Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 38 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also $P_{0.49}^{50}(24\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.49}^{50}(X\le 38)$ - $P_{0.49}^{50}(X\le 23)$ ≈ 1 - 0.3891 ≈ 0.6109 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.49,38)- binomcdf(50,0.49,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 32 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.66 zu erzielen, also $P_{0.66}^{40}(21\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.66}^{40}(X\le 32)$ - $P_{0.66}^{40}(X\le 20)$ ≈ 0.9829 - 0.0266 ≈ 0.9563 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.66,32)- binomcdf(40,0.66,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.6109 ⋅ 0.9563 ≈ 0.5842

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOO

OXXXO

OOXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ ≈ 0.0096

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84, also $P_{0.84}^{107}(X\le 93)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.84.

$P_{0.84}^{107}(X\le 93)$ = $P_{0.84}^{107}(X=0)$ + $P_{0.84}^{107}(X=1)$ + $P_{0.84}^{107}(X=2)$ +... + $P_{0.84}^{107}(X=93)$ = 0.82966312901925 ≈ 0.8297
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.84,93))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.8297) und 'überbucht'(p=0.1703).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,8297}$; überbucht: $\mathrm{0,1703}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,5712}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,1172}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1172}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1172}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,5712}$ + $\mathrm{0,1172}$ + $\mathrm{0,1172}$ + $\mathrm{0,1172}$ = $\mathrm{0,9229}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{15}(X=3)$ ≈ 0.179.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^9(Y=0)$ ≈ 0.3007.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{15}(X=3)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^9(Y=0)$ = 0.179 ⋅ 0.3007 ≈ 0.0538