Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= $\frac{1}{2}$

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= $\frac{3}{8}$

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= $\frac{1}{8}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$ ; nicht prim: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{2}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{5}{64}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{21}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{9}{220}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: $\frac{3}{4}$ ; Jungs: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{220}$ = $\frac{1}{220}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 5 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{5}{138}$
1 -> 2	$\frac{5}{69}$
1 -> 3	$\frac{25}{552}$
1 -> 4	$\frac{5}{92}$
2 -> 1	$\frac{5}{69}$
2 -> 2	$\frac{7}{69}$
2 -> 3	$\frac{5}{69}$
2 -> 4	$\frac{2}{23}$
3 -> 1	$\frac{25}{552}$
3 -> 2	$\frac{5}{69}$
3 -> 3	$\frac{5}{138}$
3 -> 4	$\frac{5}{92}$
4 -> 1	$\frac{5}{92}$
4 -> 2	$\frac{2}{23}$
4 -> 3	$\frac{5}{92}$
4 -> 4	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{5}{24}$ ; 2: $\frac{1}{3}$ ; 3: $\frac{5}{24}$ ; 4: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{69}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{69}$ + $\frac{5}{69}$ = $\frac{10}{69}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{2}$
= $\frac{7}{330}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{25}$
1 -> 2	$\frac{4}{25}$
1 -> 3	$\frac{2}{25}$
2 -> 1	$\frac{4}{25}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{2}{25}$
3 -> 1	$\frac{2}{25}$
3 -> 2	$\frac{2}{25}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{2}{5}$ ; 2: $\frac{2}{5}$ ; 3: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{2}{25}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{2}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{25}$ + $\frac{2}{25}$ = $\frac{4}{25}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Petra hat sich ein 8-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 8 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 19 ⋅ 18 = 342 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2 ⋅ 1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 342 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{342}{2}$ = 171 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerin) gebildet werden.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen mit Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik