Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Eine Produktionsstätte für HighTech-Chips hat Probleme mit der Qualitätssicherung. Ein Großhändler nimmt die übliche Liefermenge von 55 Stück nur an, wenn nicht mehr als 25 Teile defekt sind. Wie hoch darf der Prozentsatz der fehlerhaften Teile höchstens sein, dass eine Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 90% angenommen werden.
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.32 | 0.9871 |
| 0.33 | 0.9806 |
| 0.34 | 0.9716 |
| 0.35 | 0.9594 |
| 0.36 | 0.9436 |
| 0.37 | 0.9234 |
| 0.38 | 0.8984 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(55,X,25) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer unbekannt. Das Zufallsexperinment wird 50 mal wiederholt (bzw. die Stichprobe hat die Größe 50)Wie hoch muss die Einzelwahrscheinlichkeit p mindestens sein, dass mit einer Wahrscheinlich von mind. 50% mindestens 34 Treffer erzielt werden?
| p | P(X≥34)=1-P(X≤33) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.62 | 0.2351 |
| 0.63 | 0.2821 |
| 0.64 | 0.3336 |
| 0.65 | 0.3889 |
| 0.66 | 0.447 |
| 0.67 | 0.5069 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(50,X,33) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 95% und im Stehen 85%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:
- 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
= ≈ 0.2036Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.
= ≈ 0.4437Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2036 ⋅ 0.4437 = 0.09033732
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
= ≈ 0.7738Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.
= ≈ 0.3915Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.7738 ⋅ 0.3915 = 0.3029427
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.
= ≈ 0.7738Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.
= ≈ 0.4437Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.7738 ⋅ 0.4437 = 0.34333506
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.0903 + 0.3029 + 0.3433 = 0.7366
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 70%. Es wird 10 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXXOOOOOO
OXXXXOOOOO
OOXXXXOOOO
OOOXXXXOOO
OOOOXXXXOO
OOOOOXXXXO
OOOOOOXXXX
Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 7 ⋅ ⋅ ≈ 0.0012
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Bei einer Fluggesellschaft treten 17% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 103 Tickets für ihr Flugzeug mit 93 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.83.
= + + +... + = 0.98716889159264 ≈ 0.9872(TI-Befehl: binomcdf(103,0.83,93))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9872) und 'überbucht'(p=0.0128).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'
| Ereignis | P |
|---|---|
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| nicht überbucht -> überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> nicht überbucht -> überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> nicht überbucht | |
| überbucht -> überbucht -> überbucht |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: ; überbucht: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
- 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=)
- 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
- 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 90% und wirft 28 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 19 Versuchen genau 17 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 8 mal trifft.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 19
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=19 und p=0.9.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.2852.
Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=0.9.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.6126.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.2852 ⋅ 0.6126 ≈ 0.1747
