Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 7 Asse, 5 Könige, 4 Damen, und 4 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 5 + 4 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 7 20

König: p= 5 20 = 1 4

Dame: p= 4 20 = 1 5

Bube: p= 4 20 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'nicht 3er'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= 8 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 27 = 8 27


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 7 gelbe, 9 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

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EreignisP
rot -> rot 9 100
rot -> blau 9 100
rot -> gelb 7 100
rot -> schwarz 1 20
blau -> rot 9 100
blau -> blau 9 100
blau -> gelb 7 100
blau -> schwarz 1 20
gelb -> rot 7 100
gelb -> blau 7 100
gelb -> gelb 49 900
gelb -> schwarz 7 180
schwarz -> rot 1 20
schwarz -> blau 1 20
schwarz -> gelb 7 180
schwarz -> schwarz 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 10 ; blau: 3 10 ; gelb: 7 30 ; schwarz: 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'gelb' (P= 7 100 )
  • 'gelb'-'rot' (P= 7 100 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 100 + 7 100 = 7 50


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

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EreignisP
Ass -> Ass 1 28
Ass -> König 1 14
Ass -> Dame 1 7
König -> Ass 1 14
König -> König 1 28
König -> Dame 1 7
Dame -> Ass 1 7
Dame -> König 1 7
Dame -> Dame 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: 1 4 ; König: 1 4 ; Dame: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Ass'-'Dame' (P= 1 7 )
'Dame'-'Ass' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 10 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 28 435
Kreuz -> Herz 8 87
Kreuz -> Pik 4 87
Kreuz -> Karo 28 435
Herz -> Kreuz 8 87
Herz -> Herz 3 29
Herz -> Pik 5 87
Herz -> Karo 7 87
Pik -> Kreuz 4 87
Pik -> Herz 5 87
Pik -> Pik 2 87
Pik -> Karo 7 174
Karo -> Kreuz 28 435
Karo -> Herz 7 87
Karo -> Pik 7 174
Karo -> Karo 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 4 15 ; Herz: 1 3 ; Pik: 1 6 ; Karo: 7 30 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 28 435 )
'Herz'-'Herz' (P= 3 29 )
'Pik'-'Pik' (P= 2 87 )
'Karo'-'Karo' (P= 7 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

28 435 + 3 29 + 2 87 + 7 145 = 104 435


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 22
1 -> 2 5 44
1 -> 3 1 11
2 -> 1 5 44
2 -> 2 5 33
2 -> 3 5 33
3 -> 1 1 11
3 -> 2 5 33
3 -> 3 1 11

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 4 ; 2: 5 12 ; 3: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'1'-'3' (P= 1 11 )
'3'-'1' (P= 1 11 )
'2'-'2' (P= 5 33 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 11 + 1 11 + 5 33 = 1 3


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Petra hat sich ein 5-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 5 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 4 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 6 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

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Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 Möglichkeiten.