Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 37 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.45 zu erzielen, also $P_{0.45}^{55}(30\le X\le 37)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.45}^{55}(X\le 37)$ - $P_{0.45}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.9997 - 0.9007 ≈ 0.099 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.45,37)- binomcdf(55,0.45,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 26 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.62 zu erzielen, also $P_{0.62}^{40}(23\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.62}^{40}(X\le 26)$ - $P_{0.62}^{40}(X\le 22)$ ≈ 0.7067 - 0.2253 ≈ 0.4814 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.62,26)- binomcdf(40,0.62,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.099 ⋅ 0.4814 ≈ 0.0477

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^5$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOO

OXXXXOOOO

OOXXXXOOO

OOOXXXXOO

OOOOXXXXO

OOOOOXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^5$ ≈ 0.0035

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83,
also $P_{0.83}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.83}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.83}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.6854 ≈ 0.3146 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.83,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.3146) und 'zu wenig'(p=0.6854).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,3146}$; zu wenig: $\mathrm{0,6854}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,2156}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,2156}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,099}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2156}$ + $\mathrm{0,2156}$ + $\mathrm{0,099}$ = $\mathrm{0,5302}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.8.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.8}^{20}(X=17)$ ≈ 0.2054.

Analog betrachten wir nun die restlichen 70 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=70 und p=0.8.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.8}^{70}(Y\ge 51)$ = 1- $P_{0.8}^{70}(Y\le 50)$ ≈ 0.9455.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.8}^{20}(X=17)$ ⋅ $P_{0.8}^{70}(Y\ge 51)$ = 0.2054 ⋅ 0.9455 ≈ 0.1942