Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

• 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.

$P_{0.92}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.92}^4\cdot {0.08}^1$≈ 0.2866
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.81.

$P_{0.81}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.81}^5\cdot {0.19}^0$≈ 0.3487
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2866 ⋅ 0.3487 = 0.09993742

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.

$P_{0.92}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.92}^5\cdot {0.08}^0$≈ 0.6591
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.81.

$P_{0.81}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.81}^4\cdot {0.19}^1$≈ 0.4089
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.6591 ⋅ 0.4089 = 0.26950599

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.

$P_{0.92}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.92}^5\cdot {0.08}^0$≈ 0.6591
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.81.

$P_{0.81}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.81}^5\cdot {0.19}^0$≈ 0.3487
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.6591 ⋅ 0.3487 = 0.22982817

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0999 + 0.2695 + 0.2298 = 0.5993

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.65}^5$ ⋅ ${0.35}^3$

Dabei gibt ja ${0.65}^5$ ⋅ ${0.35}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOO

OXXXXXOO

OOXXXXXO

OOOXXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.65}^5$ ⋅ ${0.35}^3$ ≈ 0.0199

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82, also $P_{0.82}^{104}(X\le 93)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.82.

$P_{0.82}^{104}(X\le 93)$ = $P_{0.82}^{104}(X=0)$ + $P_{0.82}^{104}(X=1)$ + $P_{0.82}^{104}(X=2)$ +... + $P_{0.82}^{104}(X=93)$ = 0.98675719127272 ≈ 0.9868
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.82,93))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9868) und 'überbucht'(p=0.0132).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9868}$; überbucht: $\mathrm{0,0132}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9609}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0129}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0129}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0129}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9609}$ + $\mathrm{0,0129}$ + $\mathrm{0,0129}$ + $\mathrm{0,0129}$ = $\mathrm{0,9995}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.3}^{20}(X=5)$ ≈ 0.1789.

Analog betrachten wir nun die restlichen 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.3}^{20}(Y\ge 4)$ = 1- $P_{0.3}^{20}(Y\le 3)$ ≈ 0.8929.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.3}^{20}(X=5)$ ⋅ $P_{0.3}^{20}(Y\ge 4)$ = 0.1789 ⋅ 0.8929 ≈ 0.1597