Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.49 zu erzielen, also $P_{0.49}^{60}(24\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.49}^{60}(X\le 34)$ - $P_{0.49}^{60}(X\le 23)$ ≈ 0.9062 - 0.0633 ≈ 0.8429 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.49,34)- binomcdf(60,0.49,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 30 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{50}(21\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{50}(X\le 30)$ - $P_{0.67}^{50}(X\le 20)$ ≈ 0.1826 - 0.0001 ≈ 0.1825 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.67,30)- binomcdf(50,0.67,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8429 ⋅ 0.1825 ≈ 0.1538

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOO

OXXXOOOO

OOXXXOOO

OOOXXXOO

OOOOXXXO

OOOOOXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^5$ ≈ 0.0112

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.86,
also $P_{0.86}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.86}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.86}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.545 ≈ 0.455 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.86,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.455) und 'zu wenig'(p=0.545).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,455}$; zu wenig: $\mathrm{0,545}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,248}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,248}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,207}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,248}$ + $\mathrm{0,248}$ + $\mathrm{0,207}$ = $\mathrm{0,703}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 14 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=14 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{14}(X\le 8)$ ≈ 0.788.

Analog betrachten wir nun die restlichen 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^5(Y=3)$ ≈ 0.3125.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{14}(X\le 8)$ ⋅ $P_{0.5}^5(Y=3)$ = 0.788 ⋅ 0.3125 ≈ 0.2463