Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also $\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·\left(x-4\right)$.

Um den y-Achsenabschnitt S_y(0|-16) zu überprüfen, setzen wir jetzt einfach x=0 in unseren bisherigen Term ein:

f(0) = $\left(0-2\right)·\left(0-4\right)$ = $8$

Wir müssen somit unseren Term noch mit dem Koeffizienten $-2$ multiplizieren, damit wir den gegebenen y-Achsenabschnit erhalten:

f(0) = $-2·\left(0-2\right)·\left(0-4\right)$ = $-16$

Da also auch der y-Achsenabschnit passt, haben wir nun einen fertigen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-2\left(x-2\right)\left(x-4\right)$.

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^5+2x^4-15x^3$	=	0
$x^3\left(x^2+2x-15\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-5$; 0; $3$}

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$\text{f(x)}=$ $x^3·\left(x-3\right)·\left(x+5\right)$ = $x^5+2x^4-15x^3$

1. y-Wert bei t = 5

   Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=5. Wir berechnen also einfach f(5) = $20-13e^{-\mathrm{0,6}\cdot 5}$ = $-13e^{-3}+20$ ≈ 19.4

   
   
2. Verhalten für t gegen unendlich

   Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.

   Für t → ∞ ⇒ f(t)= $20-13e^{-\mathrm{0,6}t}$ → $20+0$

   Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen $20$.

3. Erster t-Wert bei y = 15

   Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=15 annimmt.

   Dazu setzen wir die Funktion einfach = 15 und lösen nach t auf:

   $20-13e^{-\mathrm{0,6}t}$ = $15$

   $-13e^{-\mathrm{0,6}t}+20$	=	$15$	| $-20$
   $-13e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$-5$	|:$-13$
   $e^{-\mathrm{0,6}t}$	=	$\frac{5}{13}$	|ln(⋅)
   $-\mathrm{0,6}t$	=	$\ln \left(\frac{5}{13}\right)$	|:$-\mathrm{0,6}$
   $t$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,6}}\ln \left(\frac{5}{13}\right)$	≈ 1.5925

   Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 15 annimmt, ist also nach 1.59 Jahre.

4. Bestand zur Zeit 3

   Gesucht ist ja der Bestands zur Zeit t=3 und weil ja f die Änderungsrate des Bestands angibt, kann der Bestands zur Zeit t=3 als Summe vom Anfangsbestand 4 und dem Integral $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-13e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$ berechnet werden.

   Wir berechenn also zuerst das Integral:

   $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(20-13e^{-\mathrm{0,6}t}\right)dt$$

   = ${\left[20x+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right]}_0^3$

   $=$ $20\cdot 3+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 3}-\left(20\cdot 0+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{0,6}\cdot 0}\right)$

   = $60+\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}-\left(0+\frac{65}{3}{e}^0\right)$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+60-\left(0+\frac{65}{3}\right)$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+60-\left(0+\frac{65}{3}\right)$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+60-\frac{65}{3}$

   = $\frac{65}{3}{e}^{-\mathrm{1,8}}+\frac{115}{3}$

   
   ≈ 41,915

   Jetzt haben wir den Zuwachs und müssen nur noch den Anfangsbestand addieren:
   B(3)≈ 4 + 41.915 = 45.915

   45.91 dm ist also der gesuchte Bestand zur Zeit t=3.

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Am Graph Nr. 1 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $-x^3$.

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion g(x) = $-\frac{1}{x^2}$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion h(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $e^x$ nähert sich für negative x-Werte der x-Achse an und wächst für positive x-Werte sehr schnell. Er schneidet die y-Achse im Punkt (0|1), da $e^0$ = 1.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion k(x) = $e^x$.

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion f(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion k(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion j(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion h(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 2:

Den Graph von $\frac{1}{x^2}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso größer wird der Funktionswert. Je weiter x sich von 0 entfernt, umso kleiner wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Im Gegensatz zu $\frac{1}{x}$ hat er sowohl für negative, als auch für positive x positive Funktionswerte. Er ist also achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse und enthält z.B. die Punkte (1|1) und (-1|1).

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion i(x) = $\frac{1}{x^2}$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion f(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion g(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Am Graph Nr. 2 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion j(x) = $-\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 4:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Am Graph Nr. 4 kann man all diese Eigenschaften erkennen, außer dass eben alle Punkte des Graphen noch an der x-Achse gespiegelt wurden.

