Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x+0\right)$.

Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :

Unser Term $\left(x-1\right)x$ = $x^2-x$ erfüllt nun alle geforderten Eigenschaften.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^3-2x^2+x$	=	0
$x\left(x^2-2x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $1$}

$1$ ist 2-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x·{\left(x-1\right)}^2$ = $x^3-2x^2+x$

1. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-13e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

2. Erster t-Wert bei y = 18

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=18 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 18 und lösen nach t auf:

   $20-13e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $18$

   $-13e^{-\mathrm{0,6}t}+20$	=	$18$	| $-20$
   $-13e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-2$	|:$-13$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{2}{13}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{2}{13}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,6}}\ln \left(\frac{2}{13}\right)$	≈ 3.1197

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 18 annimmt, ist also nach 3.12 Jahre.

3. Zuwachs des Bestands zwischem 0 und 3

   Gesucht ist ja der Zuwachs des Bestands zwischen t₁=0 und t₂=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann dieser Zuwachs des Bestands mit dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-13e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-13e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(20\cdot 0+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $60+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}-\left(0+\frac{65}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+60-\left(0+\frac{65}{3}\right)$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+60-\left(0+\frac{65}{3}\right)$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+60-\frac{65}{3}$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+\frac{115}{3}$

   
   ≈ 41,915

   41.91 dm ist also der gesuchte Zuwachs des Bestands.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $x^2$ hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $x^2+1$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Am Graph Nr. 3 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\sqrt{x}+1$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $x^2$ hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion j(x) = $x^2$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $x^2$ hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $x^2$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion i(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x^2}$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $x^2$ hat die typische Form einer nach oben geöffneten Normalparabel. Sie hat ihren Scheitel (Tiefpunkt) im Ursprung. Die Steigung wird vom Betrag immer größer, je weiter der Graph sich vom Ursprung entfernt. Besonders markant sind die Punkte (1|1), (2|4), usw.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion k(x) = $x^2+1$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $e^x+1$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch zusätzlich um 1 in y-Richtung verschoben wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\sin \left(x\right)+1$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $e^x$.

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x^2}$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 1:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $\frac{1}{x^2}$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion i(x) = $\sin \left(x\right)$.

Der Graph von f(x +2) ist gegenüber dem Graph von f um 2 Einheiten nach links verschoben. Dementsprechend hat auch das Integral über f(x +2) den Wert 15, wenn man die Grenzen auch um 2 Einheiten nach links verschiebt. Die Integralgrenzen müssen also um 2 kleiner sein, als bei $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ , also 15 = $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = $$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x\; <mo>+</mo><mn>2</mn>)}dx$$ .

Somit gilt a = -1 und b = 2.

Das +1 nach dem f(x +2) verschiebt den Graph noch zusätzlich um 1 nach oben. Dadurch wird der Inhalt unter dem Graph noch um ein Rechteck mit Höhe 1 und Breite 2 - -1 = 3 vergrößert. Das gesuchte Integral berechnet sich also als
$$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{(f(x\; <mo>+</mo><mn>2</mn>)\; +\; 1)}dx$$ = $$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x\; <mo>+</mo><mn>2</mn>)}dx$$ + $$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}1dx$$ = 15 + 1⋅3 = 15 + 3 = 18

Man erkennt schnell, das keine Symmetrie zum Koordinatenssystem vorliegt, wenn nicht mindestens einer der Summanden von $\left(a-3\right)x^3-4x^2+\left(a-3\right)x+a-1$ rausfällt, so dass nur noch gerade oder ungerade Summanden übrig bleiben.

