Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{50}(24\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{50}(X\le 34)$ - $P_{0.45}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.9997 - 0.6134 ≈ 0.3863 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.45,34)- binomcdf(50,0.45,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 20 und 28 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.74 zu erzielen, also $P_{0.74}^{40}(20\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.74}^{40}(X\le 28)$ - $P_{0.74}^{40}(X\le 19)$ ≈ 0.3371 - 0.0003 ≈ 0.3368 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.74,28)- binomcdf(40,0.74,19)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3863 ⋅ 0.3368 ≈ 0.1301

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^5$

Dabei gibt ja ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOOO

OXXXXXOOOO

OOXXXXXOOO

OOOXXXXXOO

OOOOXXXXXO

OOOOOXXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^5$ ≈ 0.0025

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.85,
also $P_{0.85}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.85}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.85}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.0673 ≈ 0.9327 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.85,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9327) und 'zu wenig'(p=0.0673).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,9327}$; zu wenig: $\mathrm{0,0673}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,0628}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,0628}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,8699}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0628}$ + $\mathrm{0,0628}$ + $\mathrm{0,8699}$ = $\mathrm{0,9955}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.9.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.9}^{20}(X=20)$ ≈ 0.1216.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p=0.9.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.9}^{18}(Y\le 15)$ ≈ 0.2662.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.9}^{20}(X=20)$ ⋅ $P_{0.9}^{18}(Y\le 15)$ = 0.1216 ⋅ 0.2662 ≈ 0.0324