Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Ein Promi macht Urlaub in einem Ferienclub. Dort sind noch weitere 78 Gäste. Wie groß darf der Bekanntheitsgrad des Promis höchstens sein, dass ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 71 erkennen und dumm anlabern?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.81 | 0.9954 |
| 0.82 | 0.9917 |
| 0.83 | 0.9854 |
| 0.84 | 0.9751 |
| 0.85 | 0.9585 |
| 0.86 | 0.933 |
| 0.87 | 0.895 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(78,X,71) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 80% Wahrscheinlichkeit von 43 Freiwürfen mindestens 20 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥20)=1-P(X≤19) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.47 | 0.5846 |
| 0.48 | 0.6352 |
| 0.49 | 0.6835 |
| 0.5 | 0.7288 |
| 0.51 | 0.7707 |
| 0.52 | 0.8087 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(43,X,19) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.52 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 40% und oben 30%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 4 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 4 kommen kann:
- 1 mal unten und 3 mal oben
- 2 mal unten und 2 mal oben
- 3 mal unten und 1 mal oben
1 mal unten und 3 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.432Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.
= ≈ 0.027Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.432 ⋅ 0.027 = 0.011664
2 mal unten und 2 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.288Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.
= ≈ 0.189Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.288 ⋅ 0.189 = 0.054432
3 mal unten und 1 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.
= ≈ 0.064Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.
= ≈ 0.441Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.064 ⋅ 0.441 = 0.028224
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.0117 + 0.0544 + 0.0282 = 0.0943
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
9 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
⋅
⋅
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXOOOOOO
OXXXOOOOO
OOXXXOOOO
OOOXXXOOO
OOOOXXXOO
OOOOOXXXO
OOOOOOXXX
Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 13% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 106 Tickets für ihr Flugzeug mit 99 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.87, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.87.
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.87,99))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9884) und 'überbucht'(p=0.0116).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht:
- 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0,9656 - 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=
)0,0113 - 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0,0113 - 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=
)0,0113
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit, im grünen Bereich zu landen, bei p=0,6. Es wird 100 mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:Von den ersten 15 Versuchen landen genau 11 Versuche im grünen Bereich und von den restlichen Versuchen wird mindestens 55 mal auf grün gedreht.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.6.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als
Analog betrachten wir nun die restlichen 85 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.6.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P =
