Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.54 zu erzielen, also $P_{0.54}^{55}(24\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.54}^{55}(X\le 34)$ - $P_{0.54}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.9036 - 0.0469 ≈ 0.8567 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.54,34)- binomcdf(55,0.54,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.68 zu erzielen, also $P_{0.68}^{45}(23\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.68}^{45}(X\le 30)$ - $P_{0.68}^{45}(X\le 22)$ ≈ 0.4796 - 0.006 ≈ 0.4736 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.68,30)- binomcdf(45,0.68,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8567 ⋅ 0.4736 ≈ 0.4057

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.5}^4$ ⋅ ${0.5}^3$

Dabei gibt ja ${0.5}^4$ ⋅ ${0.5}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOO

OXXXXOO

OOXXXXO

OOOXXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.5}^4$ ⋅ ${0.5}^3$ ≈ 0.0313

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84,
also $P_{0.84}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.84}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.84}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.642 ≈ 0.358 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.84,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.358) und 'zu wenig'(p=0.642).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,358}$; zu wenig: $\mathrm{0,642}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,2298}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,2298}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,1282}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2298}$ + $\mathrm{0,2298}$ + $\mathrm{0,1282}$ = $\mathrm{0,5878}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=17 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.3}^{17}(X=6)$ ≈ 0.1784.

Analog betrachten wir nun die restlichen 13 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=13 und p=0.3.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.3}^{13}(Y\le 4)$ ≈ 0.6543.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.3}^{17}(X=6)$ ⋅ $P_{0.3}^{13}(Y\le 4)$ = 0.1784 ⋅ 0.6543 ≈ 0.1167