Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 33 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.47 zu erzielen, also $P_{0.47}^{65}(24\le X\le 33)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.47}^{65}(X\le 33)$ - $P_{0.47}^{65}(X\le 23)$ ≈ 0.7685 - 0.039 ≈ 0.7295 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.47,33)- binomcdf(65,0.47,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 21 und 26 Treffer bei 40 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.62 zu erzielen, also $P_{0.62}^{40}(21\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.62}^{40}(X\le 26)$ - $P_{0.62}^{40}(X\le 20)$ ≈ 0.7067 - 0.082 ≈ 0.6247 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(40,0.62,26)- binomcdf(40,0.62,20)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.7295 ⋅ 0.6247 ≈ 0.4557

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 6 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ ⋅ ${0.45}^5$ ⋅ ${0.55}^1$

Dabei gibt ja ${0.45}^5$ ⋅ ${0.55}^1$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 1 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXO

OXXXXX

Es gibt also genau 2 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 2 ⋅ ${0.45}^5$ ⋅ ${0.55}^1$ ≈ 0.0203

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84,
also $P_{0.84}^{20}(X\ge 18)$.

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.84}^{20}(X\ge 18)$ = 1 - $P_{0.84}^{20}(X\le 17)$

≈ 1 - 0.642 ≈ 0.358 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.84,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.358) und 'zu wenig'(p=0.642).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: $\mathrm{0,358}$; zu wenig: $\mathrm{0,642}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=$\mathrm{0,2298}$)
• 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,2298}$)
• 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=$\mathrm{0,1282}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,2298}$ + $\mathrm{0,2298}$ + $\mathrm{0,1282}$ = $\mathrm{0,5878}$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 12 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=12 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{12}(X\le 7)$ ≈ 0.8062.

Analog betrachten wir nun die restlichen 5 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^5(Y=3)$ ≈ 0.3125.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{12}(X\le 7)$ ⋅ $P_{0.5}^5(Y=3)$ = 0.8062 ⋅ 0.3125 ≈ 0.2519