Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{50}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{50}(X\le 36)$ - $P_{0.45}^{50}(X\le 23)$ ≈ 1 - 0.6134 ≈ 0.3866 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.45,36)- binomcdf(50,0.45,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 32 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{35}(23\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{35}(X\le 32)$ - $P_{0.67}^{35}(X\le 22)$ ≈ 0.9999 - 0.3598 ≈ 0.6401 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.67,32)- binomcdf(35,0.67,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3866 ⋅ 0.6401 ≈ 0.2475

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.45}^4$ ⋅ ${0.55}^1$

Dabei gibt ja ${0.45}^4$ ⋅ ${0.55}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXO

OXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${0.45}^4$ ⋅ ${0.55}^1$ ≈ 0.0451

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 94 Treffer bei 105 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82, also $P_{0.82}^{105}(X\le 94)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=105 und p=0.82.

$P_{0.82}^{105}(X\le 94)$ = $P_{0.82}^{105}(X=0)$ + $P_{0.82}^{105}(X=1)$ + $P_{0.82}^{105}(X=2)$ +... + $P_{0.82}^{105}(X=94)$ = 0.98808506445432 ≈ 0.9881
(TI-Befehl: binomcdf(105,0.82,94))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9881) und 'überbucht'(p=0.0119).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9881}$; überbucht: $\mathrm{0,0119}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9647}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0116}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0116}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0116}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9647}$ + $\mathrm{0,0116}$ + $\mathrm{0,0116}$ + $\mathrm{0,0116}$ = $\mathrm{0,9996}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 18 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=18 und p=0.9.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.9}^{18}(X=18)$ ≈ 0.1501.

Analog betrachten wir nun die restlichen 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.9.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.9}^{10}(Y\le 9)$ ≈ 0.6513.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.9}^{18}(X=18)$ ⋅ $P_{0.9}^{10}(Y\le 9)$ = 0.1501 ⋅ 0.6513 ≈ 0.0978