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $-\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von $\frac{1}{x}$ erkennt man an den Asymptoten an den beiden Achsen. Es handelt sich um eine Hyperbel. Je näher x an 0 kommt, umso betragsmäßig größer wird der Funktionswert (weil ja x im Nenner steht). Je weiter x sich von 0 entfernt, umso betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert, weil ja der Nenner immer größer wird. Der Graph verläuft durch die Punkte (1|1) und (-1|-1), weil f(1) = $\frac{1}{1}$ = 1 und f(-1) = $\frac{1}{\mathrm{-1}}$ = -1. Im Gegensatz zu $\frac{1}{x^2}$ hat er für negative x-Werte negative Funktionswerte und für positive x-Werte positive Funktionswerte.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion j(x) = $\frac{1}{x}$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\ln \left(x\right)$ besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da $e^0$ = 1 und somit $\ln \left(1\right)$ = 0 ist.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion f(x) = $\ln \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion g(x) = $\sin \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\cos \left(x\right)$ schwingt zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Sinus startet der Kosinus für x=0 bei 1 (cos(0)=1). Im Einheitskreis rechts wird dies deutlich:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion h(x) = $\cos \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 1:

Den Graph von $x^3$ erkennt man an seinem Sattelpunkt und der immer größer werdenden Steigung, je weiter sich der Graph vom Ursprung entfernt. Er besitzt die Punkte (-2|-8), (-1|1), (0|0), (1|1), (2|8), usw.

Der Graph Nr. 1 gehört also zur Funktion g(x) = $x^3$.

Zu Graph Nr. 2:

Der Graph von $\ln \left(x\right)$ besitzt für negative x-Werte keine Funktionswerte, weil man den Logarithmus nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Für x → 0 streben die y-Werte gegen -∞. Der Graph nähert sich somit der negativen y-Achse asymptotisch an. Für positive x-Werte steigt er sehr langsam an. Er schneidet die x-Achse im Punkt (1|0), da $e^0$ = 1 und somit $\ln \left(1\right)$ = 0 ist.

Der Graph Nr. 2 gehört also zur Funktion h(x) = $\ln \left(x\right)$.

Zu Graph Nr. 3:

Der Graph von $\sqrt{x}$ hat im Bereich für negative x keine Funktionswerte. Er steigt zunächst sehr schnell, dann nimmt die Steigung aber ab. Er sieht aus wie eine halbe Parabel, die um 90° gedreht wurde. Er besitzt die Punkte (0|0), (1|1), (4|2), usw.

Der Graph Nr. 3 gehört also zur Funktion i(x) = $\sqrt{x}$.

Zu Graph Nr. 4:

Der Graph von $\sin \left(x\right)$ zwischen 1 und -1. Im Gegensatz zum Kosinus (cos(x)) startet der Sinus für x=0 im Ursprung O(0|0), was man am Einheitskreis rechts sehen kann:

Der Graph Nr. 4 gehört also zur Funktion f(x) = $\sin \left(x\right)$.

Der Graph von f(x -4) ist gegenüber dem Graph von f um 4 Einheiten nach rechts verschoben. Dementsprechend hat auch das Integral über f(x -4) den Wert 16, wenn man die Grenzen auch um 4 Einheiten nach rechts verschiebt. Die Integralgrenzen müssen also um 4 größer sein, als bei $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ , also 16 = $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = $$\underset{4}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x\; <mo>-</mo><mn>4</mn>)}dx$$ .

Somit gilt a = 4 und b = 5.

Wegen der Linearität des Integrals gilt $$\underset{4}{\overset{5}{\int }}\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\cdot f(x\; <mo>-</mo><mn>4</mn>)}dx$$ = $\frac{1}{4}$ ⋅ $$\underset{4}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x\; <mo>-</mo><mn>4</mn>)}dx$$

Somit gilt $$\underset{4}{\overset{5}{\int }}\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\cdot f(x\; <mo>-</mo><mn>4</mn>)}dx$$ = $\frac{1}{4}$⋅16 = 4

Man erkennt schnell, das keine Symmetrie zum Koordinatenssystem vorliegt, wenn nicht mindestens einer der Summanden von $\left(a-3\right)x^3+a{x}^2+\left(-a+3\right)x+a-1$ rausfällt, so dass nur noch gerade oder ungerade Summanden übrig bleiben.

Durch scharfes Hinsehen könnte man a = 3 erkennen. Man kann aber auch einfach bei jedem Summanden den Koeffizient anschauen und dann a so wählen, dass der Koeffizient = 0 wird:

• $\left(a-3\right)x^3$ wird 0 für a = 3 => f₃(x) = $\left(3-3\right)·x^3+3·x^2+\left(-3+3\right)·x+\left(3-1\right)·1$ = $3x^2+2$
• $a{x}^2$ wird 0 für a = 0 => f₀(x) = $\left(0-3\right)·x^3+0·x^2+\left(-0+3\right)·x+\left(0-1\right)·1$ = $-3x^3+3x-1$
• $\left(-a+3\right)x$ wird 0 für a = 3 => f₃(x) = $\left(3-3\right)·x^3+3·x^2+\left(-3+3\right)·x+\left(3-1\right)·1$ = $3x^2+2$
• $a-1$ wird 0 für a = 1 => f₁(x) = $\left(1-3\right)·x^3+1·x^2+\left(-1+3\right)·x+\left(1-1\right)·1$ = $-2x^3+x^2+2x$

Für a = 3 hat f₃(x) = $3x^2+2$ also nur gerade Summanden und ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse.

