Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft hat 33 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 54 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.48 | 0.9807 |
| 0.49 | 0.9727 |
| 0.5 | 0.962 |
| 0.51 | 0.9482 |
| 0.52 | 0.9307 |
| 0.53 | 0.9089 |
| 0.54 | 0.8824 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(54,X,33) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.53 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Glücksrad soll mit nur zwei verschiedenen Sektoren (blau und rot) gebaut werden. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens wählen, dass die Wahrscheinlichkeit bei 91 Wiederholungen 23 mal (oder mehr) rot zu treffen bei mind. 50% liegt?
| p | P(X≥23)=1-P(X≤22) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.2 | 0.131 |
| 0.21 | 0.1898 |
| 0.22 | 0.2605 |
| 0.23 | 0.341 |
| 0.24 | 0.4275 |
| 0.25 | 0.516 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(91,X,22) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 50 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 38 am Samstag so zwischen 24 und 28 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 65% höher als am Freitag mit 53%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Freitag:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 38 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.53 zu erzielen, also .Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als - ≈ 0.9998 - 0.802 ≈ 0.1978 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.53,38)- binomcdf(50,0.53,29)
Samstag:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 28 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.65 zu erzielen, also .Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als - ≈ 0.1187 - 0.0045 ≈ 0.1142 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.65,28)- binomcdf(50,0.65,23)
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:
P ≈ 0.1978 ⋅ 0.1142 ≈ 0.0226
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 10%. Es wird 9 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 5 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 4 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXXXOOOO
OXXXXXOOO
OOXXXXXOO
OOOXXXXXO
OOOOXXXXX
Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 5 ⋅ ⋅ ≈ 0
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 10% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 50 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 4 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.1, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.1.
= + + +... + = 0.43119840682906 ≈ 0.4312(TI-Befehl: binomcdf(50,0.1,4))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.4312) und 'nicht ok'(p=0.5688).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'
| Ereignis | P |
|---|---|
| kiste ok -> kiste ok | |
| kiste ok -> nicht ok | |
| nicht ok -> kiste ok | |
| nicht ok -> nicht ok |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: ; nicht ok: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'kiste ok'-'kiste ok' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit, im grünen Bereich zu landen, bei p=0,6. Es wird 30 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:Von den ersten 5 Versuchen landen genau 3 Versuche im grünen Bereich und von den restlichen Versuchen wird mindestens 14 mal auf grün gedreht.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 5
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.6.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.3456.
Analog betrachten wir nun die restlichen 25 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.6.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als = 1- ≈ 0.7323.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.3456 ⋅ 0.7323 ≈ 0.2531
