Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 5$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3} x + 0$

= $- \frac{4}{3} x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- \frac{4}{3} \cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 0^{2} + 5$ = $- \frac{2}{3} \cdot 0 + 5$ = $0 + 5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = 0⋅0 + c

$5$ = 0 + c

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $5$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- x + 2}$ an der Stelle x= $4$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{3}{- x + 2}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{3}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{{(- x + 2)}^{2}}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{3}{{(- 4 + 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{{(- 2)}^{2}}$

= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $- \frac{3}{- 4 + 2}$ = $- \frac{3}{(- 2)}$ = $\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$ | $\frac{3}{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{3}{2}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅ $4$ + c

$\frac{3}{2}$ = $- 3$ + c | + $3$

$\frac{9}{2}$ = c

also c= $\frac{9}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅x + $\frac{9}{2}$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x \cdot e^{x - 1}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x \cdot e^{x - 1}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 \cdot 1 \cdot e^{x - 1} - 2 x \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $- 2 e^{x - 1} - 2 x \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (- 2 - 2 x)$

= $e^{x - 1} \cdot (- 2 x - 2)$

= $(- 2 x - 2) \cdot e^{x - 1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $e^{1 - 1} \cdot (- 2 \cdot 1 - 2)$

= $e^{0} \cdot (- 2 - 2)$

= $1 \cdot (- 4)$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 2 \cdot 1 \cdot e^{1 - 1}$ = $- 2 \cdot 1 \cdot e^{0}$ = $- 2 \cdot 1 \cdot 1$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = $- 4$ ⋅ $1$ + c

$- 2$ = $- 4$ + c | + $4$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅x + $2$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot e^{0,9 x}$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x \cdot e^{0,9 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{0,9 x} + 2 x \cdot e^{0,9 x} \cdot 0,9$

= $2 e^{0,9 x} + 2 x \cdot 0,9 e^{0,9 x}$

= $2 e^{0,9 x} + 1,8 x \cdot e^{0,9 x}$

= $e^{0,9 x} \cdot (2 + 1,8 x)$

= $e^{0,9 x} \cdot (1,8 x + 2)$

= $(1,8 x + 2) \cdot e^{0,9 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $e^{0,9 \cdot (- 2)} \cdot (1,8 \cdot (- 2) + 2)$

= $e^{- 1,8} \cdot (- 3,6 + 2)$

= $e^{- 1,8} \cdot (- 1,6)$

= $- 1,6 e^{- 1,8}$

≈ -0.26

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,6 e^{- 1,8}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $2 \cdot (- 2) \cdot e^{0,9 \cdot (- 2)}$ = $2 \cdot (- 2) \cdot e^{- 1,8}$ = $- 4 e^{- 1,8}$ ≈ -0.66

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 4 e^{- 1,8}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4 e^{- 1,8}$ = $- 1,6 e^{- 1,8}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 4 e^{- 1,8}$ = $3,2 e^{- 1,8}$ + c | $- 3,2 e^{- 1,8}$

$- 7,2 e^{- 1,8}$ = c

also c= $- 7,2 e^{- 1,8}$ ≈ -1.19

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,6 e^{- 1,8}$ ⋅x $- 7,2 e^{- 1,8}$ oder y=-0.26x -1.19

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{2}{3} x$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{2} - \frac{2}{3} x$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x - \frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $2 \cdot (- 1) - \frac{2}{3}$

= $- 2 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{6}{3} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{8}{3}$

≈ -2.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{3}{8}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{8}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ ${(- 1)}^{2} - \frac{2}{3} \cdot (- 1)$ = $1 + \frac{2}{3}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $\frac{5}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{5}{3}$ = $\frac{3}{8}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$\frac{5}{3}$ = $- \frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{49}{24}$ = c

also c= $\frac{49}{24}$ ≈ 2.04

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{8}$ ⋅x + $\frac{49}{24}$ oder y=0.38x +2.04

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-1|-9) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x + 3$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $10 x - 3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|-9) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|-9) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10 u - 3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-9 = $(10 u - 3) \cdot (- 1 - u)$ + $5 u^{2} - 3 u + 3$ | +9

$(10 u - 3) (- 1 - u) + 5 u^{2} - 3 u + 3 + 9$ = 0

$- 10 u^{2} - 7 u + 3 + 5 u^{2} - 3 u + 3 + 9$ = 0

$- 5 u^{2} - 10 u + 15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 5 u^{2} - 10 u + 15

= 0 |:5

$- u^{2} - 2 u + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

L={ $- 3$ ; $1$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 3$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x - 3 + 0$

= $10 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 3) =$ $10 \cdot (- 3) - 3$

= $- 30 - 3$

= $- 33$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 33$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 3) =$ $5 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 \cdot (- 3) + 3$ = $5 \cdot 9 + 9 + 3$ = $45 + 9 + 3$ = $57$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 3$ | $57$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$57$ = $- 33$ ⋅( $- 3$ ) + c

$57$ = $99$ + c | $- 99$

$- 42$ = c

also c= $- 42$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 33$ ⋅x $- 42$

