Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.58 zu erzielen, also $P_{0.58}^{60}(30\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.58}^{60}(X\le 34)$ - $P_{0.58}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.466 - 0.0835 ≈ 0.3825 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.58,34)- binomcdf(60,0.58,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 28 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also $P_{0.75}^{35}(22\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.75}^{35}(X\le 28)$ - $P_{0.75}^{35}(X\le 21)$ ≈ 0.808 - 0.0363 ≈ 0.7717 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.75,28)- binomcdf(35,0.75,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3825 ⋅ 0.7717 ≈ 0.2952

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^2$

Dabei gibt ja ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${0.75}^5$ ⋅ ${0.25}^2$ ≈ 0.0445

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 103 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.85, also $P_{0.85}^{103}(X\le 93)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=103 und p=0.85.

$P_{0.85}^{103}(X\le 93)$ = $P_{0.85}^{103}(X=0)$ + $P_{0.85}^{103}(X=1)$ + $P_{0.85}^{103}(X=2)$ +... + $P_{0.85}^{103}(X=93)$ = 0.95651812797501 ≈ 0.9565
(TI-Befehl: binomcdf(103,0.85,93))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9565) und 'überbucht'(p=0.0435).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("nicht überbucht")=$\mathrm{0,9565}$; P("überbucht")=$\mathrm{0,0435}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,8751}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0398}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0398}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0398}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,8751}$ + $\mathrm{0,0398}$ + $\mathrm{0,0398}$ + $\mathrm{0,0398}$ = $\mathrm{0,9945}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 14 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=14 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{14}(X\le 6)$ ≈ 0.3953.

Analog betrachten wir nun die restlichen 9 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=9 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^9(Y=4)$ ≈ 0.2461.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{14}(X\le 6)$ ⋅ $P_{0.5}^9(Y=4)$ = 0.3953 ⋅ 0.2461 ≈ 0.0973