Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.58 zu erzielen, also $P_{0.58}^{55}(24\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.58}^{55}(X\le 34)$ - $P_{0.58}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.7599 - 0.0113 ≈ 0.7486 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.58,34)- binomcdf(55,0.58,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also $P_{0.69}^{45}(23\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.69}^{45}(X\le 30)$ - $P_{0.69}^{45}(X\le 22)$ ≈ 0.422 - 0.0039 ≈ 0.4181 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.69,30)- binomcdf(45,0.69,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.7486 ⋅ 0.4181 ≈ 0.313

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^6$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^6$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^6$ ≈ 0.0012

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.9,
also $P_{0.9}^{20}(X\ge 15)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.9}^{20}(X\ge 15)$ = 1 - $P_{0.9}^{20}(X\le 14)$

≈ 1 - 0.0113 ≈ 0.9887 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.9,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.9887) und 'zu wenig'(p=0.0113).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,9887}$; zu wenig: $\mathrm{0,0113}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,0112}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,0112}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,9775}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0112}$ + $\mathrm{0,0112}$ + $\mathrm{0,9775}$ = $\mathrm{0,9999}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.18.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.18}^{10}(X=3)$ ≈ 0.1745.

Analog betrachten wir nun die restlichen 30 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.18.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.18}^{30}(Y\le 10)$ ≈ 0.988.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.18}^{10}(X=3)$ ⋅ $P_{0.18}^{30}(Y\le 10)$ = 0.1745 ⋅ 0.988 ≈ 0.1724