Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 36 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.53 zu erzielen, also $P_{0.53}^{50}(30\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.53}^{50}(X\le 36)$ - $P_{0.53}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9981 - 0.802 ≈ 0.1961 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.53,36)- binomcdf(50,0.53,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 20 und 32 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{40}(20\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{40}(X\le 32)$ - $P_{0.69}^{40}(X\le 19)$ ≈ 0.958 - 0.0038 ≈ 0.9542 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.69,32)- binomcdf(40,0.69,19)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.1961 ⋅ 0.9542 ≈ 0.1871

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ ≈ 0.037

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 96 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.85, also $P_{0.85}^{106}(X\le 96)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.85.

$P_{0.85}^{106}(X\le 96)$ = $P_{0.85}^{106}(X=0)$ + $P_{0.85}^{106}(X=1)$ + $P_{0.85}^{106}(X=2)$ +... + $P_{0.85}^{106}(X=96)$ = 0.9659022598758 ≈ 0.9659
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.85,96))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9659) und 'überbucht'(p=0.0341).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9659}$; überbucht: $\mathrm{0,0341}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9011}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0318}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0318}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0318}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9011}$ + $\mathrm{0,0318}$ + $\mathrm{0,0318}$ + $\mathrm{0,0318}$ = $\mathrm{0,9966}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 14 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=14 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^{14}(X\le 3)$ ≈ 0.8063.

Analog betrachten wir nun die restlichen 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=15 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{15}(Y\ge 3)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{15}(Y\le 2)$ ≈ 0.4678.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^{14}(X\le 3)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{15}(Y\ge 3)$ = 0.8063 ⋅ 0.4678 ≈ 0.3772