$\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(2x+1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(2x+1\right)·\left(2+0\right)$

= $-3\cdot \sin \left(2x+1\right)·\left(2\right)$

= $-6\cdot \sin \left(2x+1\right)$

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{\frac{3}{4}x+3}$

= $3{\left(\frac{3}{4}x+3\right)}^{-1}$

=> f'(x) = $-3{\left(\frac{3}{4}x+3\right)}^{-2}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{{\left(\frac{3}{4}x+3\right)}^2}·\left(\frac{3}{4}+0\right)$

= $-\frac{3}{{\left(\frac{3}{4}x+3\right)}^2}·\left(\frac{3}{4}\right)$

= $-\frac{9}{4{\left(\frac{3}{4}x+3\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $-2{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^5$

$\text{f'(x)}=$ $-10{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)+0\right)$

= $-10{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^4·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $10{\left(\cos \left(x\right)+1\right)}^4·\sin \left(x\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0) = g(f(0)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(0) = g(f(0)) = g(0) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = -2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|-2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
-2 = g(0)
Wegen -2 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-3|0) und Q₂(1|0), also bei
x₁ = -3 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-2)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-2)) = f($-2$) = 0.

Wir können der Zeichnung rechts f(-3) = 3 entnehmen.

Also gilt h(-3) = g(f(-3)) = g(3)

g(3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-3) = g(f(-3)) = g(3) = 2.

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^3-x^2\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-9x^2-2x\right)·\sin \left(x\right)+\left(-3x^3-x^2\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2+3\right)·\sqrt{2x+2}$

= $\left(x^2+3\right)·{\left(2x+2\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(2x+0\right)·{\left(2x+2\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(x^2+3\right)·\frac{1}{2}{\left(2x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sqrt{2x+2}+\left(x^2+3\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+2}}·\left(2+0\right)$

= $2x·\sqrt{2x+2}+\left(x^2+3\right)·\frac{1}{2\cdot \sqrt{2x+2}}·\left(2\right)$

= $2x\sqrt{2x+2}+\left(x^2+3\right)·\frac{1}{\sqrt{2x+2}}$

= $2x\sqrt{2x+2}+\frac{x^2+3}{\sqrt{2x+2}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{-3x^2+3}$

= $-3{\left(-3x^2+3\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(-3x^2+3\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\sqrt{-3x^2+3}}·\left(-6x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\sqrt{-3x^2+3}}·\left(-6x\right)$

= $9\frac{x}{\sqrt{-3x^2+3}}$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-4$)⋅g(x) + ( $x^2-4x-5$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.