Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.48 zu erzielen, also $P_{0.48}^{60}(30\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.48}^{60}(X\le 34)$ - $P_{0.48}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.9297 - 0.5723 ≈ 0.3574 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.48,34)- binomcdf(60,0.48,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 20 und 26 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.68 zu erzielen, also $P_{0.68}^{35}(20\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.68}^{35}(X\le 26)$ - $P_{0.68}^{35}(X\le 19)$ ≈ 0.8359 - 0.0624 ≈ 0.7735 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.68,26)- binomcdf(35,0.68,19)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3574 ⋅ 0.7735 ≈ 0.2764

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ ≈ 0.037

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.07, also $P_{0.07}^{25}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.07.

$P_{0.07}^{25}(X\le 2)$ = $P_{0.07}^{25}(X=0)$ + $P_{0.07}^{25}(X=1)$ + $P_{0.07}^{25}(X=2)$ = 0.74656243172887 ≈ 0.7466
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.07,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.7466) und 'nicht ok'(p=0.2534).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,7466}$; nicht ok: $\mathrm{0,2534}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,5574}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,5574}$ = $\mathrm{0,5574}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 18 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=18 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.35}^{18}(X=6)$ ≈ 0.1941.

Analog betrachten wir nun die restlichen 7 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=7 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.35}^7(Y\le 2)$ ≈ 0.5323.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.35}^{18}(X=6)$ ⋅ $P_{0.35}^7(Y\le 2)$ = 0.1941 ⋅ 0.5323 ≈ 0.1033