Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 34 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.42 zu erzielen, also $P_{0.42}^{50}(30\le X\le 34)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.42}^{50}(X\le 34)$ - $P_{0.42}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9999 - 0.9922 ≈ 0.0077 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.42,34)- binomcdf(50,0.42,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 22 und 30 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.65 zu erzielen, also $P_{0.65}^{50}(22\le X\le 30)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.65}^{50}(X\le 30)$ - $P_{0.65}^{50}(X\le 21)$ ≈ 0.2736 - 0.0007 ≈ 0.2729 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.65,30)- binomcdf(50,0.65,21)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.0077 ⋅ 0.2729 ≈ 0.0021

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^5$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^2$ ≈ 0.0003

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 93 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82, also $P_{0.82}^{106}(X\le 93)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.82.

$P_{0.82}^{106}(X\le 93)$ = $P_{0.82}^{106}(X=0)$ + $P_{0.82}^{106}(X=1)$ + $P_{0.82}^{106}(X=2)$ +... + $P_{0.82}^{106}(X=93)$ = 0.95753794549018 ≈ 0.9575
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.82,93))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9575) und 'überbucht'(p=0.0425).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9575}$; überbucht: $\mathrm{0,0425}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,8778}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,039}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,039}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,039}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,8778}$ + $\mathrm{0,039}$ + $\mathrm{0,039}$ + $\mathrm{0,039}$ = $\mathrm{0,9947}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.45.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.45}^{20}(X=7)$ ≈ 0.1221.

Analog betrachten wir nun die restlichen 40 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.45.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.45}^{40}(Y\ge 14)$ = 1- $P_{0.45}^{40}(Y\le 13)$ ≈ 0.9249.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.45}^{20}(X=7)$ ⋅ $P_{0.45}^{40}(Y\ge 14)$ = 0.1221 ⋅ 0.9249 ≈ 0.1129