Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 37 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.57 zu erzielen, also $P_{0.57}^{60}(30\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.57}^{60}(X\le 37)$ - $P_{0.57}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.8047 - 0.1106 ≈ 0.6941 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.57,37)- binomcdf(60,0.57,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 28 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{50}(23\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{50}(X\le 28)$ - $P_{0.67}^{50}(X\le 22)$ ≈ 0.0685 - 0.0007 ≈ 0.0678 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.67,28)- binomcdf(50,0.67,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.6941 ⋅ 0.0678 ≈ 0.0471

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^3$

Dabei gibt ja ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOO

OXXXXXOO

OOXXXXXO

OOOXXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^3$ ≈ 0.0182

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9,
also $P_{0.9}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.9}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.9}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.3231 ≈ 0.6769 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.9,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.6769) und 'zu wenig'(p=0.3231).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,6769}$; zu wenig: $\mathrm{0,3231}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,2187}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,2187}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,4582}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2187}$ + $\mathrm{0,2187}$ + $\mathrm{0,4582}$ = $\mathrm{0,8956}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.55.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.55}^{10}(X=7)$ ≈ 0.1665.

Analog betrachten wir nun die restlichen 90 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.55.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.55}^{90}(Y\ge 57)$ = 1- $P_{0.55}^{90}(Y\le 56)$ ≈ 0.0682.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.55}^{10}(X=7)$ ⋅ $P_{0.55}^{90}(Y\ge 57)$ = 0.1665 ⋅ 0.0682 ≈ 0.0114