Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 33 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.43 zu erzielen, also $P_{0.43}^{50}(24\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.43}^{50}(X\le 33)$ - $P_{0.43}^{50}(X\le 23)$ ≈ 0.9997 - 0.7174 ≈ 0.2823 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.43,33)- binomcdf(50,0.43,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 32 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{50}(19\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{50}(X\le 32)$ - $P_{0.67}^{50}(X\le 18)$ ≈ 0.376 - 0 ≈ 0.376 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.67,32)- binomcdf(50,0.67,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.2823 ⋅ 0.376 ≈ 0.1061

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^5$

Dabei gibt ja ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOOO

OXXXXXOOOO

OOXXXXXOOO

OOOXXXXXOO

OOOOXXXXXO

OOOOOXXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^5$ ≈ 0.0014

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 95 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also $P_{0.83}^{106}(X\le 95)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.83.

$P_{0.83}^{106}(X\le 95)$ = $P_{0.83}^{106}(X=0)$ + $P_{0.83}^{106}(X=1)$ + $P_{0.83}^{106}(X=2)$ +... + $P_{0.83}^{106}(X=95)$ = 0.97964686883412 ≈ 0.9796
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.83,95))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9796) und 'überbucht'(p=0.0204).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9796}$; überbucht: $\mathrm{0,0204}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,94}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0196}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0196}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0196}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,94}$ + $\mathrm{0,0196}$ + $\mathrm{0,0196}$ + $\mathrm{0,0196}$ = $\mathrm{0,9988}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 6 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^6(X\le 2)$ ≈ 0.9377.

Analog betrachten wir nun die restlichen 12 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=12 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{12}(Y\ge 3)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{12}(Y\le 2)$ ≈ 0.3226.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^6(X\le 2)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{12}(Y\ge 3)$ = 0.9377 ⋅ 0.3226 ≈ 0.3025