Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.54 zu erzielen, also $P_{0.54}^{60}(24\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.54}^{60}(X\le 34)$ - $P_{0.54}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.7057 - 0.0106 ≈ 0.6951 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.54,34)- binomcdf(60,0.54,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 26 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{50}(19\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{50}(X\le 26)$ - $P_{0.73}^{50}(X\le 18)$ ≈ 0.0012 - 0 ≈ 0.0012 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.73,26)- binomcdf(50,0.73,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.6951 ⋅ 0.0012 ≈ 0.0008

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.45}^4$ ⋅ ${0.55}^6$

Dabei gibt ja ${0.45}^4$ ⋅ ${0.55}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.45}^4$ ⋅ ${0.55}^6$ ≈ 0.0079

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81,
also $P_{0.81}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.81}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.81}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.7614 ≈ 0.2386 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.81,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.2386) und 'zu wenig'(p=0.7614).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,2386}$; zu wenig: $\mathrm{0,7614}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,1817}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,1817}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,0569}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,1817}$ + $\mathrm{0,1817}$ + $\mathrm{0,0569}$ = $\mathrm{0,4203}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.45.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.45}^{10}(X=5)$ ≈ 0.234.

Analog betrachten wir nun die restlichen 60 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=60 und p=0.45.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.45}^{60}(Y\ge 24)$ = 1- $P_{0.45}^{60}(Y\le 23)$ ≈ 0.8179.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.45}^{10}(X=5)$ ⋅ $P_{0.45}^{60}(Y\ge 24)$ = 0.234 ⋅ 0.8179 ≈ 0.1914