Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 33 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also $P_{0.47}^{50}(30\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.47}^{50}(X\le 33)$ - $P_{0.47}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9978 - 0.9554 ≈ 0.0424 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.47,33)- binomcdf(50,0.47,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.63 zu erzielen, also $P_{0.63}^{45}(23\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.63}^{45}(X\le 30)$ - $P_{0.63}^{45}(X\le 22)$ ≈ 0.7439 - 0.0372 ≈ 0.7067 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.63,30)- binomcdf(45,0.63,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0424 ⋅ 0.7067 ≈ 0.03

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^4$

Dabei gibt ja ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOO

OXXXXOOO

OOXXXXOO

OOOXXXXO

OOOOXXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.7}^4$ ⋅ ${0.3}^4$ ≈ 0.0097

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.07, also $P_{0.07}^{25}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.07.

$P_{0.07}^{25}(X\le 2)$ = $P_{0.07}^{25}(X=0)$ + $P_{0.07}^{25}(X=1)$ + $P_{0.07}^{25}(X=2)$ = 0.74656243172887 ≈ 0.7466
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.07,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.7466) und 'nicht ok'(p=0.2534).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,7466}$; nicht ok: $\mathrm{0,2534}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,5574}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,5574}$ = $\mathrm{0,5574}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.55.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.55}^{20}(X=9)$ ≈ 0.1185.

Analog betrachten wir nun die restlichen 80 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=80 und p=0.55.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.55}^{80}(Y\ge 52)$ = 1- $P_{0.55}^{80}(Y\le 51)$ ≈ 0.0449.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.55}^{20}(X=9)$ ⋅ $P_{0.55}^{80}(Y\ge 52)$ = 0.1185 ⋅ 0.0449 ≈ 0.0053