Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 33 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also $P_{0.49}^{50}(30\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.49}^{50}(X\le 33)$ - $P_{0.49}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9948 - 0.9216 ≈ 0.0732 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.49,33)- binomcdf(50,0.49,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 20 und 26 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also $P_{0.75}^{45}(20\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.75}^{45}(X\le 26)$ - $P_{0.75}^{45}(X\le 19)$ ≈ 0.0085 - 0 ≈ 0.0085 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.75,26)- binomcdf(45,0.75,19)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0732 ⋅ 0.0085 ≈ 0.0006

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.35}^3$ ⋅ ${0.65}^4$

Dabei gibt ja ${0.35}^3$ ⋅ ${0.65}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOO

OXXXOOO

OOXXXOO

OOOXXXO

OOOOXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.35}^3$ ⋅ ${0.65}^4$ ≈ 0.0383

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82, also $P_{0.82}^{107}(X\le 93)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.82.

$P_{0.82}^{107}(X\le 93)$ = $P_{0.82}^{107}(X=0)$ + $P_{0.82}^{107}(X=1)$ + $P_{0.82}^{107}(X=2)$ +... + $P_{0.82}^{107}(X=93)$ = 0.93130739866386 ≈ 0.9313
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.82,93))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9313) und 'überbucht'(p=0.0687).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9313}$; überbucht: $\mathrm{0,0687}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,8077}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0596}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0596}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0596}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,8077}$ + $\mathrm{0,0596}$ + $\mathrm{0,0596}$ + $\mathrm{0,0596}$ = $\mathrm{0,9865}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.16.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.16}^{10}(X=2)$ ≈ 0.2856.

Analog betrachten wir nun die restlichen 40 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.16.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.16}^{40}(Y\le 14)$ ≈ 0.9992.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.16}^{10}(X=2)$ ⋅ $P_{0.16}^{40}(Y\le 14)$ = 0.2856 ⋅ 0.9992 ≈ 0.2854