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Term mit Eigenschaften finden

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N₁(0|0) und N₂(2|0)
Verhalten für x → -∞: f(x) → -∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞

Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $f(x) =$ $(x + 0) \cdot (x - 2)$ .

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Es stimmt nun aber das Verhalten für x → ±∞ noch nicht, deswegen müssen wir den Term mit -1 multiplizieren.

Unser Term $- x (x - 2)$ = $- x^{2} + 2 x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen und Faktorisieren

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} - 6 x^{3} + 56 x$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$- 2 x^{5} - 6 x^{3} + 56 x$	=	0
$- 2 x (x^{4} + 3 x^{2} - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Auch der ausgeklammerte (oder wegdividierte) Faktor -2 darf natürlich nicht vergessen werden:

Wenn wir den substituierten Term $u^{2} + 3 u - 28$ anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:

$x^{4} + 3 x^{2} - 28$ =nach Substitution $u^{2} + 3 u - 28$ = $(u - 4) \cdot (u + 7)$ =nach Re-Substitution $(x² - 4) \cdot (x² + 7)$

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $- 2 x \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot (x^{2} + 7)$ = $- 2 x^{5} - 6 x^{3} + 56 x$

Anwendungen

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für 0 ≤ t ≤ 12 durch die Funktion f mit $f(t) =$ $- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 4$ beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 2 m Höhe.

Wann ist die Fahrstuhlgeschwindigkeit am größten?
Wann hat der Fahrstuhl erstmals keine Geschwindigkeit?
Wie viele Sekunden lang ist Geschwindigkeit des Fahrstuhl mindestens $\frac{38}{5}$ m/s?
Bestimme die maximale Höhe, die der Fahrstuhl erreicht.

Lösung einblenden

t-Wert des Maximums (HP)

Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:

Detail-Rechnung für den Hochpunkt ( $5$ |14) einblenden

$f(t) =$ $- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=> $f'(t) =$ $- \frac{4}{5} t + 4 + 0$

= $- \frac{4}{5} t + 4$

$f''(t) =$ $- \frac{4}{5} + 0$

= $- \frac{4}{5}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(t) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$- \frac{4}{5} t + 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{4}{5} t + 4)$	=	0
$- 4 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 4 t$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$5$

Die Lösung t= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(t):

Ist f''(t) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f''(t₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(t₀)=0 und f'(t₀)>0).

f''( $5$ ) = $- \frac{4}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ <0

Das heißt bei t = $5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende t-Wert in f(t) eingesetzt werden.
f( $5$ ) = $- \frac{2}{5} \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 + 4$ = $14$
Man erhält so den Hochpunkt H:( $5$ | $14$ )

Randwertuntersuchung

Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.

Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = $- \frac{2}{5} \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 4$ = $4$ . Am rechten Rand setzen wir die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein: f(12) = $- \frac{2}{5} \cdot 12^{2} + 4 \cdot 12 + 4$ = $- \frac{28}{5}$ .

Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.

Bei t = $5$ ist also der größte Wert der Funktion.

Erste Nullstelle

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=0 annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach gleich Null und lösen nach t auf:

$- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 4)$	=	0

- 2 t^{2} + 20 t + 20

= 0 |:2

$- t^{2} + 10 t + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

t_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 40}}{- 2}$

t_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{140}}{- 2}$

t₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{140}}{- 2}$ ≈ -0.92

t₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{140}}{- 2}$ ≈ 10.92

Da ja nur nichtnegative t-Werte Sinn machen, sind die Nullstellen somit $\frac{- 10 - \sqrt{140}}{- 2}$ .

Die gesuchte erste Nullstelle ist also bei 10.92 s.

Abstand der beiden Schnittstellen mit $\frac{38}{5}$

Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y= $\frac{38}{5}$ annimmt.

Dazu setzen wir die Funktion einfach = $\frac{38}{5}$ und lösen nach t auf:

$- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 4$	=	$\frac{38}{5}$	\|⋅ 5
$5 (- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 4)$	=	$38$
$- 2 t^{2} + 20 t + 20$	=	$38$	\| $- 38$

- 2 t^{2} + 20 t - 18

= 0 |:2

$- t^{2} + 10 t - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

t_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 2}$

t_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

t₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10+8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

t₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10-8}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Die Zeitspanne zwischen diesen Zeitpunkten, an denen die Funktion den Wert $\frac{38}{5}$ annimmt, ist also:

d = 9 - 1 ≈ 8 s.

maximaler Bestand
Der Bestand ist ja gerade dann am größten, wenn die Änderungsrate von einer Zunahme zu einer Abnahme wechselt, wenn also erstmals nichts mehr dazu, sondern wieder etwas weg kommt.
Gesucht ist also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - .

Wie bereits berechnet, sind die die (nicht negativen) Nullstellen bei $\frac{- 10 - \sqrt{140}}{- 2}$ .
Da f(9.9) ≈ 4.3 > 0 und f(11.9) ≈ -5.1 < 0 ist, ist die gesuchte Stelle t = 10.92.
Der maximale Bestand tritt also bei t = 10.92 auf. Den Zuwachs des Bestands von Beginn bis t = 10.92 s lässt sich berechnen durch:

$\int_{0}^{10.92} (- \frac{2}{5} t^{2} + 4 t + 4) ⅆ t$
= ${[- \frac{2}{15} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x]}_{0}^{10.92}$
$=$ $- \frac{2}{15} \cdot {10,92}^{3} + 2 \cdot {10,92}^{2} + 4 \cdot 10,92 - (- \frac{2}{15} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0)$
= $- \frac{2}{15} \cdot 1302,1707 + 2 \cdot 119,2464 + 43,68 - (- \frac{2}{15} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0)$
= $- 173,6228 + 238,4928 + 43,68 - (0 + 0 + 0)$
= $108,55 + 0$
= $108,55$

≈ 108,55
Hinzu kommt noch der Anfangsbestand 2 m, so dass für den maximalen Bestand gilt:
B_max = 2 m + 108.55 m = 110.55 m.

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