An der Abbildung kann man erkennen, dass die Geraden, die den Graph von f berühren, der spannende Grenzfall sind.

Da ja y = m⋅x für jedes m immer durch den Ursprung O(0|0) verläuft, suchen wir also eine Tangente (von außen) an den Graphen von f durch den Ursprung:

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(u-1\right)·\left(0-u\right)$ + $\frac{1}{2}{u}^2-u+\frac{25}{8}$

$-\left(u-1\right)u+\frac{1}{2}{u}^2-u+\frac{25}{8}$ = 0

$-u^2+u+\frac{1}{2}{u}^2-u+\frac{25}{8}$ = 0

$-\frac{1}{2}{u}^2+0+\frac{25}{8}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-\frac{1}{2}{u}^2+0+\frac{25}{8}$	=	0
$-\frac{1}{2}{u}^2+\frac{25}{8}$	=	0	| $-\frac{25}{8}$
$-\frac{1}{2}{u}^2$	=	$-\frac{25}{8}$	|⋅ $\left(-2\right)$
$u^2$	=	$\frac{25}{4}$	|
u1	=	$-\sqrt{\frac{25}{4}}$	= $-\frac{5}{2}$
u2	=	$\sqrt{\frac{25}{4}}$	= $\frac{5}{2}$

L={ $-\frac{5}{2}$; $\frac{5}{2}$}

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x = $-\frac{5}{2}$ in die Ableitung $\text{f'(x)}=$ $x-1+0$ ein:
$\text{m = f'(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{5}{2}-1+0$
= $-\frac{5}{2}-1$
= $-\frac{7}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gefundenen Wert x = $\frac{5}{2}$ in die Ableitung $\text{f'(x)}=$ $x-1+0$ ein:
$\text{m = f'(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ $\frac{5}{2}-1+0$
= $\frac{5}{2}-1$
= $\frac{3}{2}$

Man kann jetzt an der Abbildung gut erkennen, für m = $-\frac{7}{2}$ bzw. für m = $\frac{3}{2}$ die Gerade y = m⋅x den Graphen der Funktion berührt und somit nur einen gemeinamen Punkt mit dem Graph von f hat.

Wird die Gerade steiler, also für m > $\frac{3}{2}$ oder für m < $-\frac{7}{2}$, schneidet die Gerade den Graph von f in zwei Punkten.

Wird die Geraden weniger steil, also für also für $-\frac{7}{2}$ < m < $\frac{3}{2}$, hat die Gerade mit dem Graph von f gar keine gemeinsame Punkte.

Die richtige Lösung wäre hier also: m < $-\frac{7}{2}$ oder m > $\frac{3}{2}$

Als Vorgehensweise empfiehlt es sich, die markanten Punkte in Bezug auf die Ableitung, also Punkte mit waagrechter Tangente wie z.B. Hoch- und Tiefpunkte, bei den einzelnen Graphen zu betrachten.

Zu Graph Nr. 1:

Beim Graph Nr. 1 können wir bei x = -1.7 und bei x = 1.7 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 4 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 4 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 1 zeigen.

Zu Graph Nr. 2:

Beim Graph Nr. 2 können wir keine Punkte mit waagrechter Tangente finden.

Zu Graph Nr. 3:

Beim Graph Nr. 3 können wir bei x = -3, x = -1.5 und bei x = 0 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Zu Graph Nr. 4:

Beim Graph Nr. 4 können wir bei x = 0 Punkte mit waagrechter Tangente erkennen.

Da ja genau an diesen Stellen der Graph 2 seine Nullstellen hat, könnte der Graph 2 die Ableitungsfunktion der Funktion vom Graph 4 zeigen.

Wir fassen also zusammen:

• Der Graph 4 zeigt die Ableitung vom Graph 1
• Der Graph 2 zeigt die Ableitung vom Graph 4
• Der Graph 3 scheint zu einer ganz anderen Funktion zu gehören.

Somit gilt:

Der Graph 1 gehört zur Funktion F(x).

Der Graph 2 gehört zur Funktion f '(x).

Der Graph 3 gehört zur Funktion g(x).

Der Graph 4 gehört zur Funktion f(x).