Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Glücksrad soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 65 Ausspielungen nicht öfters als 53 mal der grüne Bereich kommen. Wie hoch darf man die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich auf dem Glücksrad maximal setzen?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.7 | 0.9879 |
| 0.71 | 0.9815 |
| 0.72 | 0.9722 |
| 0.73 | 0.9591 |
| 0.74 | 0.9412 |
| 0.75 | 0.9171 |
| 0.76 | 0.8857 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(65,X,53) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.75 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 94 Freiwürfen mindestens 38 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥38)=1-P(X≤37) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.4 | 0.5056 |
| 0.41 | 0.5839 |
| 0.42 | 0.6587 |
| 0.43 | 0.7274 |
| 0.44 | 0.7882 |
| 0.45 | 0.8402 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(94,X,37) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 40% und oben 40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 4 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:
- 1 mal unten und 3 mal oben
- 2 mal unten und 2 mal oben
- 3 mal unten und 1 mal oben
1 mal unten und 3 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.432Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.064Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.432 ⋅ 0.064 = 0.027648
2 mal unten und 2 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.288Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.288Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.288 ⋅ 0.288 = 0.082944
3 mal unten und 1 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.064Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.432Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.064 ⋅ 0.432 = 0.027648
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.0276 + 0.0829 + 0.0276 = 0.1382
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 45%. Es wird 10 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXXOOOOOO
OXXXXOOOOO
OOXXXXOOOO
OOOXXXXOOO
OOOOXXXXOO
OOOOOXXXXO
OOOOOOXXXX
Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 7 ⋅ ⋅ ≈ 0.0079
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 18 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 85% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.85,
also
.
Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: = 1 -
≈ 1 - 0.5951 ≈ 0.4049 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.85,17))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.4049) und 'zu wenig'(p=0.5951).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'
| Ereignis | P |
|---|---|
| genügend Treffer -> genügend Treffer | |
| genügend Treffer -> zu wenig | |
| zu wenig -> genügend Treffer | |
| zu wenig -> zu wenig |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: ; zu wenig: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=)
- 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=)
- 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit, im grünen Bereich zu landen, bei p=0,15. Es wird 50 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:Von den ersten 15 Versuchen landen genau 3 Versuche im grünen Bereich und von den restlichen Versuchen wird mindestens 9 mal auf grün gedreht.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.15.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.2184.
Analog betrachten wir nun die restlichen 35 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=35 und p=0.15.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als = 1- ≈ 0.0689.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.2184 ⋅ 0.0689 ≈ 0.015
