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Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Zahl des ersten Glücksrads - Zahl des zweiten Glücksrads. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Glücksrad 1 - Glücksrad 2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X-2-1012
zugehörige
Ereignisse
1 - 31 - 2
2 - 3
1 - 1
2 - 2
3 - 3
2 - 1
3 - 2
3 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Drei normale Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gewürfelten 6er. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl der 6er' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 2X = 3
zugehörige
Ergebnisse
0 - 0 - 00 - 0 - 1
0 - 1 - 0
1 - 0 - 0
0 - 1 - 1
1 - 0 - 1
1 - 1 - 0
1 - 1 - 1
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 2X = 3
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
565656565616
+ 561656
+ 165656
561616
+ 165616
+ 161656
161616
  = 12521625216 + 25216 + 252165216 + 5216 + 52161216



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X0123
P(X=k)12521625725721216

Zufallsgröße (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einer Urne sind sechs Kugeln, die mit der Zahl 5 beschriftet sind und zwei Kugeln, die mit der Zahl 9 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 10X = 14X = 18
zugehörige
Ergebnisse
5 - 55 - 9
9 - 5
9 - 9
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 10X = 14X = 18
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
34573427
+ 1467
1417
  = 1528314 + 314128



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X101418
P(X=k)152837128

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X123
P(X=k)121316

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 1, 6 und 7 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X278121314
P(X=k)16225????16225

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Für X=2 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=2) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=2) = 16225 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 16225 und somit p1 = 415.

Ebenso gibt es für X=14 nur das Ereignis: '7'-'7', also dass zwei mal hintereinander '7' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '7' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '7' kommt, gelten: P(X=14) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=14) = 16225 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 16225 und somit p3 = 415.

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1-415-415 = 1515 -415 -415 = 715

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = n15

Somit erhalten wir:

n1 = 415 ⋅ 15 = 4

n6 = 715 ⋅ 15 = 7

n7 = 415 ⋅ 15 = 4

Erwartungswerte

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Wie viele Punkte kann man bei dem abgebildeten Glücksrad erwarten?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Punktezahl auf einem Sektor des Glücksrads.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 6 20 50
Zufallsgröße xi 1 6 20 50
P(X=xi) 48 28 18 18
xi ⋅ P(X=xi) 12 32 52 254

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅48 + 6⋅28 + 20⋅18 + 50⋅18

= 12+ 32+ 52+ 254
= 434

10.75

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit 6€ beschriftet sind, 10 Kugeln, die mit 20€ und 10 Kugeln, die mit 30€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 10 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 24€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 6 20 30 ?
Zufallsgröße xi 6 20 30 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -18 -4 6 x-24
P(X=xi) 1040 1040 1040 1040
xi ⋅ P(X=xi) 32 5 152 1040 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) -92 -1 32 1040⋅(x-24)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 24

1040·6+1040·20+1040·30+1040x = 24

32+5+152+1040x = 24

32+5+152+14x = 24
14x+14 = 24 |⋅ 4
4(14x+14) = 96
x+56 = 96 | -56
x = 40

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

1040·(-18)+1040·(-4)+1040·6+1040(x-24) = 0

-92-1+32+14·x+14·(-24) = 0

-92-1+32+14·x+14·(-24) = 0
-92-1+32+14x-6 = 0
14x-10 = 0 |⋅ 4
4(14x-10) = 0
x-40 = 0 | +40
x = 40

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:

  • Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
  • Der Einsatz soll 8€ betragen
  • Der minimale Auszahlungsbetrag soll 6€ sein
  • Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 34€ sein
  • Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein
Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 26
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 26
P(X) = P(Y) 12 126
Y ⋅ P(Y) -1 1

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 12+126=713
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-713 =613.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 26
P(X) = P(Y) 12 313 313 126
Y ⋅ P(Y) -1 1

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1) setzt.

  Feld1 Feld2 Feld3 Feld4
X (z.B. Auszahlung) 6 7 9 34
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1 1 26
P(X) = P(Y) 12 313 313 126
Winkel 180° 83.08° 83.08° 13.85°
Y ⋅ P(Y) -1 -313 313 1

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅12 + -1⋅313 + 1⋅313 + 26⋅126

= -1-313+ 313+ 1
= -1313 -313+ 313+ 1313
= 013
= 0

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: 1013

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: 526

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: 5143

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 4-ten Versuch st: 1286

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4
Zufallsgröße xi 1 2 3 4
P(X=xi) 1013 526 5143 1286
xi ⋅ P(X=xi) 1013 513 15143 2143

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅1013 + 2⋅526 + 3⋅5143 + 4⋅1286

= 1013+ 513+ 15143+ 2143
= 182143
= 1411

1.27

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 12 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As -> As1140
As -> As -> andereKarte370
As -> andereKarte -> As370
As -> andereKarte -> andereKarte1170
andereKarte -> As -> As370
andereKarte -> As -> andereKarte1170
andereKarte -> andereKarte -> As1170
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte1128

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: 1128

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: 1170 + 1170 + 1170 = 3370

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: 370 + 370 + 370 = 970

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: 1140

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 30
P(X=xi) 1128 3370 970 1140
xi ⋅ P(X=xi) 0 337 187 314

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅1128 + 10⋅3370 + 20⋅970 + 30⋅1140

= 0+ 337+ 187+ 314
= 014+ 6614+ 3614+ 314
= 10514
= 152

7.5

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 2 Asse, 2 Könige, 10 Damen und 6 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 400, 2 Damen 220 und 2 Buben 50 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 35 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As1190
As -> König195
As -> Dame119
As -> Bube395
König -> As195
König -> König1190
König -> Dame119
König -> Bube395
Dame -> As119
Dame -> König119
Dame -> Dame938
Dame -> Bube319
Bube -> As395
Bube -> König395
Bube -> Dame319
Bube -> Bube338

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= 1190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= 1190

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= 938

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= 338

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= 119 + 119 = 219

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 2 Asse 2 Könige 2 Damen 2 Buben Paar (D&K)
Zufallsgröße xi 1000 400 220 50 35
P(X=xi) 1190 1190 938 338 219
xi ⋅ P(X=xi) 10019 4019 99019 7519 7019

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅1190 + 400⋅1190 + 220⋅938 + 50⋅338 + 35⋅219

= 10019+ 4019+ 99019+ 7519+ 7019
= 127519

67.11