Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.6 zu erzielen, also $P_{0.6}^{50}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.6}^{50}(X\le 36)$ - $P_{0.6}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.972 - 0.0314 ≈ 0.9406 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.6,36)- binomcdf(50,0.6,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 26 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.66 zu erzielen, also $P_{0.66}^{45}(24\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.66}^{45}(X\le 26)$ - $P_{0.66}^{45}(X\le 23)$ ≈ 0.1569 - 0.0276 ≈ 0.1293 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.66,26)- binomcdf(45,0.66,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.9406 ⋅ 0.1293 ≈ 0.1216

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^2$

Dabei gibt ja ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^2$ ≈ 0.0454

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 97 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82, also $P_{0.82}^{105}(X\le 97)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.82.

$P_{0.82}^{105}(X\le 97)$ = $P_{0.82}^{105}(X=0)$ + $P_{0.82}^{105}(X=1)$ + $P_{0.82}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.82}^{105}(X=97)$ = 0.99928480987974 ≈ 0.9993
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.82,97))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9993) und 'überbucht'(p=0.00070000000000003).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9993}$; überbucht: $\mathrm{0,0007}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9979}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0007}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0007}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0007}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9979}$ + $\mathrm{0,0007}$ + $\mathrm{0,0007}$ + $\mathrm{0,0007}$ = $1$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^{10}(X=2)$ ≈ 0.2816.

Analog betrachten wir nun die restlichen 40 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{40}(Y\le 12)$ ≈ 0.8209.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^{10}(X=2)$ ⋅ $P_{0.25}^{40}(Y\le 12)$ = 0.2816 ⋅ 0.8209 ≈ 0.2312