f(0) = $80$

f(1) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(2) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(3) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

f(4) = $80$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{4}{5}$ multipliziert. Da $\frac{4}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{4}{5}$-fache (oder auf das $\frac{80}{100}$-fache), also auf $80$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 80% = 20 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=23 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $23\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Stunden, also f(6):

f(6) = $23\cdot {\mathrm{1,14}}^6$ ≈ 50,484.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 223 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 223:

$23\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$223$	|:$23$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{223}{23}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{223}{23}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{223}{23}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{223}{23}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,3373}$

Nach ca. 17,337 Stunden ist also der Bestand = 223 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 3 Jahre der Bestand 8.85 Millionen Insekten ist, also f(3) = 8.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^3$	=	$\mathrm{8,85}$	|:$11$
$a^3$	=	$\mathrm{0,80455}$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{0,80455}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[3]{\mathrm{0,80455}}$ ≈ 0.93 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $11\cdot {\mathrm{0,93}}^9$ ≈ 5,725.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 4.6 Millionen Insekten ist, also f(t) = 4.6:

$11\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{4,6}$	|:$11$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\mathrm{0,4182}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4182}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,4182}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,4182}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,0131}$

Nach ca. 12,013 Jahre ist also der Bestand = 4.6 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 16% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{16}{100}$⋅B = (1 + $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 1,16 ⋅ B. Somit ist das a=1,16.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,16}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 11 Wochen der Bestand 35820.85 Nutzer ist, also f(11) = 35820.85. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,16}}^t$ ein:

c ⋅ 1.16¹¹ = 35820.85

c ⋅ 5.11726 = 35820.85 | : 5.11726

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $7000\cdot {\mathrm{1,16}}^5$ ≈ 14702,392.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer ist, also f(t) = 27000:

$7000\cdot {\mathrm{1,16}}^t$	=	$27000$	|:$7000$
${\mathrm{1,16}}^t$	=	$\frac{27}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,16}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$	=	$\lg \left(\frac{27}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,16}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{27}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,16}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,0953}$

Nach ca. 9,095 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 27000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,071}}^t$ ablesen: a=1.071.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.071($2$) ≈ 10.11 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,86.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.86($\frac{1}{2}$) ≈ 4.6 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 3000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 17.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{17,7}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{17,7}}}$ ≈ 1.04, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$