Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 36 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.58 zu erzielen, also $P_{0.58}^{55}(24\le X\le 36)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.58}^{55}(X\le 36)$ - $P_{0.58}^{55}(X\le 23)$ ≈ 0.8966 - 0.0113 ≈ 0.8853 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.58,36)- binomcdf(55,0.58,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 32 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.63 zu erzielen, also $P_{0.63}^{45}(24\le X\le 32)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.63}^{45}(X\le 32)$ - $P_{0.63}^{45}(X\le 23)$ ≈ 0.9019 - 0.0688 ≈ 0.8331 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.63,32)- binomcdf(45,0.63,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.8853 ⋅ 0.8331 ≈ 0.7375

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.8}^5$ ⋅ ${0.2}^5$

Dabei gibt ja ${0.8}^5$ ⋅ ${0.2}^5$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOOOOO

OXXXXXOOOO

OOXXXXXOOO

OOOXXXXXOO

OOOOXXXXXO

OOOOOXXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${0.8}^5$ ⋅ ${0.2}^5$ ≈ 0.0006

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.1, also $P_{0.1}^{50}(X\le 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.1.

$P_{0.1}^{50}(X\le 2)$ = $P_{0.1}^{50}(X=0)$ + $P_{0.1}^{50}(X=1)$ + $P_{0.1}^{50}(X=2)$ = 0.11172875634635 ≈ 0.1117
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.1,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.1117) und 'nicht ok'(p=0.8883).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok: $\mathrm{0,1117}$; nicht ok: $\mathrm{0,8883}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'kiste ok'-'kiste ok' (P=$\mathrm{0,0125}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,0125}$ = $\mathrm{0,0125}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 20 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.4.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.4}^{20}(X=10)$ ≈ 0.1171.

Analog betrachten wir nun die restlichen 13 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=13 und p=0.4.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.4}^{13}(Y\le 7)$ ≈ 0.9023.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.4}^{20}(X=10)$ ⋅ $P_{0.4}^{13}(Y\le 7)$ = 0.1171 ⋅ 0.9023 ≈ 0.1057