Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 2 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 7 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 7 + 3=12

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 2 12 = 1 6

ev: p= 7 12

Eth: p= 3 12 = 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 2 gelbe, 4 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 4 15 ; "nicht blau": 11 15 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 121 225 = 104 225

EreignisP
blau -> blau 16 225
blau -> nicht blau 44 225
nicht blau -> blau 44 225
nicht blau -> nicht blau 121 225

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 4 15 ; nicht blau: 11 15 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'nicht blau' (P= 44 225 )
  • 'nicht blau'-'blau' (P= 44 225 )
  • 'blau'-'blau' (P= 16 225 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

44 225 + 44 225 + 16 225 = 104 225


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 25 64
1 -> 2 5 64
1 -> 3 5 64
1 -> 4 5 64
2 -> 1 5 64
2 -> 2 1 64
2 -> 3 1 64
2 -> 4 1 64
3 -> 1 5 64
3 -> 2 1 64
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 5 64
4 -> 2 1 64
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 5 8 ; 2: 1 8 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 5 64 )
  • '4'-'1' (P= 5 64 )
  • '2'-'3' (P= 1 64 )
  • '3'-'2' (P= 1 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 64 + 5 64 + 1 64 + 1 64 = 3 16


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 7 24
rot -> rot -> blau 7 40
rot -> blau -> rot 7 40
rot -> blau -> blau 7 120
blau -> rot -> rot 7 40
blau -> rot -> blau 7 120
blau -> blau -> rot 7 120
blau -> blau -> blau 1 120

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 10 ; blau: 3 10 ;

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'rot'-'rot'-'blau' (P= 7 40 )
'rot'-'blau'-'rot' (P= 7 40 )
'blau'-'rot'-'rot' (P= 7 40 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 40 + 7 40 + 7 40 = 21 40


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 10 Karten der Farbe Kreuz, 5 der Farbe Pik, 8 der Farbe Herz und 7 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 3 29
Kreuz -> Pik 5 87
Kreuz -> Herz 8 87
Kreuz -> Karo 7 87
Pik -> Kreuz 5 87
Pik -> Pik 2 87
Pik -> Herz 4 87
Pik -> Karo 7 174
Herz -> Kreuz 8 87
Herz -> Pik 4 87
Herz -> Herz 28 435
Herz -> Karo 28 435
Karo -> Kreuz 7 87
Karo -> Pik 7 174
Karo -> Herz 28 435
Karo -> Karo 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 1 3 ; Pik: 1 6 ; Herz: 4 15 ; Karo: 7 30 ;

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'Kreuz'-'Pik' (P= 5 87 )
'Pik'-'Kreuz' (P= 5 87 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 87 + 5 87 = 10 87


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 27 2 26 1 25 24 24
= 1 9 1 13 1 25 4 4
= 1 2925

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nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; 4: 1 6 ; 5: 1 6 ; 6: 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '4'-'6' (P= 1 36 )
  • '6'-'4' (P= 1 36 )
  • '5'-'5' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 12


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 3 190
Kreuz -> Herz 3 95
Kreuz -> Pik 21 380
Kreuz -> Karo 9 190
Herz -> Kreuz 3 95
Herz -> Herz 3 95
Herz -> Pik 7 95
Herz -> Karo 6 95
Pik -> Kreuz 21 380
Pik -> Herz 7 95
Pik -> Pik 21 190
Pik -> Karo 21 190
Karo -> Kreuz 9 190
Karo -> Herz 6 95
Karo -> Pik 21 190
Karo -> Karo 3 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 3 20 ; Herz: 1 5 ; Pik: 7 20 ; Karo: 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 3 190 )
'Herz'-'Herz' (P= 3 95 )
'Pik'-'Pik' (P= 21 190 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 190 + 3 95 + 21 190 + 3 38 = 9 38


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 12 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 12 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1320 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 3 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 8 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 8 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 3 ⋅ 8 = 72 Möglichkeiten ergeben.