Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 4 beschriftet sind und fünf Kugeln, die mit der Zahl 6 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X162436
zugehörige
Ereignisse
4 - 44 - 6
6 - 4
6 - 6

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Zahl des ersten Glücksrads - Zahl des zweiten Glücksrads. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Glücksrad 1 - Glücksrad 2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = -2X = -1X = 0X = 1X = 2
zugehörige
Ergebnisse
1 - 31 - 2
2 - 3
1 - 1
2 - 2
3 - 3
2 - 1
3 - 2
3 - 1
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(


Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = -2X = -1X = 0X = 1X = 2
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
5 8 1 8 5 8 1 4
+ 1 4 1 8
5 8 5 8
+ 1 4 1 4
+ 1 8 1 8
1 4 5 8
+ 1 8 1 4
1 8 5 8
  = 5 64 5 32 + 1 32 25 64 + 1 16 + 1 64 5 32 + 1 32 5 64



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X-2-1012
P(X=k) 5 64 3 16 15 32 3 16 5 64

Zufallsgröße (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 2 beschriftet sind und zwei Kugeln, die mit der Zahl 6 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 4X = 12X = 36
zugehörige
Ergebnisse
2 - 22 - 6
6 - 2
6 - 6
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 4X = 12X = 36
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
2 3 3 5 2 3 2 5
+ 1 3 4 5
1 3 1 5
  = 2 5 4 15 + 4 15 1 15



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X41236
P(X=k) 2 5 8 15 1 15

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 4 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X12345
P(X=k) 3 4 1 5 3 70 3 455 1 1820

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Summe der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?

Zufallsgröße X23456
P(X=k) 49 144 ??? 169 1296

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=2 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=2) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=2) = 49 144 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 49 144 und somit p1 = 7 12 .

Ebenso gibt es für X=6 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = 169 1296 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 169 1296 und somit p3 = 13 36 .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1 - 7 12 - 13 36 = 36 36 - 21 36 - 13 36 = 2 36 = 1 18

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = α 360°

Somit erhalten wir:

α1 = 7 12 ⋅ 360° = 210°

α2 = 1 18 ⋅ 360° = 20°

α3 = 13 36 ⋅ 360° = 130°

Erwartungswerte

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Wie viele Punkte kann man bei dem abgebildeten Glücksrad erwarten?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Punktezahl auf einem Sektor des Glücksrads.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 4 12 25
Zufallsgröße xi 2 4 12 25
P(X=xi) 4 8 2 8 1 8 1 8
xi ⋅ P(X=xi) 1 1 3 2 25 8

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 2⋅ 4 8 + 4⋅ 2 8 + 12⋅ 1 8 + 25⋅ 1 8

= 1+ 1+ 3 2 + 25 8
= 53 8

6.63

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen, 3 roten, 3 grünen und 3 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 8€. Bei rot erhält er 12€ und bei grün erhält er 24€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 23€ beträgt ?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis blau rot grün weiß
Zufallsgröße xi 8 12 24 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -15 -11 1 x-23
P(X=xi) 3 12 3 12 3 12 3 12
xi ⋅ P(X=xi) 2 3 6 3 12 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) - 15 4 - 11 4 1 4 3 12 ⋅(x-23)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 23

3 12 · 8 + 3 12 · 12 + 3 12 · 24 + 3 12 x = 23

2 +3 +6 + 3 12 x = 23

2 +3 +6 + 1 4 x = 23
1 4 x +11 = 23 |⋅ 4
4( 1 4 x +11 ) = 92
x +44 = 92 | -44
x = 48

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

3 12 · ( -15 ) + 3 12 · ( -11 ) + 3 12 · 1 + 3 12 ( x -23 ) = 0

- 15 4 - 11 4 + 1 4 + 1 4 · x + 1 4 · ( -23 ) = 0

- 15 4 - 11 4 + 1 4 + 1 4 · x + 1 4 · ( -23 ) = 0
- 15 4 - 11 4 + 1 4 + 1 4 x - 23 4 = 0
1 4 x -12 = 0 |⋅ 4
4( 1 4 x -12 ) = 0
x -48 = 0 | +48
x = 48

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 48

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.

  • Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
  • auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
  • es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
  • bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
  • um Kunden zu locken soll bei einem Feld 50€ ausgezahlt werden
Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 48
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 1

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 48
P(X) = P(Y) 1 2 11 48 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 2 + 11 48 + 1 48 = 3 4
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 3 4 = 1 4 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 11 48 1 8 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1) setzt.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 1 2 3 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1 0 1 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 11 48 1 8 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 - 1 8 0 1 8 1

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern - 1 10 sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit 1 8 multipliziert gerade um - 1 10 wächst.
Also x ⋅ 1 8 = - 1 10 => x= - 1 10 : 1 8 = - 4 5 = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 0.2 2 3 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1.8 0 1 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 11 48 1 8 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 - 9 40 0 1 8 1

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ 1 2 + -1.8⋅ 1 8 + 0⋅ 11 48 + 1⋅ 1 8 + 48⋅ 1 48

= -1 - 9 40 + 0+ 1 8 + 1
= - 40 40 - 9 40 + 0 40 + 5 40 + 40 40
= - 4 40
= - 1 10

-0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: 7 8

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: 21 184

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: 21 2024

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: 1 2024

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4
Zufallsgröße xi 1 2 3 4
P(X=xi) 7 8 21 184 21 2024 1 2024
xi ⋅ P(X=xi) 7 8 21 92 63 2024 1 506

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 7 8 + 2⋅ 21 184 + 3⋅ 21 2024 + 4⋅ 1 2024

= 7 8 + 21 92 + 63 2024 + 1 506
= 1771 2024 + 462 2024 + 63 2024 + 4 2024
= 2300 2024
= 25 22

1.14

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 6 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As -> As 1 30
As -> As -> andereKarte 1 10
As -> andereKarte -> As 1 10
As -> andereKarte -> andereKarte 1 6
andereKarte -> As -> As 1 10
andereKarte -> As -> andereKarte 1 6
andereKarte -> andereKarte -> As 1 6
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte 1 6

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: 1 6

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: 1 10 + 1 10 + 1 10 = 3 10

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: 1 30

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 30
P(X=xi) 1 6 1 2 3 10 1 30
xi ⋅ P(X=xi) 0 5 6 1

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 1 6 + 10⋅ 1 2 + 20⋅ 3 10 + 30⋅ 1 30

= 0+ 5+ 6+ 1
= 12

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 7 Asse, 3 Könige, 3 Damen und 7 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 350, 2 Damen 120 und 2 Buben 50 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 25 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As 21 190
As -> König 21 380
As -> Dame 21 380
As -> Bube 49 380
König -> As 21 380
König -> König 3 190
König -> Dame 9 380
König -> Bube 21 380
Dame -> As 21 380
Dame -> König 9 380
Dame -> Dame 3 190
Dame -> Bube 21 380
Bube -> As 49 380
Bube -> König 21 380
Bube -> Dame 21 380
Bube -> Bube 21 190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= 21 190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= 3 190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= 3 190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= 21 190

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= 9 380 + 9 380 = 9 190

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 Asse 2 Könige 2 Damen 2 Buben Paar (D&K)
Zufallsgröße xi 1000 350 120 50 25
P(X=xi) 21 190 3 190 3 190 21 190 9 190
xi ⋅ P(X=xi) 2100 19 105 19 36 19 105 19 45 38

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ 21 190 + 350⋅ 3 190 + 120⋅ 3 190 + 50⋅ 21 190 + 25⋅ 9 190

= 2100 19 + 105 19 + 36 19 + 105 19 + 45 38
= 4737 38

124.66