Durch scharfes Hinsehen könnte man a = 3 erkennen. Man kann aber auch einfach bei jedem Summanden den Koeffizient anschauen und dann a so wählen, dass der Koeffizient = 0 wird:

• $\left(a-3\right)x^3$ wird 0 für a = 3 => f₃(x) = $\left(3-3\right)·x^3-4x^2+\left(3-3\right)·x+\left(3-1\right)·1$ = $-4x^2+2$
• $-4x^2$ kann nie = 0 werden, da ja gar kein a im Koeffizient ist.
• $\left(a-3\right)x$ wird 0 für a = 3 => f₃(x) = $\left(3-3\right)·x^3-4x^2+\left(3-3\right)·x+\left(3-1\right)·1$ = $-4x^2+2$
• $a-1$ wird 0 für a = 1 => f₁(x) = $\left(1-3\right)·x^3-4x^2+\left(1-3\right)·x+\left(1-1\right)·1$ = $-2x^3-4x^2-2x$

Für a = 3 hat f₃(x) = $-4x^2+2$ also nur gerade Summanden und ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse.

An der Abbildung kann man erkennen, dass die Geraden, die den Graph von f berühren, der spannende Grenzfall sind.

Da ja y = m⋅x für jedes m immer durch den Ursprung O(0|0) verläuft, suchen wir also eine Tangente (von außen) an den Graphen von f durch den Ursprung:

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $x^2+2x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $u^2+2u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(u^2+2u\right)·\left(0-u\right)$ + $\frac{1}{3}{u}^3+u^2$

$-\left(u^2+2u\right)u+\frac{1}{3}{u}^3+u^2$ = 0

$-u^3-2u^2+\frac{1}{3}{u}^3+u^2$ = 0

$-\frac{2}{3}{u}^3-u^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-\frac{2}{3}{u}^3-u^2$	=	0	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}{u}^3-u^2\right)$	=	0
$-2u^3-3u^2$	=	0
$-u^2\left(2u+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-\frac{3}{2}$; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x = $-\frac{3}{2}$ in die Ableitung $\text{f'(x)}=$ $x^2+2x$ ein:
$\text{m = f'(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2+2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$
= $\frac{9}{4}-3$
= $-\frac{3}{4}$

Man kann jetzt an der Abbildung gut erkennen, für m = $-\frac{3}{4}$ bzw. für m = $0$ die Gerade y = m⋅x den Graphen der Funktion berührt und somit nur zwei gemeiname Punkte mit dem Graph von f hat.

Wird die Gerade noch steiler als bei m = $-\frac{3}{4}$, also für m < $-\frac{3}{4}$, schneidet die Gerade den Graph von f nur in einem Punkt.

Wird die Geraden weniger steil oder sogar negativ, also für also für alle m > $-\frac{3}{4}$ - eben außer m = 0, so hat die Gerade mit dem Graph von f sogar drei gemeinsame Punkte (siehe z.B. die grünen Geraden in der Abbildung).

Die richtige Lösung wäre hier also: m > $-\frac{3}{4}$ und m ≠ $0$

Als Vorgehensweise empfiehlt es sich, die markanten Punkte in Bezug auf die Ableitung, also Punkte mit waagrechter Tangente wie z.B. Hoch- und Tiefpunkte, bei den einzelnen Graphen zu betrachten.

Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph Nr. 1 können wir bei x = -3 und bei x = -1 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 3 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 3 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 1 zeigen.

Zu Graph Nr. 2:

Beim Graph Nr. 2 können wir bei x = -1.7 und bei x = 1.7 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Zu Graph Nr. 3:

Beim Graph Nr. 3 können wir bei x = -2 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 4 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 4 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 3 zeigen.

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph Nr. 4 können wir keine Punkte mit waagrechter Tangente finden.

Wir fassen also zusammen:

• Der Graph 3 zeigt die Ableitung vom Graph 1
• Der Graph 4 zeigt die Ableitung vom Graph 3
• Der Graph 2 scheint zu einer ganz anderen Funktion zu gehören.

Somit gilt:

Der Graph 1 gehört zur Funktion F(x).

Der Graph 2 gehört zur Funktion g(x).

Der Graph 3 gehört zur Funktion f(x).

Der Graph 4 gehört zur Funktion f '(x).