Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

• 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
• 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.

$P_{0.95}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.95}^4\cdot {0.05}^1$≈ 0.2036
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

$P_{0.83}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.83}^5\cdot {0.17}^0$≈ 0.3939
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2036 ⋅ 0.3939 = 0.08019804

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.

$P_{0.95}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.95}^5\cdot {0.05}^0$≈ 0.7738
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

$P_{0.83}^5(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.83}^4\cdot {0.17}^1$≈ 0.4034
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.7738 ⋅ 0.4034 = 0.31215092

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.95.

$P_{0.95}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.95}^5\cdot {0.05}^0$≈ 0.7738
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.83.

$P_{0.83}^5(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.83}^5\cdot {0.17}^0$≈ 0.3939
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.7738 ⋅ 0.3939 = 0.30479982

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0802 + 0.3122 + 0.3048 = 0.6971

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.65}^5$ ⋅ ${0.35}^2$

Dabei gibt ja ${0.65}^5$ ⋅ ${0.35}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.65}^5$ ⋅ ${0.35}^2$ ≈ 0.0426

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 92 Treffer bei 108 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84, also $P_{0.84}^{108}(X\le 92)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.84.

$P_{0.84}^{108}(X\le 92)$ = $P_{0.84}^{108}(X=0)$ + $P_{0.84}^{108}(X=1)$ + $P_{0.84}^{108}(X=2)$ +... + $P_{0.84}^{108}(X=92)$ = 0.67118800839469 ≈ 0.6712
(TI-Befehl: binomcdf(108,0.84,92))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.6712) und 'überbucht'(p=0.3288).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,6712}$; überbucht: $\mathrm{0,3288}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,3024}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,1481}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1481}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1481}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,3024}$ + $\mathrm{0,1481}$ + $\mathrm{0,1481}$ + $\mathrm{0,1481}$ = $\mathrm{0,7468}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 19 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=19 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.35}^{19}(X=7)$ ≈ 0.1844.

Analog betrachten wir nun die restlichen 6 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.35.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.35}^6(Y\le 3)$ ≈ 0.8826.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.35}^{19}(X=7)$ ⋅ $P_{0.35}^6(Y\le 3)$ = 0.1844 ⋅ 0.8826 ≈ 0.1628