Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 33 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.6 zu erzielen, also $P_{0.6}^{60}(30\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.6}^{60}(X\le 33)$ - $P_{0.6}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.2536 - 0.0445 ≈ 0.2091 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.6,33)- binomcdf(60,0.6,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 28 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.73 zu erzielen, also $P_{0.73}^{35}(19\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.73}^{35}(X\le 28)$ - $P_{0.73}^{35}(X\le 18)$ ≈ 0.8715 - 0.0052 ≈ 0.8663 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.73,28)- binomcdf(35,0.73,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.2091 ⋅ 0.8663 ≈ 0.1811

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^3$ ≈ 0.037

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.89,
also $P_{0.89}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.89}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.89}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.0175 ≈ 0.9825 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.89,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9825) und 'zu wenig'(p=0.0175).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,9825}$; zu wenig: $\mathrm{0,0175}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,0172}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,0172}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,9653}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0172}$ + $\mathrm{0,0172}$ + $\mathrm{0,9653}$ = $\mathrm{0,9997}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^{15}(X\le 4)$ ≈ 0.9102.

Analog betrachten wir nun die restlichen 18 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=18 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{18}(Y\ge 3)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{18}(Y\le 2)$ ≈ 0.5973.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^{15}(X\le 4)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{18}(Y\ge 3)$ = 0.9102 ⋅ 0.5973 ≈ 0.5437