Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 38 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{50}(30\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{50}(X\le 38)$ - $P_{0.45}^{50}(X\le 29)$ ≈ 1 - 0.9765 ≈ 0.0235 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.45,38)- binomcdf(50,0.45,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{45}(25\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{45}(X\le 30)$ - $P_{0.67}^{45}(X\le 24)$ ≈ 0.537 - 0.0391 ≈ 0.4979 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.67,30)- binomcdf(45,0.67,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0235 ⋅ 0.4979 ≈ 0.0117

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.65}^3$ ⋅ ${0.35}^5$

Dabei gibt ja ${0.65}^3$ ⋅ ${0.35}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOO

OXXXOOOO

OOXXXOOO

OOOXXXOO

OOOOXXXO

OOOOOXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.65}^3$ ⋅ ${0.35}^5$ ≈ 0.0087

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89, also $P_{0.89}^{103}(X\le 99)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.89.

$P_{0.89}^{103}(X\le 99)$ = $P_{0.89}^{103}(X=0)$ + $P_{0.89}^{103}(X=1)$ + $P_{0.89}^{103}(X=2)$ +... + $P_{0.89}^{103}(X=99)$ = 0.99737888373676 ≈ 0.9974
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.89,99))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9974) und 'überbucht'(p=0.0026).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9974}$; überbucht: $\mathrm{0,0026}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9922}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0026}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0026}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0026}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9922}$ + $\mathrm{0,0026}$ + $\mathrm{0,0026}$ + $\mathrm{0,0026}$ = $1$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.18.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.18}^{10}(X=3)$ ≈ 0.1745.

Analog betrachten wir nun die restlichen 70 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.18.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.18}^{70}(Y\le 16)$ ≈ 0.8852.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.18}^{10}(X=3)$ ⋅ $P_{0.18}^{70}(Y\le 16)$ = 0.1745 ⋅ 0.8852 ≈ 0.1545