Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.5 zu erzielen, also $P_{0.5}^{65}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.5}^{65}(X\le 36)$ - $P_{0.5}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.8395 - 0.0124 ≈ 0.8271 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.5,36)- binomcdf(65,0.5,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 26 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.64 zu erzielen, also $P_{0.64}^{35}(24\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.64}^{35}(X\le 26)$ - $P_{0.64}^{35}(X\le 23)$ ≈ 0.9289 - 0.6451 ≈ 0.2838 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.64,26)- binomcdf(35,0.64,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8271 ⋅ 0.2838 ≈ 0.2347

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.75}^3$ ⋅ ${0.25}^3$

Dabei gibt ja ${0.75}^3$ ⋅ ${0.25}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.75}^3$ ⋅ ${0.25}^3$ ≈ 0.0264

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.87,
also $P_{0.87}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.87}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.87}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.037 ≈ 0.963 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.87,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.963) und 'zu wenig'(p=0.037).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,963}$; zu wenig: $\mathrm{0,037}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,0356}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,0356}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,9274}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0356}$ + $\mathrm{0,0356}$ + $\mathrm{0,9274}$ = $\mathrm{0,9986}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 7 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=7 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^7(X\le 1)$ ≈ 0.6698.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^9(Y\ge 1)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^9(Y\le 0)$ ≈ 0.8062.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^7(X\le 1)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^9(Y\ge 1)$ = 0.6698 ⋅ 0.8062 ≈ 0.54