Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 8 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 9 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 9 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 8 20 = 2 5

ev: p= 9 20

Eth: p= 3 20

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": 1 2 ; "nicht prim": 1 2 ;

EreignisP
prim -> prim -> prim 1 8
prim -> prim -> nicht prim 1 8
prim -> nicht prim -> prim 1 8
prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> prim -> prim 1 8
nicht prim -> prim -> nicht prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> prim 1 8
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
  • 'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )
  • 'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P= 1 8 )
  • 'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 1 2


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 2 5 ; "nicht blau": 3 5 ;

EreignisP
blau -> blau -> blau 8 125
blau -> blau -> nicht blau 12 125
blau -> nicht blau -> blau 12 125
blau -> nicht blau -> nicht blau 18 125
nicht blau -> blau -> blau 12 125
nicht blau -> blau -> nicht blau 18 125
nicht blau -> nicht blau -> blau 18 125
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau 27 125

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 2 5 ; nicht blau: 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= 12 125 )
  • 'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= 12 125 )
  • 'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= 12 125 )
  • 'blau'-'blau'-'blau' (P= 8 125 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

12 125 + 12 125 + 12 125 + 8 125 = 44 125


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften mindestens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": 1 4 ; "nicht deutsch": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal deutsch' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'deutsch' bzw. 0 mal 'deutsch'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'deutsch')=1- 11 28 = 17 28

EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch 3 70
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: 1 4 ; nicht deutsch: 3 4 ;

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'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 11 70 )
'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 1 140 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

11 70 + 11 70 + 11 70 + 3 70 + 3 70 + 3 70 + 1 140 = 17 28


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 7 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": 7 10 ; "nicht Mädchen": 3 10 ;

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 7 24
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 7 40
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 7 40
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 7 120
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 7 40
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 7 120
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 7 120
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 1 120

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 7 10 ; nicht Mädchen: 3 10 ;

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'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 7 40 )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 7 40 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 7 40 )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 7 24 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 40 + 7 40 + 7 40 + 7 24 = 49 60


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 21 2 20 1 19 18 18
= 1 7 1 10 1 19 3 3
= 1 1330

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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EreignisP
13 -> 13 15 77
13 -> 14 50 231
13 -> 15 10 231
14 -> 13 50 231
14 -> 14 15 77
14 -> 15 10 231
15 -> 13 10 231
15 -> 14 10 231
15 -> 15 1 231

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: 5 11 ; 14: 5 11 ; 15: 1 11 ;

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'13'-'14' (P= 50 231 )
'14'-'13' (P= 50 231 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

50 231 + 50 231 = 100 231


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 7 Kugeln mit einer Zwei, 9 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

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EreignisP
1 -> 1 1 276
1 -> 2 7 276
1 -> 3 3 92
1 -> 4 1 46
2 -> 1 7 276
2 -> 2 7 92
2 -> 3 21 184
2 -> 4 7 92
3 -> 1 3 92
3 -> 2 21 184
3 -> 3 3 23
3 -> 4 9 92
4 -> 1 1 46
4 -> 2 7 92
4 -> 3 9 92
4 -> 4 5 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 12 ; 2: 7 24 ; 3: 3 8 ; 4: 1 4 ;

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'1'-'2' (P= 7 276 )
'2'-'1' (P= 7 276 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 276 + 7 276 = 7 138


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 4 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 4-fach verzweigt.

Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 44 = 256 Möglichkeiten.