Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{x}^2+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}x+0$

= $\frac{3}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{4}\cdot {\left(-1\right)}^2+4$ = $\frac{3}{4}\cdot 1+4$ = $\frac{3}{4}+4$ = $\frac{3}{4}+\frac{16}{4}$ = $\frac{19}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{19}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{19}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅( $-1$) + c

$\frac{19}{4}$ = $\frac{3}{2}$ + c | $-\frac{3}{2}$

$\frac{13}{4}$ = c

also c= $\frac{13}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅x + $\frac{13}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-{\left(-x+2\right)}^3-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-x+2\right)}^2·\left(-1+0\right)+0$

= $-3{\left(-x+2\right)}^2·\left(-1\right)$

= $3{\left(-x+2\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(-0+2\right)}^2$

= $3\cdot {\left(2\right)}^2$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-{\left(-0+2\right)}^3-3$ = $-3-8$ = $-11$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-11$ = $12$⋅$0$ + c

$-11$ = 0 + c

$-11$ = c

also c= $-11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$⋅x $-11$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x·e^{x-2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $1·e^{x-2}+x·e^{x-2}·1$

= $e^{x-2}+x·e^{x-2}$

= $e^{x-2}·\left(1+x\right)$

= $e^{x-2}·\left(x+1\right)$

= $\left(x+1\right)·e^{x-2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{2-2}·\left(2+1\right)$

= $e^0·3$

= $1·3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·e^{2-2}$ = $2·e^0$ = $2·1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $3$⋅ $2$ + c

$2$ = $6$ + c | $-6$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·3x^2·e^{\mathrm{0,6}x}-2x^3·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $-6x^2·e^{\mathrm{0,6}x}-2x^3·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $-6x^2·e^{\mathrm{0,6}x}-\mathrm{1,2}{x}^3·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{1,2}{x}^3-6x^2\right)$

= $\left(-\mathrm{1,2}{x}^3-6x^2\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-3\right)}·\left(-\mathrm{1,2}\cdot {\left(-3\right)}^3-6\cdot {\left(-3\right)}^2\right)$

= $e^{-\mathrm{1,8}}·\left(-\mathrm{1,2}\cdot \left(-27\right)-6\cdot 9\right)$

= $e^{-\mathrm{1,8}}·\left(\mathrm{32,4}-54\right)$

= $e^{-\mathrm{1,8}}·\left(-\mathrm{21,6}\right)$

= $-\mathrm{21,6}{e}^{-\mathrm{1,8}}$

≈ -3.57

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{21,6}{e}^{-\mathrm{1,8}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·{\left(-3\right)}^3·e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-3\right)}$ = $-2·\left(-27\right)·e^{-\mathrm{1,8}}$ = $54e^{-\mathrm{1,8}}$ ≈ 8.93

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $54e^{-\mathrm{1,8}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$54e^{-\mathrm{1,8}}$ = $-\mathrm{21,6}{e}^{-\mathrm{1,8}}$⋅( $-3$) + c

$54e^{-\mathrm{1,8}}$ = $\mathrm{64,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ + c | $-\mathrm{64,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$

$-\mathrm{10,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ = c

also c= $-\mathrm{10,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ ≈ -1.79

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{21,6}{e}^{-\mathrm{1,8}}$⋅x $-\mathrm{10,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ oder y=-3.57x -1.79

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(3\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(3\pi \right)+1$ = $4\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $\frac{1}{4}$⋅ $3\pi$ + c

$1$ = $\frac{3}{4}\pi$ + c | $-\frac{3}{4}\pi$

$1-\frac{3}{4}\pi$ = c

also c= $1-\frac{3}{4}\pi$ ≈ -1.36

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{4}$⋅x + $1-\frac{3}{4}\pi$ oder y=0.25x -1.36

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|3) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|3) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

3 = $\left(-2u-5\right)·\left(1-u\right)$ + $-u^2-5u+5$ | -3

$\left(-2u-5\right)\left(1-u\right)-u^2-5u+5-3$ = 0

$2u^2+3u-5-u^2-5u+5-3$ = 0

$u^2-2u-3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $3$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-5x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-5+0$

= $-2x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-1\right)-5$

= $2-5$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)+5$ = $-1+5+5$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-3$⋅( $-1$) + c

$9$ = $3$ + c | $-3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $6$

An der Stelle x= $3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-5x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-5+0$

= $-2x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 3-5$

= $-6-5$

= $-11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3^2-5\cdot 3+5$ = $-9-15+5$ = $-19$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-19$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-19$ = $-11$⋅ $3$ + c

$-19$ = $-33$ + c | + $33$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-11$⋅x + $14$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}x-1\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·\left(20-u\right)$ + $\frac{2}{\mathrm{0,2}u-1}$

$-\mathrm{0,4}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-1}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$

$\left(-\mathrm{0,4}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-1}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{0,4}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-1}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{0,4}\left(20-u\right)+2\left(\mathrm{0,2}u-1\right)$ = 0

$-8+\mathrm{0,4}u+\mathrm{0,4}u-2$ = 0

$\mathrm{0,8}u-10$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{0,8}u-10$	=	0	| $+10$
$\mathrm{0,8}u$	=	$10$	|:$\mathrm{0,8}$
$u$	=	$\mathrm{12,5}$

L={ $\mathrm{12,5}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 12.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($16$|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($16$|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($16$|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(16-u\right)$ + $u^2$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}+u^2-\frac{1}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}+u^2-\frac{1}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}·2u+u^2·2u-\frac{1}{2}·2u$ = 0

$-\left(16-u\right)+2u^2·u-u$ = 0

$-16+u+2u^3-u$ = 0

$2u^3+0-16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-16$	=	0
$2u^3-16$	=	0	| $+16$
$2u^3$	=	$16$	|:$2$
$u^3$	=	$8$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $2$) = $2^2$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,584}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{2,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{2,4}$	=	0	| $+\mathrm{2,4}$
$6x$	=	$\mathrm{2,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,456}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,584}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,4}}^2-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,4}$

= $3\cdot \mathrm{0,16}-\mathrm{0,96}$

= $\mathrm{0,48}-\mathrm{0,96}$

= $-\mathrm{0,48}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{0,48}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,4}}^3-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{1,584}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{1,584}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{0,192}+\mathrm{1,584}$ = $\mathrm{1,456}$ ≈ 1.46

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,456}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,456}$ = $-\mathrm{0,48}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{1,456}$ = $-\mathrm{0,192}$ + c | + $\mathrm{0,192}$

$\mathrm{1,648}$ = c

also c= $\mathrm{1,648}$ ≈ 1.65

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{0,48}$⋅x + $\mathrm{1,648}$ oder y=-0.48x +1.65

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{0,48}x+\mathrm{1,648}$	=	0	| $-\mathrm{1,648}$
$-\mathrm{0,48}x$	=	$-\mathrm{1,648}$	|:($-\mathrm{0,48}$)
$x$	=	$\mathrm{3,4333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.433.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-17) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|-17) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-17 = $\left(-4u-1\right)·\left(-4-u\right)$ + $-2u^2-u+3$ | +17

$\left(-4u-1\right)\left(-4-u\right)-2u^2-u+3+17$ = 0

$4u^2+17u+4-2u^2-u+3+17$ = 0

$2u^2+16u+24$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2+16u+24$ = 0 |:2

$u^2+8u+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{64-48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-8+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

u₂ = $\frac{-8-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-12}{2}$ = $-6$

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-1+0$

= $-4x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-6\right)-1$

= $24-1$

= $23$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $23$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-6\right)}^2-\left(-6\right)+3$ = $-2\cdot 36+6+3$ = $-72+6+3$ = $-63$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $-63$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-63$ = $23$⋅( $-6$) + c

$-63$ = $-138$ + c | + $138$

$75$ = c

also c= $75$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $23$⋅x + $75$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-1+0$

= $-4x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-2\right)-1$

= $8-1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+3$ = $-2\cdot 4+2+3$ = $-8+2+3$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $7$⋅( $-2$) + c

$-3$ = $-14$ + c | + $14$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $11$