Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 38 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also $P_{0.47}^{55}(30\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.47}^{55}(X\le 38)$ - $P_{0.47}^{55}(X\le 29)$ ≈ 0.9997 - 0.838 ≈ 0.1617 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.47,38)- binomcdf(55,0.47,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 26 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.71 zu erzielen, also $P_{0.71}^{45}(19\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.71}^{45}(X\le 26)$ - $P_{0.71}^{45}(X\le 18)$ ≈ 0.0399 - 0 ≈ 0.0399 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.71,26)- binomcdf(45,0.71,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.1617 ⋅ 0.0399 ≈ 0.0065

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.05}^3$ ⋅ ${0.95}^3$

Dabei gibt ja ${0.05}^3$ ⋅ ${0.95}^3$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 3 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOO

OXXXOO

OOXXXO

OOOXXX

Es gibt also genau 4 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 4 ⋅ ${0.05}^3$ ⋅ ${0.95}^3$ ≈ 0.0004

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 98 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{106}(X\le 98)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.81.

$P_{0.81}^{106}(X\le 98)$ = $P_{0.81}^{106}(X=0)$ + $P_{0.81}^{106}(X=1)$ + $P_{0.81}^{106}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{106}(X=98)$ = 0.99973574464779 ≈ 0.9997
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.81,98))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9997) und 'überbucht'(p=0.00029999999999997).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9997}$; überbucht: $\mathrm{0,0003}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9991}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0003}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0003}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0003}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9991}$ + $\mathrm{0,0003}$ + $\mathrm{0,0003}$ + $\mathrm{0,0003}$ = $1$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. X ist binomialverteilt mit n=17 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{8}}^{17}(X=2)$ ≈ 0.2867.

Analog betrachten wir nun die restlichen 3 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Kekse mit einer Peperoni drin an. Y ist binomialverteilt mit n=3 und p=$\frac{1}{8}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{8}}^3(Y=0)$ ≈ 0.6699.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{8}}^{17}(X=2)$ ⋅ $P_{\frac{1}{8}}^3(Y=0)$ = 0.2867 ⋅ 0.6699 ≈ 0.1921