Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.58 zu erzielen, also $P_{0.58}^{60}(24\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.58}^{60}(X\le 35)$ - $P_{0.58}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.5699 - 0.0017 ≈ 0.5682 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.58,35)- binomcdf(60,0.58,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 30 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.64 zu erzielen, also $P_{0.64}^{40}(24\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.64}^{40}(X\le 30)$ - $P_{0.64}^{40}(X\le 23)$ ≈ 0.9503 - 0.2422 ≈ 0.7081 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.64,30)- binomcdf(40,0.64,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.5682 ⋅ 0.7081 ≈ 0.4023

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOO

OXXXXO

OOXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^4$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ ≈ 0.0016

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 98 Treffer bei 108 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.85, also $P_{0.85}^{108}(X\le 98)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=108 und p=0.85.

$P_{0.85}^{108}(X\le 98)$ = $P_{0.85}^{108}(X=0)$ + $P_{0.85}^{108}(X=1)$ + $P_{0.85}^{108}(X=2)$ +... + $P_{0.85}^{108}(X=98)$ = 0.97110287502463 ≈ 0.9711
(TI-Befehl: binomcdf(108,0.85,98))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9711) und 'überbucht'(p=0.0289).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9711}$; überbucht: $\mathrm{0,0289}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9158}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0273}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0273}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0273}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9158}$ + $\mathrm{0,0273}$ + $\mathrm{0,0273}$ + $\mathrm{0,0273}$ = $\mathrm{0,9975}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=16 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^{16}(X\le 2)$ ≈ 0.4868.

Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{16}(Y\ge 1)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{16}(Y\le 0)$ ≈ 0.9459.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^{16}(X\le 2)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{16}(Y\ge 1)$ = 0.4868 ⋅ 0.9459 ≈ 0.4605