Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 78 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 75 = 3.
Somit gilt: 78 mod 5 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 90 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.
Somit gilt: 90 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Somit gilt: 70 ≡ 90 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (496 + 150) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(496 + 150) mod 5 ≡ (496 mod 5 + 150 mod 5) mod 5.
496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 496
= 400
150 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(496 + 150) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 60) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(19 ⋅ 60) mod 9 ≡ (19 mod 9 ⋅ 60 mod 9) mod 9.
19 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ist.
60 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 54 + 6 = 6 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(19 ⋅ 60) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 26 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
