Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 blaue, 4 grüne, 4 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 4 + 4 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{2}{15}$

grün: p= $\frac{4}{15}$

gelb: p= $\frac{4}{15}$

rot: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$ ; nicht prim: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal B"?

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Da ja ausschließlich nach 'B' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'B' und 'nicht B'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"B": $\frac{1}{4}$ ; "nicht B": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal B' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'B'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'B')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ereignis	P
B -> B	$\frac{1}{16}$
B -> nicht B	$\frac{3}{16}$
nicht B -> B	$\frac{3}{16}$
nicht B -> nicht B	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: B: $\frac{1}{4}$ ; nicht B: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'B'-'nicht B' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht B'-'B' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht B'-'nicht B' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{9}{16}$ = $\frac{15}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 7 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 8 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{138}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{69}$
Kreuz -> Karo	$\frac{35}{552}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{138}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{46}$
Herz -> Pik	$\frac{4}{69}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{138}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{69}$
Pik -> Herz	$\frac{4}{69}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{69}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{69}$
Karo -> Kreuz	$\frac{35}{552}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{138}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{69}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{7}{24}$ ; Herz: $\frac{1}{6}$ ; Pik: $\frac{1}{3}$ ; Karo: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{46}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ + $\frac{1}{46}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{65}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 9 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{276}$
1 -> 2	$\frac{3}{92}$
1 -> 3	$\frac{2}{69}$
1 -> 4	$\frac{5}{276}$
2 -> 1	$\frac{3}{92}$
2 -> 2	$\frac{3}{23}$
2 -> 3	$\frac{3}{23}$
2 -> 4	$\frac{15}{184}$
3 -> 1	$\frac{2}{69}$
3 -> 2	$\frac{3}{23}$
3 -> 3	$\frac{7}{69}$
3 -> 4	$\frac{5}{69}$
4 -> 1	$\frac{5}{276}$
4 -> 2	$\frac{15}{184}$
4 -> 3	$\frac{5}{69}$
4 -> 4	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{12}$ ; 2: $\frac{3}{8}$ ; 3: $\frac{1}{3}$ ; 4: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{3}{92}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{3}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{92}$ + $\frac{3}{92}$ = $\frac{3}{46}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 6 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{6}{7}$
= $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{3}{7}$
= $\frac{3}{14}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{15}$
1 -> 2	$\frac{16}{105}$
1 -> 3	$\frac{4}{35}$
2 -> 1	$\frac{16}{105}$
2 -> 2	$\frac{2}{35}$
2 -> 3	$\frac{2}{35}$
3 -> 1	$\frac{4}{35}$
3 -> 2	$\frac{2}{35}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{8}{15}$ ; 2: $\frac{4}{15}$ ; 3: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{2}{35}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{4}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{24}{24}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{2925}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 8 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 8 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 8 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁸ = 256 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.

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Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 6² = 36 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'B')=1- 1 16 = 15 16

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik

P=1-P(2 mal 'B')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$