Aufgabenbeispiele von Anwendungen

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Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 73 Ausspielungen nicht öfters als 27 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?

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pP(X≤k)
......
0.250.992
0.260.9862
0.270.9773
0.280.9643
0.290.9461
0.30.9215
0.310.8898
......

Es muss gelten: Pp73 (X27) =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(73,X,27) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.3 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR

Beispiel:

Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 87 Wiederholungen 81 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 70% liegt?

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pP(X≥81)=1-P(X≤80)
......
0.890.1445
0.90.2213
0.910.3235
0.920.4497
0.930.5914
0.940.7331
......

Es muss gelten: Pp87 (X81) =0.7 (oder mehr)

oder eben: 1- Pp87 (X80) =0.7 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(87,X,80) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.94 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.7 ist.

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 92% und im Stehen 87%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

  • 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
  • 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.

P0.925 (X=4) = ( 5 4 ) 0.924 0.081 ≈ 0.2866
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.87.

P0.875 (X=5) = ( 5 5 ) 0.875 0.130 ≈ 0.4984
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2866 ⋅ 0.4984 = 0.14284144

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.

P0.925 (X=5) = ( 5 5 ) 0.925 0.080 ≈ 0.6591
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.87.

P0.875 (X=4) = ( 5 4 ) 0.874 0.131 ≈ 0.3724
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.6591 ⋅ 0.3724 = 0.24544884

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.

P0.925 (X=5) = ( 5 5 ) 0.925 0.080 ≈ 0.6591
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.87.

P0.875 (X=5) = ( 5 5 ) 0.875 0.130 ≈ 0.4984
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.6591 ⋅ 0.4984 = 0.32849544


Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1428 + 0.2454 + 0.3285 = 0.7168

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

6 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 5 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 6 5 ) ( 1 6 ) 5 ( 5 6 ) 1

Dabei gibt ja ( 1 6 ) 5 ( 5 6 ) 1 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 1 Nicht-Treffern und ( 6 5 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 6 5 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXO

OXXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ( 1 6 ) 5 ( 5 6 ) 1 ≈ 0.0002

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 18 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 86% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86,
also P0.8620 (X18) .

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: P0.8620 (X18) = 1 - P0.8620 (X17)

≈ 1 - 0.545 ≈ 0.455 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.86,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.455) und 'zu wenig'(p=0.545).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

EreignisP
genügend Treffer -> genügend Treffer0,207
genügend Treffer -> zu wenig0,248
zu wenig -> genügend Treffer0,248
zu wenig -> zu wenig0,297

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: 0,455; zu wenig: 0,545;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=0,248)
  • 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=0,248)
  • 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=0,207)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0,248 + 0,248 + 0,207 = 0,703


Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 20 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 4 Aufgaben keine einzige und von den restlichen Fragen nicht mehr als 3 richtig errät?

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.254 (X=0) ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.2516 (Y3) ≈ 0.405.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.254 (X=0) P0.2516 (Y3) = 0.3164 ⋅ 0.405 ≈ 0.1281