Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - \frac{3}{2} x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} - \frac{3}{2} x$

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} - \frac{3}{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $10 x - 3$

f'(1) = $10 \cdot 1 - 3$ = $10 - 3$ = $7$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{- 5 x^{4} + 3 x^{2}}{x^{2}}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $\frac{- 5 x^{4} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

= $\frac{- 5 x^{4}}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}$

= $- 5 x^{2} + 3$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 10 x$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + x^{2} + (x - 2) \cdot 6 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $1 + x^{2} + (x - 2) \cdot 6 x^{3}$

= $1 + x^{2} + (6 x^{4} - 12 x^{3})$

= $6 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2} + 1$

$f'(x) =$ $24 x^{3} - 36 x^{2} + 2 x$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} + \frac{4}{9} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} + \frac{4}{9} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 8 t^{2} x^{3} + \frac{4}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 4 x$

$f'(x) =$ $x - 4$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x - 4$ = -2.

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $2$ ) = $2 - 4$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$ parallel zur Geraden y = $x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x + 1$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x + 4$ = 1.

$x + 4$	=	$1$	\| $- 4$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3 + 4$ = $1$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 6) - 3 (x - 5)$ parallel zur Geraden y = $- x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $5 x + \frac{1}{3} x^{2} \cdot (x - 6) - 3 (x - 5)$

= $5 x + (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) - 3 x + 15$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 3 x + 15$

= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 15$

Die Gerade y = $- x - 1$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 15$

$f'(x) =$ $x^{2} - 4 x + 2 + 0$

= $x^{2} - 4 x + 2$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} - 4 x + 2 + 0$ = -1.

x^{2} - 4 x + 2

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $1^{2} - 4 \cdot 1 + 2 + 0$ = $- 1$

f '( $3$ ) = $3^{2} - 4 \cdot 3 + 2 + 0$ = $- 1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $x^{4} + t x^{3}$ im Punkt (-1|f(-1)) den Wert 11?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + t x^{3}$

=> $f'(x) =$ $4 x^{3} + 3 t x^{2}$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $4 \cdot {(- 1)}^{3} + 3 t \cdot {(- 1)}^{2}$
= $- 4 + 3 t$

Dieser Wert soll ja den Wert 11 besitzen, also gilt:

$3 t - 4$	=	$11$	\| $+ 4$
$3 t$	=	$15$	\|: $3$
$t$	=	$5$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter