$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(-3x-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-3x-4\right)}^3·\left(-3+0\right)$

= $3{\left(-3x-4\right)}^3·\left(-3\right)$

= $-9{\left(-3x-4\right)}^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-x-4\right)}^2}$

= $2{\left(-x-4\right)}^{-2}$

=> f'(x) = $-4{\left(-x-4\right)}^{-3}·\left(-1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(-x-4\right)}^3}·\left(-1+0\right)$

= $-\frac{4}{{\left(-x-4\right)}^3}·\left(-1\right)$

= $\frac{4}{{\left(-x-4\right)}^3}$

$\text{f(x)}=$ $-2\sqrt{2x-4}$

= $-2{\left(2x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-{\left(2x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{\sqrt{2x-4}}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{1}{\sqrt{2x-4}}·\left(2\right)$

= $-\frac{2}{\sqrt{2x-4}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(2) = 2 entnehmen.

Also gilt h(2) = g(f(2)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(2) = g(f(2)) = g(2) = 1.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 4 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|4), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
4 = g(-2)
Wegen 4 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($0$) = $-1$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|3) und Q₂(3|3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

$\text{f(x)}=$ $\left(5x-4\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(5+0\right)·\sin \left(x\right)+\left(5x-4\right)·\cos \left(x\right)$

= $5\cdot \sin \left(x\right)+\left(5x-4\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-7\right)·\sqrt{-3x-4}$

= $\left(x-7\right)·{\left(-3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(1+0\right)·{\left(-3x-4\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(x-7\right)·\frac{1}{2}{\left(-3x-4\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-3+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\sqrt{-3x-4}+\left(x-7\right)·\frac{1}{2\sqrt{-3x-4}}·\left(-3+0\right)$

= $\sqrt{-3x-4}+\left(x-7\right)·\frac{1}{2\sqrt{-3x-4}}·\left(-3\right)$

= $\sqrt{-3x-4}+\left(x-7\right)·\left(-\frac{3}{2\sqrt{-3x-4}}\right)$

= $\sqrt{-3x-4}-\frac{3}{2}\frac{x-7}{\sqrt{-3x-4}}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(x+4\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x\right)+\left(x+4\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\cos \left(-3x\right)+3\left(x+4\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = 0 und bei x = 4 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 2, (also gilt g '(2) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 2 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(2) = f'(g(2))⋅g'(2) = f'(g(2))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 4, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( 4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.