$\text{f(x)}=$ $-2x^5-3$

$\text{f'(x)}=$ $-10x^4+0$

= $-10x^4$

$\text{f(x)}=$ $x^3-5x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2-10x$

f'(0) = $3\cdot 0^2-10\cdot 0$ = $3\cdot 0+0$ = 0

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\frac{4x^4-x^2}{x}$

= $\frac{4x^4}{x}+\frac{-x^2}{x}$

= $4x^3-x$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $12x^2-1$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·\left(-6x\right)-1-3x^2$

= $-6x^2-6x-1-3x^2$

= $-6x^2-3x^2-6x-1$

= $-9x^2-6x-1$

$\text{f'(x)}=$ $-18x-6$

$\text{f(x)}=$ $-t^2{x}^3+5$

$\text{f'(x)}=$ $-3t^2{x}^2+0$

= $-3t^2{x}^2$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-x-2$

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir $x^2-x-2$ = 0.

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-2$ = 0

f '( $2$) = $2^2-2-2$ = 0

Die Gerade y = $2x-1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $-1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-x$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^2-x$ = 2.

$x^2-x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $2$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)$ = $2$

f '( $2$) = $2^2-2$ = $2$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $2x+\frac{1}{6}{x}^2·\left(2x-9\right)-4\left(x+6\right)$

= $2x+\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2\right)-4x-24$

= $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-4x-24$

= $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-2x-24$

Die Gerade y = $2x+4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2-2x-24$

$\text{f'(x)}=$ $x^2-3x-2+0$

= $x^2-3x-2$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^2-3x-2+0$ = 2.

$x^2-3x-4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $4$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)-2+0$ = $2$

f '( $4$) = $4^2-3\cdot 4-2+0$ = $2$

$\text{f(x)}=$ $t{x}^5+4x$

=>$\text{f'(x)}=$ $5t{x}^4+4$

Jetzt setzen wir x = -1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $5t\cdot {\left(-1\right)}^4+4$
= $5t+4$

Dieser Wert soll ja den Wert 14 besitzen, also gilt: