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Aufgabenbeispiele von umwandeln in Scheitelform

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -3x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -3x = 0
x ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={0; 3 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3 x 2 +9x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

3 x 2 +9x = 0
3 x ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

L={ -3 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -3+0 2 = -1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1.5|f(-1.5)) mit f(-1.5) = 3⋅ ( -1,5 ) 2 +9⋅( -1,5 ) = 6,75 -13,5 = -6.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-3 und x2=0 , Scheitel: S(-1.5|-6.75).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -6x -1 .

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1. Weg

x 2 -6x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -6x +9 -9 -1

= ( x -3 ) 2 -9 -1

= ( x -3 ) 2 -10

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-10).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -6x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|f(3)).

f(3) = 3 2 -6⋅3 -1 = 9 -18 -1 = -10

also: S(3|-10).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 + x +5 .

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1. Weg

1 2 x 2 + x +5

= 1 2 ( x 2 +2x ) +5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +2x +1 -1 ) +5

= 1 2 ( x 2 +2x +1 ) + 1 2 · ( -1 ) +5

= 1 2 ( x +1 ) 2 - 1 2 +5

= 1 2 ( x +1 ) 2 + 9 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|4.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 + x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 + x +5 nur um 5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 + x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 + x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 + x ) = 0
x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = 1 2 ⋅ ( -1 ) 2 -1 +5 = 1 2 -1 +5 = 4.5

also: S(-1|4.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 300 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

- x 2 +150x

= -( x 2 -150x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -150x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -150x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -75 zu 5625. Diese 5625 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 5625, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -150x +5625 -5625 )

= -( x 2 -150x +5625 ) -1 · ( -5625 )

= - ( x -75 ) 2 +5625

= - ( x -75 ) 2 +5625

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(75|5625).


2. Weg

Von - x 2 +150x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +150x = 0
x ( -x +150 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +150 = 0 | -150
-x = -150 |:(-1 )
x2 = 150

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(75|f(75)).

f(75) = - 75 2 +150⋅75 = -5625 +11250 = 5625

also: S(75|5625).


Für x=75 bekommen wir also mit 5625 einen extremalen Wert von - x 2 +150x