Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

-180° sind aber nur ein $\frac{\mathrm{-180°}}{\mathrm{360°}}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu -180° auch nur $\frac{\mathrm{-180°}}{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π = $\frac{\mathrm{-180}}{\mathrm{180}}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{\mathrm{-180°}}{\mathrm{180°}}$⋅π = $-\frac{6}{6}$⋅π = $-1$⋅π

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{5}{6}$π entspricht also dem Gradmaß $\frac{5}{6}$⋅180° = 150°

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.2 = $\frac{\mathrm{4.2}}{\pi }$⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{\mathrm{4.2}}{\pi }$⋅180° ≈ 240.6°

$\frac{4}{5}\pi$ bedeutet $\frac{2}{5}$ eines Kreises, also $\frac{2}{5}$ von 360° = 144°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für cos( $\frac{4}{5}\pi$) bzw. für cos(144°) ablesen:

cos $\frac{4}{5}\pi$) bzw. cos(144°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos( $\frac{4}{5}\pi$°) ≈ -0.81

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Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $-\frac{7}{9}$π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{18}{9}$π) zum gegebenen Winkel: $-\frac{7}{9}$π + $\frac{18}{9}$π =$\frac{11}{9}$π.

Somit gilt x₁ = $\frac{11}{9}$π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $-\frac{11}{9}$π einfach $-\frac{11}{9}$π + 2 π = $\frac{7}{9}$π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{11}{9}$π und x₂ = $\frac{7}{9}$π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $-\frac{7}{9}$π als $-\frac{7}{9}$⋅ 180° = -140° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 220°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 220° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -220°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -220° + 360° = 140°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{11}{9}$π und x₂ = $\frac{7}{9}$π

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$\sin \left(x\right)$

=

$\mathrm{0,15}$

|sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.15056827277669

1. Fall:

x1

=

$\mathrm{0,151}$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(x\right)$ = $\mathrm{0,15}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,151}$= $\mathrm{2,991}$ liegen muss.

2. Fall:

x2

=

$\mathrm{2,991}$

L={ $\mathrm{0,151}$; $\mathrm{2,991}$}