Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.52 zu erzielen, also $P_{0.52}^{55}(30\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.52}^{55}(X\le 35)$ - $P_{0.52}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.9695 - 0.5952 ≈ 0.3743 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.52,35)- binomcdf(55,0.52,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 26 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{45}(19\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{45}(X\le 26)$ - $P_{0.69}^{45}(X\le 18)$ ≈ 0.0738 - 0.0001 ≈ 0.0737 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.69,26)- binomcdf(45,0.69,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3743 ⋅ 0.0737 ≈ 0.0276

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.6}^4$ ⋅ ${0.4}^6$

Dabei gibt ja ${0.6}^4$ ⋅ ${0.4}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.6}^4$ ⋅ ${0.4}^6$ ≈ 0.0037

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also $P_{0.83}^{104}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.83.

$P_{0.83}^{104}(X\le 92)$ = $P_{0.83}^{104}(X=0)$ + $P_{0.83}^{104}(X=1)$ + $P_{0.83}^{104}(X=2)$ +... + $P_{0.83}^{104}(X=92)$ = 0.95262212805032 ≈ 0.9526
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.83,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9526) und 'überbucht'(p=0.0474).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9526}$; überbucht: $\mathrm{0,0474}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,8644}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,043}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,043}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,043}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,8644}$ + $\mathrm{0,043}$ + $\mathrm{0,043}$ + $\mathrm{0,043}$ = $\mathrm{0,9935}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 14 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=14 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{14}(X\le 8)$ ≈ 0.788.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^9(Y=5)$ ≈ 0.2461.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{14}(X\le 8)$ ⋅ $P_{0.5}^9(Y=5)$ = 0.788 ⋅ 0.2461 ≈ 0.1939