Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 10 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10 cm ⋅ 9 cm = 45 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 45 cm² ⋅ 10 cm = 450 cm³

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{6}{2}$)² = 6² |-($\frac{6}{2}$)²

h_c² = 6² - ($\frac{6}{2}$)² = 6² - 3² = 36 - 9= 27

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{27}$ ≈ 5.196

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 ⋅ 5.196 ≈ 15.6

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = a² = 36 ≈ 15.6

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 15.6 ≈ 93.5

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 93.5 mm² ⋅ 60 mm ≈ 5611.8 mm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{554.3}}{\mathrm{80}}$ ≈ 6.93

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ($\frac{x}{2}$)² = x² |-($\frac{x}{2}$)²

h_c² = x² - ($\frac{x}{2}$)² = x² - $\frac{1}{4}$x² = $\frac{3}{4}$x²

Daraus ergibt sich:

h_c = a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ a ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ a ≈ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 6.93 einsetzen:

6.93 ≈ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

16 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{16}}$ ≈ 4

Für x = 4 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 6.9 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 554.3 mm³