Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 3$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 0$

= $8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $8 \cdot (- 2)$

= $- 16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $4 \cdot {(- 2)}^{2} + 3$ = $4 \cdot 4 + 3$ = $16 + 3$ = $19$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $19$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$19$ = $- 16$ ⋅( $- 2$ ) + c

$19$ = $32$ + c | $- 32$

$- 13$ = c

also c= $- 13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 16$ ⋅x $- 13$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 1)}^{2}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 {(x - 1)}^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $4 (x - 1) \cdot (1 + 0)$

= $4 (x - 1) \cdot (1)$

= $4 (x - 1)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $4 (1 - 1)$

= $4 \cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $2 \cdot {(1 - 1)}^{2}$ = $2 \cdot 0^{2}$ = $2 \cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅ $1$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} e^{- 2 (x + 1)}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{4} e^{- 2 (x + 1)}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4} e^{- 2 (x + 1)} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 (x + 1)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 (- 1 + 1)}$

= $\frac{1}{2} e^{- 2 \cdot 0}$

= $\frac{1}{2} e^{0}$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- \frac{1}{4} e^{- 2 (- 1 + 1)}$ = $- \frac{1}{4} e^{- 2 \cdot 0}$ = $- \frac{1}{4} e^{0}$ = $- \frac{1}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{1}{4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{1}{4}$ = $- \frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$ = c

also c= $\frac{1}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$ ⋅x + $\frac{1}{4}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot e^{0,1 x}$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x \cdot e^{0,1 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{0,1 x} + 2 x \cdot e^{0,1 x} \cdot 0,1$

= $2 e^{0,1 x} + 2 x \cdot 0,1 e^{0,1 x}$

= $2 e^{0,1 x} + 0,2 x \cdot e^{0,1 x}$

= $e^{0,1 x} \cdot (2 + 0,2 x)$

= $e^{0,1 x} \cdot (0,2 x + 2)$

= $(0,2 x + 2) \cdot e^{0,1 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $e^{0,1 \cdot 0} \cdot (0,2 \cdot 0 + 2)$

= $e^{0} \cdot (0 + 2)$

= $1 \cdot 2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $2 \cdot 0 \cdot e^{0,1 \cdot 0}$ = $2 \cdot 0 \cdot e^{0}$ = $2 \cdot 0 \cdot 1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $2$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$ ⋅x +0

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $x^{2} + 0$

= $x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $1^{2}$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4$ = $\frac{1}{3} \cdot 1 - 4$ = $\frac{1}{3} - 4$ = $\frac{1}{3} - \frac{12}{3}$ = $- \frac{11}{3}$ ≈ -3.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- \frac{11}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{11}{3}$ = $- 1$ ⋅ $1$ + c

$- \frac{11}{3}$ = $- 1$ + c | + $1$

$- \frac{8}{3}$ = c

also c= $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 1$ ⋅x $- \frac{8}{3}$ oder y=-1x -2.67

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-4|-39) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 6 x + 2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-39) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|-39) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 6 u + 2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-39 = $(- 6 u + 2) \cdot (- 4 - u)$ + $- 3 u^{2} + 2 u + 5$ | +39

$(- 6 u + 2) (- 4 - u) - 3 u^{2} + 2 u + 5 + 39$ = 0

$6 u^{2} + 22 u - 8 - 3 u^{2} + 2 u + 5 + 39$ = 0

$3 u^{2} + 24 u + 36$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

3 u^{2} + 24 u + 36

= 0 |:3

$u^{2} + 8 u + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

u₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x + 2 + 0$

= $- 6 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 6) =$ $- 6 \cdot (- 6) + 2$

= $36 + 2$

= $38$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $38$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 6) =$ $- 3 \cdot {(- 6)}^{2} + 2 \cdot (- 6) + 5$ = $- 3 \cdot 36 - 12 + 5$ = $- 108 - 12 + 5$ = $- 115$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 6$ | $- 115$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 115$ = $38$ ⋅( $- 6$ ) + c

$- 115$ = $- 228$ + c | + $228$

$113$ = c

also c= $113$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $38$ ⋅x + $113$

An der Stelle x= $- 2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x + 2 + 0$

