Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 3 kommen kann:

• 0 mal unten und 3 mal oben
• 1 mal unten und 2 mal oben
• 2 mal unten und 1 mal oben
• 3 mal unten und 0 mal oben

0 mal unten und 3 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

$P_{0.7}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {0.7}^0\cdot {0.3}^3$≈ 0.027
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.3}^3\cdot {0.7}^0$≈ 0.027
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.027 ⋅ 0.027 = 0.000729

1 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

$P_{0.7}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.7}^1\cdot {0.3}^2$≈ 0.189
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.3}^2\cdot {0.7}^1$≈ 0.189
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.189 ⋅ 0.189 = 0.035721

2 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

$P_{0.7}^3(X=2)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot {0.7}^2\cdot {0.3}^1$≈ 0.441
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=1)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot {0.3}^1\cdot {0.7}^2$≈ 0.441
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.441 ⋅ 0.441 = 0.194481

3 mal unten und 0 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

$P_{0.7}^3(X=3)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)\cdot {0.7}^3\cdot {0.3}^0$≈ 0.343
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.3.

$P_{0.3}^3(X=0)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\cdot {0.3}^0\cdot {0.7}^3$≈ 0.343
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p4=0.343 ⋅ 0.343 = 0.117649

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 4 Kombinationen addiert:

0.0007 + 0.0357 + 0.1945 + 0.1176 = 0.3486

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^4$

Dabei gibt ja ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOO

OXXXXXOOO

OOXXXXXOO

OOOXXXXXO

OOOOXXXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.7}^5$ ⋅ ${0.3}^4$ ≈ 0.0068

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 94 Treffer bei 107 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.85, also $P_{0.85}^{107}(X\le 94)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=107 und p=0.85.

$P_{0.85}^{107}(X\le 94)$ = $P_{0.85}^{107}(X=0)$ + $P_{0.85}^{107}(X=1)$ + $P_{0.85}^{107}(X=2)$ +... + $P_{0.85}^{107}(X=94)$ = 0.83141933231799 ≈ 0.8314
(TI-Befehl: binomcdf(107,0.85,94))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.8314) und 'überbucht'(p=0.1686).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,8314}$; überbucht: $\mathrm{0,1686}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,5747}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,1165}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1165}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,1165}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,5747}$ + $\mathrm{0,1165}$ + $\mathrm{0,1165}$ + $\mathrm{0,1165}$ = $\mathrm{0,9243}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.85}^5(X=5)$ ≈ 0.4437.

Analog betrachten wir nun die restlichen 45 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=45 und p=0.85.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.85}^{45}(Y\ge 38)$ = 1- $P_{0.85}^{45}(Y\le 37)$ ≈ 0.6394.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.85}^5(X=5)$ ⋅ $P_{0.85}^{45}(Y\ge 38)$ = 0.4437 ⋅ 0.6394 ≈ 0.2837