Aufgabenbeispiele von Anwendungen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR
Beispiel:
Eine Fluggesellschaft hat 20 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 46 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?
| p | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.3 | 0.982 |
| 0.31 | 0.9741 |
| 0.32 | 0.9635 |
| 0.33 | 0.9499 |
| 0.34 | 0.9327 |
| 0.35 | 0.9115 |
| 0.36 | 0.8859 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.9 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(46,X,20) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.
Binomialvert. mit variabl. p (mind.) nur GTR
Beispiel:
Ein Basketballtrainer sucht einen neuen Spieler, der mit 50% Wahrscheinlichkeit von 73 Freiwürfen mindestens 45 mal trifft. Welche Trefferquote braucht solch ein Spieler mindestens?
| p | P(X≥45)=1-P(X≤44) |
|---|---|
| ... | ... |
| 0.56 | 0.1971 |
| 0.57 | 0.2483 |
| 0.58 | 0.3061 |
| 0.59 | 0.3694 |
| 0.6 | 0.4367 |
| 0.61 | 0.5064 |
| ... | ... |
Es muss gelten: =0.5 (oder mehr)
oder eben: 1- =0.5 (oder mehr)
Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=1-binomcdf(73,X,44) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf -
bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden )
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei p=0.61 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.5 ist.
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 92% und im Stehen 82%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:
- 4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
- 5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.
= ≈ 0.2866Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.82.
= ≈ 0.3707Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2866 ⋅ 0.3707 = 0.10624262
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.
= ≈ 0.6591Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.82.
= ≈ 0.4069Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.6591 ⋅ 0.4069 = 0.26818779
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.92.
= ≈ 0.6591Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.82.
= ≈ 0.3707Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.6591 ⋅ 0.3707 = 0.24432837
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.1062 + 0.2682 + 0.2443 = 0.6188
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 90% wirft 6 mal auf den Korb. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen 6 Versuchen irgendwann einmal eine Serie mit 3 aufeinanderfolgenden Treffern hinlegt und bei allen anderen Versuchen nicht trifft.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ⋅ ⋅
Dabei gibt ja ⋅ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und die Anzahl solcher Pfade an.
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:
XXXOOO
OXXXOO
OOXXXO
OOOXXX
Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit: P = 4 ⋅ ⋅ ≈ 0.0029
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 18 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 88% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.88,
also
.
Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: = 1 -
≈ 1 - 0.4369 ≈ 0.5631 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.88,17))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.5631) und 'zu wenig'(p=0.4369).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'
| Ereignis | P |
|---|---|
| genügend Treffer -> genügend Treffer | |
| genügend Treffer -> zu wenig | |
| zu wenig -> genügend Treffer | |
| zu wenig -> zu wenig |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: ; zu wenig: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=)
- 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=)
- 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 40% und wirft 20 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 10 Versuchen genau 5 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 3 mal trifft.
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.4.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.2007.
Analog betrachten wir nun die restlichen 10 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.4.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als ≈ 0.3823.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.2007 ⋅ 0.3823 ≈ 0.0767