= $- 6 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 6 \cdot (- 2) + 2$

= $12 + 2$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 5$ = $- 3 \cdot 4 - 4 + 5$ = $- 12 - 4 + 5$ = $- 11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 11$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 11$ = $14$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 11$ = $- 28$ + c | + $28$

$17$ = c

also c= $17$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$ ⋅x + $17$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 2,1 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 1,4) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $1,372$ (für x ≥ 1,4) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,2 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 4,2 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 4,2 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 2,1 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 4,2 u) u - u^{3} + 2,1 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 4,2 u^{2} - u^{3} + 2,1 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 2,1 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 2,1 u^{2}$	=	0
$u^{2} (2 u - 2,1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 2,1$	=	0	\| $+ 2,1$
$2 u$	=	$2,1$	\|: $2$
u₂	=	$1,05$

L={0; $1,05$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1,05$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 2,1 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1,05) =$ $- 3 \cdot {1,05}^{2} + 4,2 \cdot 1,05$

= $- 3 \cdot 1,1025 + 4,41$

= $- 3,3075 + 4,41$

= $1,1025$

≈ 1.1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1,1025$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1,05) =$ $- {1,05}^{3} + 2,1 \cdot {1,05}^{2}$ = $- 1,1576 + 2,1 \cdot 1,1025$ = $1,1576$ ≈ 1.16

Wir erhalten so also den Punkt B( $1,05$ | $1,1576$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1,1576$ = $1,1025$ ⋅ $1,05$ + c

$1,1576$ = $1,1576$ + c | $- 1,1576$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1,1025$ ⋅x +0 oder y=1.1x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$1,1025 x$	=	$2,372$	\|: $1,1025$
$x$	=	$2,1515$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.152.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f mit f(x) = $\frac{1}{4} x^{2} + 3$ , der den kürzesten Abstand zu P( $8$ | $5$ ) hat.

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Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $8$ | $5$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{1}{2} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $8$ | $5$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u}$ = $- \frac{2}{u}$

Wir können also P( $8$ | $5$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$5$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u} \cdot (8 - u)$ + $\frac{1}{4} u^{2} + 3$ | - $5$

$- 2 \frac{8 - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} + 3 - 5$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2} u$

$(- 2 \frac{8 - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} + 3 - 5) \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- 2 \frac{8 - u}{u} \cdot \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} u^{2} \cdot \frac{1}{2} u + 3 \cdot \frac{1}{2} u - 5 \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- (8 - u) + \frac{1}{8} u^{2} \cdot u + \frac{3}{2} u - \frac{5}{2} u$ = 0

$- 8 + u + \frac{1}{8} u^{3} + \frac{3}{2} u - \frac{5}{2} u$ = 0

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - 8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - 8$	=	0
$\frac{1}{8} u^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$\frac{1}{8} u^{3}$	=	$8$	\|⋅ $8$
$u^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$ ) = $\frac{1}{4} \cdot 4^{2} + 3$ = $7$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$ | $7$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,5 x^{2} + 2,025$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 2,025$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 x$	=	$3$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $\frac{1}{2}$ | $\frac{7,1}{4}$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 2,025$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2}) =$ $3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 3 \cdot (\frac{1}{2})$

= $3 \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{6}{4}$

= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2}) =$ ${(\frac{1}{2})}^{3} - 1,5 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 2,025$ = $\frac{1}{8} - 1,5 \cdot (\frac{1}{4}) + 2,025$ = $\frac{1}{8} - \frac{1,5}{4} + 2,025$ = $\frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{81}{40}$ = $\frac{5}{40} - \frac{15}{40} + \frac{81}{40}$ = $\frac{71}{40}$ ≈ 1.78

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}$ | $\frac{71}{40}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{71}{40}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + c

$\frac{71}{40}$ = $- \frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{86}{40}$ = c

also c= $\frac{86}{40}$ ≈ 2.15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅x + $\frac{86}{40}$ oder y=-0.75x +2.15

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- \frac{3}{4} x + 2,15$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x + 2,15)$	=	0
$- 3 x + 8,6$	=	0	\| $- 8,6$
$- 3 x$	=	$- 8,6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2,8667$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.867.