Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.52 zu erzielen, also $P_{0.52}^{60}(30\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.52}^{60}(X\le 35)$ - $P_{0.52}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.8669 - 0.3299 ≈ 0.537 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.52,35)- binomcdf(60,0.52,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 28 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{50}(23\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{50}(X\le 28)$ - $P_{0.69}^{50}(X\le 22)$ ≈ 0.036 - 0.0002 ≈ 0.0358 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.69,28)- binomcdf(50,0.69,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.537 ⋅ 0.0358 ≈ 0.0192

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^6$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^6$ ≈ 0.0012

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 95 Treffer bei 108 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{108}(X\le 95)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.81.

$P_{0.81}^{108}(X\le 95)$ = $P_{0.81}^{108}(X=0)$ + $P_{0.81}^{108}(X=1)$ + $P_{0.81}^{108}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{108}(X=95)$ = 0.98027826916326 ≈ 0.9803
(TI-Befehl: binomcdf(108,0.81,95))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9803) und 'überbucht'(p=0.0197).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9803}$; überbucht: $\mathrm{0,0197}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9421}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0189}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0189}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0189}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9421}$ + $\mathrm{0,0189}$ + $\mathrm{0,0189}$ + $\mathrm{0,0189}$ = $\mathrm{0,9989}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 12 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=12 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{12}(X\le 6)$ ≈ 0.6128.

Analog betrachten wir nun die restlichen 12 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=12 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{12}(Y=7)$ ≈ 0.1934.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{12}(X\le 6)$ ⋅ $P_{0.5}^{12}(Y=7)$ = 0.6128 ⋅ 0.1934 ≈ 0.1185