Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 36 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.53 zu erzielen, also $P_{0.53}^{55}(30\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.53}^{55}(X\le 36)$ - $P_{0.53}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.9774 - 0.5365 ≈ 0.4409 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.53,36)- binomcdf(55,0.53,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 28 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{40}(22\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{40}(X\le 28)$ - $P_{0.69}^{40}(X\le 21)$ ≈ 0.613 - 0.021 ≈ 0.592 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.69,28)- binomcdf(40,0.69,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.4409 ⋅ 0.592 ≈ 0.261

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.8}^3$ ⋅ ${0.2}^5$

Dabei gibt ja ${0.8}^3$ ⋅ ${0.2}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOO

OXXXOOOO

OOXXXOOO

OOOXXXOO

OOOOXXXO

OOOOOXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.8}^3$ ⋅ ${0.2}^5$ ≈ 0.001

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86,
also $P_{0.86}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.86}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.86}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.0507 ≈ 0.9493 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.86,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9493) und 'zu wenig'(p=0.0507).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,9493}$; zu wenig: $\mathrm{0,0507}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,0481}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,0481}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,9012}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0481}$ + $\mathrm{0,0481}$ + $\mathrm{0,9012}$ = $\mathrm{0,9974}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.35}^{15}(X=6)$ ≈ 0.1906.

Analog betrachten wir nun die restlichen 35 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.35}^{35}(Y\ge 9)$ = 1- $P_{0.35}^{35}(Y\le 8)$ ≈ 0.911.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.35}^{15}(X=6)$ ⋅ $P_{0.35}^{35}(Y\ge 9)$ = 0.1906 ⋅ 0.911 ≈ 0.1736