Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 3 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 7 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 3 + 7 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

ev: p= $\frac{7}{15}$

Eth: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ = $\frac{2}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$ ; nicht prim: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 4 blaue , 2 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{6}$ ; "nicht rot": $\frac{5}{6}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{66}$
rot -> nicht rot	$\frac{5}{33}$
nicht rot -> rot	$\frac{5}{33}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{15}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{6}$ ; nicht rot: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{66}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{66}$ = $\frac{1}{66}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 10 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{28}{435}$
Kreuz -> Herz	$\frac{32}{435}$
Kreuz -> Pik	$\frac{8}{87}$
Kreuz -> Karo	$\frac{16}{435}$
Herz -> Kreuz	$\frac{32}{435}$
Herz -> Herz	$\frac{28}{435}$
Herz -> Pik	$\frac{8}{87}$
Herz -> Karo	$\frac{16}{435}$
Pik -> Kreuz	$\frac{8}{87}$
Pik -> Herz	$\frac{8}{87}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{29}$
Pik -> Karo	$\frac{4}{87}$
Karo -> Kreuz	$\frac{16}{435}$
Karo -> Herz	$\frac{16}{435}$
Karo -> Pik	$\frac{4}{87}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{4}{15}$ ; Herz: $\frac{4}{15}$ ; Pik: $\frac{1}{3}$ ; Karo: $\frac{2}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{28}{435}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{28}{435}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{435}$ + $\frac{28}{435}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{2}{145}$ = $\frac{107}{435}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{10}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{9}$
1 -> 2	$\frac{1}{9}$
1 -> 3	$\frac{1}{9}$
2 -> 1	$\frac{1}{9}$
2 -> 2	$\frac{1}{9}$
2 -> 3	$\frac{1}{9}$
3 -> 1	$\frac{1}{9}$
3 -> 2	$\frac{1}{9}$
3 -> 3	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{3}$ ; 2: $\frac{1}{3}$ ; 3: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{9}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{9}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 7 blaue , 4 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{19}$
rot -> blau	$\frac{7}{76}$
rot -> gelb	$\frac{1}{19}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{19}$
blau -> rot	$\frac{7}{76}$
blau -> blau	$\frac{21}{190}$
blau -> gelb	$\frac{7}{95}$
blau -> schwarz	$\frac{7}{95}$
gelb -> rot	$\frac{1}{19}$
gelb -> blau	$\frac{7}{95}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{95}$
gelb -> schwarz	$\frac{4}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{19}$
schwarz -> blau	$\frac{7}{95}$
schwarz -> gelb	$\frac{4}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{4}$ ; blau: $\frac{7}{20}$ ; gelb: $\frac{1}{5}$ ; schwarz: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{1}{19}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{2}{19}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 8 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik