Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 33 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.44 zu erzielen, also $P_{0.44}^{55}(24\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.44}^{55}(X\le 33)$ - $P_{0.44}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.9941 - 0.4268 ≈ 0.5673 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.44,33)- binomcdf(55,0.44,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 32 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.72 zu erzielen, also $P_{0.72}^{40}(21\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.72}^{40}(X\le 32)$ - $P_{0.72}^{40}(X\le 20)$ ≈ 0.9076 - 0.0026 ≈ 0.905 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.72,32)- binomcdf(40,0.72,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.5673 ⋅ 0.905 ≈ 0.5134

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.2}^3$ ⋅ ${0.8}^3$

Dabei gibt ja ${0.2}^3$ ⋅ ${0.8}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.2}^3$ ⋅ ${0.8}^3$ ≈ 0.0164

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.1, also $P_{0.1}^{25}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.1.

$P_{0.1}^{25}(X\le 2)$ = $P_{0.1}^{25}(X=0)$ + $P_{0.1}^{25}(X=1)$ + $P_{0.1}^{25}(X=2)$ = 0.53709405005094 ≈ 0.5371
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.1,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.5371) und 'nicht ok'(p=0.4629).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,5371}$; nicht ok: $\mathrm{0,4629}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,2885}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2885}$ = $\mathrm{0,2885}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{10}(X=4)$ ≈ 0.2051.

Analog betrachten wir nun die restlichen 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{20}(Y\ge 10)$ = 1- $P_{0.5}^{20}(Y\le 9)$ ≈ 0.5881.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{10}(X=4)$ ⋅ $P_{0.5}^{20}(Y\ge 10)$ = 0.2051 ⋅ 0.5881 ≈ 0.1206