$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{2}{3}x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{2}{3}x-5\right)·\left(\frac{2}{3}+0\right)$

= $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{2}{3}x-5\right)·\left(\frac{2}{3}\right)$

= $\frac{1}{3}\cdot \sin \left(\frac{2}{3}x-5\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt{x-5}$

= $-\frac{1}{2}{\left(x-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{\left(x-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{x-5}}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{1}{4\sqrt{x-5}}·\left(1\right)$

= $-\frac{1}{4\sqrt{x-5}}$

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x^3+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x^3+4\right)·\left(3x^2+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(x^3+4\right)·\left(3x^2\right)$

= $-6\sin \left(x^3+4\right)x^2$

= $-6x^2·\sin \left(x^3+4\right)$

Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = 1 entnehmen.

Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(1)

g(1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(1) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(3)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|3) und Q₂(3|3), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 3

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($0$) = $1$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(2|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(2)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(2) gilt also f(x) = 2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(3|2) und Q₂(-1|2), also bei
x₁ = 3 und x₂ = -1

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^3-x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(15x^2-1\right)·\cos \left(x\right)+\left(5x^3-x\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)$

= $\left(15x^2-1\right)·\cos \left(x\right)-\left(5x^3-x\right)·\sin \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^2-1\right)·\sqrt{x-1}$

= $\left(x^2-1\right)·{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\left(2x+0\right)·{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}+\left(x^2-1\right)·\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·\sqrt{x-1}+\left(x^2-1\right)·\frac{1}{2\sqrt{x-1}}·\left(1+0\right)$

= $2x·\sqrt{x-1}+\left(x^2-1\right)·\frac{1}{2\sqrt{x-1}}·\left(1\right)$

= $2x\sqrt{x-1}+\left(x^2-1\right)·\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

= $2x\sqrt{x-1}+\frac{1}{2}\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}$

$\text{f(x)}=$ ${\left(-x^3+5\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-x^3+5\right)·\left(-3x^2+0\right)$

= $2\left(-x^3+5\right)·\left(-3x^2\right)$

= $-6\left(-x^3+5\right)x^2$

= $-6x^2\left(-x^3+5\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -1 und bei x = 3 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 1, (also gilt g '(1) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 1 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(1) = f'(g(1))⋅g'(1) = f'(g(1))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 1 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 1 Schnittpunkts sind.

Das heißt, dass dieser 1 x-Wert dieses Schnittpunkts alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(3)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = 3 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( 3) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = 3 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = 3, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( 3) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.