Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 7 Asse, 5 Könige, 4 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 5 + 4 + 4=20
Hieraus ergibt sich für ...
Ass: p=
König: p= =
Dame: p= =
Bube: p= =
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?
| Ereignis | P |
|---|---|
| prim -> prim | |
| prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> prim | |
| nicht prim -> nicht prim |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: ; nicht prim: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'prim' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot und 4 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot -> rot | |
| rot -> rot -> blau | |
| rot -> blau -> rot | |
| rot -> blau -> blau | |
| blau -> rot -> rot | |
| blau -> rot -> blau | |
| blau -> blau -> rot | |
| blau -> blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; blau: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'rot'-'rot'-'rot' (P=)
- 'blau'-'blau'-'blau' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer 8-ten Klasse gibt es 5 Schüler mit NWT-Profil, 8 Schüler mit sprachlichem Profil, 3 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?
Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": ; "nicht NWT": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'NWT')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| NWT -> NWT | |
| NWT -> nicht NWT | |
| nicht NWT -> NWT | |
| nicht NWT -> nicht NWT |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: ; nicht NWT: ;
Die relevanten Pfade sind:
'NWT'-'nicht NWT' (P=)
'nicht NWT'-'NWT' (P=)
'NWT'-'NWT' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot -> rot | |
| rot -> rot -> blau | |
| rot -> blau -> rot | |
| rot -> blau -> blau | |
| blau -> rot -> rot | |
| blau -> rot -> blau | |
| blau -> blau -> rot | |
| blau -> blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; blau: ;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot'-'blau' (P=)
'rot'-'blau'-'rot' (P=)
'blau'-'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 7 -> 7 | |
| 7 -> 8 | |
| 7 -> 9 | |
| 8 -> 7 | |
| 8 -> 8 | |
| 8 -> 9 | |
| 9 -> 7 | |
| 9 -> 8 | |
| 9 -> 9 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: ; 8: ; 9: ;
Die relevanten Pfade sind:
'7'-'9' (P=)
'9'-'7' (P=)
'8'-'8' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> kein Teiler | |
| kein Teiler -> Teiler | |
| kein Teiler -> kein Teiler |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: ; kein Teiler: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'kein Teiler'-'kein Teiler' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Ein spezielles Zahlenschloss hat 3 Ringe mit jeweils 4 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?
Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 4-fach verzweigt.
Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 = 64 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 2 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 7 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?
Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 2 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 2 = 6 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 7 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 2 ⋅ 7 = 42 Möglichkeiten ergeben.
