Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 4 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 3 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 3 + 3=10

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 4 10 = 2 5

ev: p= 3 10

Eth: p= 3 10

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": 1 3 ; "nicht 3er-Zahl": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- 4 9 = 5 9

EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 9
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 9
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er-Zahl: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= 2 9 )
  • 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 9 )
  • '3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 1 9 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 + 2 9 + 1 9 = 5 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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EreignisP
Teiler -> Teiler -> Teiler 8 27
Teiler -> Teiler -> kein Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> Teiler -> Teiler 4 27
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 1 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: 2 3 ; kein Teiler: 1 3 ;

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  • 'Teiler'-'Teiler'-'kein Teiler' (P= 4 27 )
  • 'Teiler'-'kein Teiler'-'Teiler' (P= 4 27 )
  • 'kein Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= 4 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 27 + 4 27 + 4 27 = 4 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 2 blaue , 9 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

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EreignisP
rot -> rot 1 19
rot -> blau 1 38
rot -> gelb 9 76
rot -> schwarz 1 19
blau -> rot 1 38
blau -> blau 1 190
blau -> gelb 9 190
blau -> schwarz 2 95
gelb -> rot 9 76
gelb -> blau 9 190
gelb -> gelb 18 95
gelb -> schwarz 9 95
schwarz -> rot 1 19
schwarz -> blau 2 95
schwarz -> gelb 9 95
schwarz -> schwarz 3 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 4 ; blau: 1 10 ; gelb: 9 20 ; schwarz: 1 5 ;

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'rot'-'gelb' (P= 9 76 )
'gelb'-'rot' (P= 9 76 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 76 + 9 76 = 9 38


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Karten der Farbe Kreuz, 9 der Farbe Pik, 3 der Farbe Herz und 3 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"?

Lösung einblenden
EreignisP
Kreuz -> Kreuz 3 23
Kreuz -> Pik 27 184
Kreuz -> Herz 9 184
Kreuz -> Karo 9 184
Pik -> Kreuz 27 184
Pik -> Pik 3 23
Pik -> Herz 9 184
Pik -> Karo 9 184
Herz -> Kreuz 9 184
Herz -> Pik 9 184
Herz -> Herz 1 92
Herz -> Karo 3 184
Karo -> Kreuz 9 184
Karo -> Pik 9 184
Karo -> Herz 3 184
Karo -> Karo 1 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 3 8 ; Pik: 3 8 ; Herz: 1 8 ; Karo: 1 8 ;

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'Kreuz'-'Pik' (P= 27 184 )
'Pik'-'Kreuz' (P= 27 184 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

27 184 + 27 184 = 27 92


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 5.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 16 3 15 2 14 1 13 12 12
= 1 2 1 5 1 7 1 13 1 2
= 1 1820

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

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Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": 2 5 ; "nicht 7": 3 5 ;

EreignisP
7 -> 7 2 15
7 -> nicht 7 4 15
nicht 7 -> 7 4 15
nicht 7 -> nicht 7 1 3

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 2 5 ; nicht 7: 3 5 ;

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'7'-'7' (P= 2 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 15 = 2 15


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; 4: 1 6 ; 5: 1 6 ; 6: 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'6' (P= 1 36 )
  • '6'-'1' (P= 1 36 )
  • '2'-'5' (P= 1 36 )
  • '5'-'2' (P= 1 36 )
  • '3'-'4' (P= 1 36 )
  • '4'-'3' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 6


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 10 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 10 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 10-fach verzweigt.

Es entstehen so also 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 = 10000 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 4-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 4 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

Lösung einblenden

Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 64 = 1296 Möglichkeiten.