Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 35 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.52 zu erzielen, also $P_{0.52}^{50}(30\le X\le 35)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.52}^{50}(X\le 35)$ - $P_{0.52}^{50}(X\le 29)$ ≈ 0.9968 - 0.8391 ≈ 0.1577 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.52,35)- binomcdf(50,0.52,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 28 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.67 zu erzielen, also $P_{0.67}^{35}(25\le X\le 28)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.67}^{35}(X\le 28)$ - $P_{0.67}^{35}(X\le 24)$ ≈ 0.9701 - 0.6401 ≈ 0.33 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.67,28)- binomcdf(35,0.67,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.1577 ⋅ 0.33 ≈ 0.052

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$

Dabei gibt ja ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${\left($ \frac{1}{6}$\right)}^3$ ⋅ ${\left($ \frac{5}{6}$\right)}^3$ ≈ 0.0107

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.09, also $P_{0.09}^{25}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.09.

$P_{0.09}^{25}(X\le 2)$ = $P_{0.09}^{25}(X=0)$ + $P_{0.09}^{25}(X=1)$ + $P_{0.09}^{25}(X=2)$ = 0.60629854766143 ≈ 0.6063
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.09,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.6063) und 'nicht ok'(p=0.3937).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("kiste ok")=$\mathrm{0,6063}$; P("nicht ok")=$\mathrm{0,3937}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,3676}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,3676}$ = $\mathrm{0,3676}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.4.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.4}^5(X=2)$ ≈ 0.3456.

Analog betrachten wir nun die restlichen 85 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Drehungen die im grünen Bereich landen an. Y ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.4.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.4}^{85}(Y\ge 27)$ = 1- $P_{0.4}^{85}(Y\le 26)$ ≈ 0.9532.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.4}^5(X=2)$ ⋅ $P_{0.4}^{85}(Y\ge 27)$ = 0.3456 ⋅ 0.9532 ≈ 0.3294