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x - 3 + 0$

= $10 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $10 \cdot 1 - 3$

= $10 - 3$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $5 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 3$ = $5 \cdot 1 - 3 + 3$ = $5 - 3 + 3$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $7$ ⋅ $1$ + c

$5$ = $7$ + c | $- 7$

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$ ⋅x $- 2$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 1,8 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 1,2) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $0,864$ (für x ≥ 1,2) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 3,6 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 3,6 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 3,6 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 1,8 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 3,6 u) u - u^{3} + 1,8 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 3,6 u^{2} - u^{3} + 1,8 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 1,8 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 1,8 u^{2}$	=	0
$u^{2} (2 u - 1,8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 1,8$	=	0	\| $+ 1,8$
$2 u$	=	$1,8$	\|: $2$
u₂	=	$0,9$

L={0; $0,9$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $0,9$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 1,8 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 3,6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,9) =$ $- 3 \cdot {0,9}^{2} + 3,6 \cdot 0,9$

= $- 3 \cdot 0,81 + 3,24$

= $- 2,43 + 3,24$

= $0,81$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $0,81$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,9) =$ $- {0,9}^{3} + 1,8 \cdot {0,9}^{2}$ = $- 0,729 + 1,8 \cdot 0,81$ = $- 0,729 + 1,458$ = $0,729$ ≈ 0.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,9$ | $0,729$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$0,729$ = $0,81$ ⋅ $0,9$ + c

$0,729$ = $0,729$ + c | $- 0,729$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $0,81$ ⋅x +0

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$0,81 x$	=	$1,864$	\|: $0,81$
$x$	=	$2,3012$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.301.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3} x^{2} + 3$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{2}{3} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u}$ = $- \frac{3}{2 u}$

Wir können also P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{3}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u} \cdot (\frac{3}{32} - u)$ + $\frac{1}{3} u^{2} + 3$ | - $\frac{9}{2}$

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{32} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 3 - \frac{9}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3} u$

$(- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{32} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 3 - \frac{9}{2}) \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{32} - u}{u} \cdot \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} u^{2} \cdot \frac{2}{3} u + 3 \cdot \frac{2}{3} u - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- (\frac{3}{32} - u) + \frac{2}{9} u^{2} \cdot u + 2 u - 3 u$ = 0

$- \frac{3}{32} + u + \frac{2}{9} u^{3} + 2 u - 3 u$ = 0

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{32}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{32}$	=	0
$\frac{2}{9} u^{3} - \frac{3}{32}$	=	0	\| $+ \frac{3}{32}$
$\frac{2}{9} u^{3}$	=	$\frac{3}{32}$	\|⋅ $\frac{9}{2}$
$u^{3}$	=	$\frac{27}{64}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$	= $\frac{3}{4}$

L={ $\frac{3}{4}$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{3}{4}$ ) = $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2} + 3$ = $\frac{51}{16}$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{3}{4}$ | $\frac{51}{16}$ ) bzw. Q(0.75|3.19)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 3 x^{2} + 12,6$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 12,6$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $1$ | $10,6$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 12,6$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1$

= $3 \cdot 1 - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 12,6$ = $1 - 3 \cdot 1 + 12,6$ = $1 - 3 + 12,6$ = $10,6$ ≈ 10.6

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $10,6$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10,6$ = $- 3$ ⋅ $1$ + c

$10,6$ = $- 3$ + c | + $3$

$13,6$ = c

also c= $13,6$ ≈ 13.6

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅x + $13,6$ oder y=-3x +13.6

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 3 x + 13,6$	=	0	\| $- 13,6$
$- 3 x$	=	$- 13,6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4,5333$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.533.

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,5 x^{2} + 4,05$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 4,05$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 x$	=	$3$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $\frac{1}{2}$ | $3,8$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 4,05$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2}) =$ $3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 3 \cdot (\frac{1}{2})$

= $3 \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{6}{4}$

= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2}) =$ ${(\frac{1}{2})}^{3} - 1,5 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 4,05$ = $\frac{1}{8} - 1,5 \cdot (\frac{1}{4}) + 4,05$ = $\frac{1}{8} - \frac{1,5}{4} + 4,05$ = $\frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{81}{20}$ = $\frac{5}{40} - \frac{15}{40} + \frac{162}{40}$ = $\frac{152}{40}$ ≈ 3.8

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}$ | $\frac{76}{20}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{76}{20}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + c

$\frac{76}{20}$ = $- \frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{167}{40}$ = c

also c= $\frac{167}{40}$ ≈ 4.18

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅x + $\frac{167}{40}$ oder y=-0.75x +4.18

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- \frac{3}{4} x + 4,175$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x + 4,175)$	=	0
$- 3 x + 16,7$	=	0	\| $- 16,7$
$- 3 x$	=	$- 16,7$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5,5667$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.567.

Aufgabenbeispiele von Tangenten

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= -3 :

An der Stelle x= 1 :

Tangente von außen Anwendungen

An der Stelle x= 0,9 :

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( 3 32 | 9 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Wendetangente Anwendungen

An der Stelle x= $- 3$ :

An der Stelle x= $1$ :

An der Stelle x= $0,9$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{3}{32}$ | $\frac{9}{2}$ ) verläuft.