Aufgabenbeispiele von Erwartungswert
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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
zugehörige Ereignisse | 1 - 1 | 1 - 2 2 - 1 | 1 - 3 2 - 2 3 - 1 | 2 - 3 3 - 2 | 3 - 3 |
Zufallsgröße WS-Verteilung
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 1 | X = 2 | X = 3 | X = 4 | X = 6 | X = 9 |
zugehörige Ergebnisse | 1 - 1 | 1 - 2 2 - 1 | 1 - 3 3 - 1 | 2 - 2 | 2 - 3 3 - 2 | 3 - 3 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 1 | X = 2 | X = 3 | X = 4 | X = 6 | X = 9 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ |
= | + | + | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 |
P(X=k) |
Zufallsgröße (auch ohne zur.)
Beispiel:
In einer Urne sind sechs Kugeln, die mit der Zahl 5 beschriftet sind und sechs Kugeln, die mit der Zahl 9 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 10 | X = 14 | X = 18 |
zugehörige Ergebnisse | 5 - 5 | 5 - 9 9 - 5 | 9 - 9 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 10 | X = 14 | X = 18 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ |
= | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 10 | 14 | 18 |
P(X=k) |
Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)
Beispiel:
In einer Urne sind 7 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)
Da ja nur 2 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.
Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.
Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:
Zufallsgröße X | 1 | 2 | 3 |
P(X=k) |
Zufallsgröße rückwärts
Beispiel:
In einer Urne sind 20 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 1, 6 und 7 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?
Zufallsgröße X | 1 | 6 | 7 | 36 | 42 | 49 |
P(X=k) | ? | ? | ? | ? |
Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.
Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = heraus lesen, also muss gelten:
p1 ⋅ p1 = (p1)2 = und somit p1 = .
Ebenso gibt es für X=49 nur das Ereignis: '7'-'7', also dass zwei mal hintereinander '7' kommt.
Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '7' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '7' kommt, gelten: P(X=49) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=49) = heraus lesen, also muss gelten:
p3 ⋅ p3 = (p3)2 = und somit p3 = .
Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also
p2 = 1 - p1 - p3 = = =
Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 20 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p =
Somit erhalten wir:
n1 = ⋅ 20 = 7
n6 = ⋅ 20 = 9
n7 = ⋅ 20 = 4
Erwartungswerte
Beispiel:
Bei einer Tombola steht auf jedem zehnten Los 200 Punkte, auf jedem fünften Los 35 Punkte, auf jedem vierten Los 12 Punkte und auf allen anderen 1 Punkt. Wie viele Punkte bringt ein Los durchschnttlich ein?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Punkte auf einem Los.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 200 | 35 | 12 | 1 |
Zufallsgröße xi | 200 | 35 | 12 | 1 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 200⋅ + 35⋅ + 12⋅ + 1⋅
=
=
≈ 30.45
Einsatz für faires Spiel bestimmen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit 10€ beschriftet sind, 7 Kugeln, die mit 12€ und 10 Kugeln, die mit 30€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 6 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 21,53€ fair wäre?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.
Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | 10 | 12 | 30 | ? |
Zufallsgröße xi | 10 | 12 | 30 | x |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | -11.53 | -9.53 | 8.47 | x-21.53 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) | ⋅ x | |||
yi ⋅ P(Y=yi) | ⋅(x-21.53) |
Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:
Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...
E(X) = 21.53
= 21.53
= 21.53= | |||
= | |⋅ 15 | ||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
= |
... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:
E(Y) = 0
= 0 = 0= | |||
= | |||
= | |⋅ 5 | ||
= | |||
= | | | ||
= |
In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 32€
Erwartungswert ganz offen
Beispiel:
Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:
- Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
- Der Einsatz soll 2€ betragen
- Der minimale Auszahlungsbetrag soll 1€ sein
- Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 5€ sein
- Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein
Eine (von vielen möglichen) Lösungen:
Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 1 | 5 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | 3 | ||
P(X) = P(Y) | ||||
Y ⋅ P(Y) |
Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 1 | 5 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | 3 | ||
P(X) = P(Y) | ||||
Y ⋅ P(Y) |
Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von +=
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-
=.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 1 | 5 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | 3 | ||
P(X) = P(Y) | ||||
Y ⋅ P(Y) |
Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich ) setzt.
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 1 | 1.5 | 2.5 | 5 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | -0.5 | 0.5 | 3 |
P(X) = P(Y) | ||||
Winkel | 180° | 60° | 60° | 60° |
Y ⋅ P(Y) |
Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:
E(Y)= -1⋅ + -0.5⋅ + 0.5⋅ + 3⋅
=
=
=
=
Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'
Beispiel:
In einer Urne sind 7 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | |||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 1.25
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 15 Mädchen und 10 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
Jungs -> Jungs -> Jungs |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 1.8
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
In einem Stapel Karten mit 3 Asse, 7 Könige, 4 Damen und 6 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 250, 2 Damen 200 und 2 Buben 60 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 40 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
As -> As | |
As -> König | |
As -> Dame | |
As -> Bube | |
König -> As | |
König -> König | |
König -> Dame | |
König -> Bube | |
Dame -> As | |
Dame -> König | |
Dame -> Dame | |
Dame -> Bube | |
Bube -> As | |
Bube -> König | |
Bube -> Dame | |
Bube -> Bube |
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:
P('As'-'As')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:
P('König'-'König')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:
P('Dame'-'Dame')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:
P('Bube'-'Bube')
=
Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:
P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= + =
Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 2 Asse | 2 Könige | 2 Damen | 2 Buben | Paar (D&K) |
Zufallsgröße xi | 500 | 250 | 200 | 60 | 40 |
P(X=xi) | |||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 500⋅ + 250⋅ + 200⋅ + 60⋅ + 40⋅
=
=
≈ 52.47