Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 61 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 61).Wie hoch darf die Einzelwahrscheinlichkeit p höchstens sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 50% höchstens 51 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.79 | 0.8519 |
| 0.8 | 0.8041 |
| 0.81 | 0.7464 |
| 0.82 | 0.679 |
| 0.83 | 0.603 |
| 0.84 | 0.5202 |
| 0.85 | 0.4337 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(61,X,51) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.84 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 66 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 66)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 80% mindestens 20 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥20)=1-P(X≤19) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.3 | 0.5249 |
| 0.31 | 0.5945 |
| 0.32 | 0.6605 |
| 0.33 | 0.7213 |
| 0.34 | 0.7757 |
| 0.35 | 0.8231 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.8 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.8 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(66,X,19) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.8 ist.
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 60 und am Samstag bei 35 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 34 am Samstag so zwischen 20 und 26 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 68% höher als am Freitag mit 48%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Freitag:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.48 zu erzielen, also .Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als - ≈ 0.9297 - 0.5723 ≈ 0.3574 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.48,34)- binomcdf(60,0.48,29)
Samstag:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 20 und 26 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.68 zu erzielen, also .Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als - ≈ 0.8359 - 0.0624 ≈ 0.7735 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.68,26)- binomcdf(35,0.68,19)
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:
P ≈ 0.3574 ⋅ 0.7735 ≈ 0.2764
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 6 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 blaue Kugeln gezogen werden und diese aber unmittelbar hintereinander gezogen werden (also ohne, dass dazwischen mal eine rote gezogen wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXOOO
OXXXOO
OOXXXO
OOOXXX
Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 4 ⋅ ⋅ ≈ 0.037
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 7% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 25 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 2 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.07, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.07.
= + + = 0.74656243172887 ≈ 0.7466(TI-Befehl: binomcdf(25,0.07,2))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.7466) und 'nicht ok'(p=0.2534).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'
| Ereignis | P |
|---|---|
| kiste ok -> kiste ok | |
| kiste ok -> nicht ok | |
| nicht ok -> kiste ok | |
| nicht ok -> nicht ok |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: ; nicht ok: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'kiste ok'-'kiste ok' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 35% und wirft 25 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 18 Versuchen genau 6 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 2 mal trifft.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 18
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=18 und p=0.35.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.1941.
Analog betrachten wir nun die restlichen 7 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=7 und p=0.35.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.5323.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.1941 ⋅ 0.5323 ≈ 0.1033
