $-8-5$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)-1$ = $4\cdot 1+5-1$ = $4+5-1$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $-13$⋅( $-1$) + c

$8$ = $13$ + c | $-13$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x $-5$