Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Asse, 4 Könige, 8 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 4 + 8 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

König: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

Dame: p= $\frac{8}{24}$ = $\frac{1}{3}$

Bube: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = $\frac{4}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{3}{8}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{64}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{64}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{15}{64}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 7 Schüler mit sprachlichem Profil, 9 Schüler mit Musik-Profil und 7 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{30}$ ; "nicht NWT": $\frac{23}{30}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{145}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{161}{870}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{161}{870}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{253}{435}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{7}{30}$ ; nicht NWT: $\frac{23}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{253}{435}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{253}{435}$ = $\frac{253}{435}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal König"?

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Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{3}$ ; "nicht König": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
König -> König	$\frac{1}{11}$
König -> nicht König	$\frac{8}{33}$
nicht König -> König	$\frac{8}{33}$
nicht König -> nicht König	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: König: $\frac{1}{3}$ ; nicht König: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{8}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{33}$ + $\frac{8}{33}$ = $\frac{16}{33}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{18}{20}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{6}{20}$
= $\frac{9}{70}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{1}{11}$ ; "nicht 15": $\frac{10}{11}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{1}{231}$
15 -> nicht 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{190}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 15: $\frac{1}{11}$ ; nicht 15: $\frac{10}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{1}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{231}$ = $\frac{1}{231}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 5 blaue , 8 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{8}{25}$ ; "nicht gelb": $\frac{17}{25}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{7}{75}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{17}{75}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{17}{75}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{34}{75}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: gelb: $\frac{8}{25}$ ; nicht gelb: $\frac{17}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{17}{75}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{17}{75}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{17}{75}$ + $\frac{17}{75}$ = $\frac{34}{75}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 30 Schüler, in der 8b 24 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 30 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 24 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 30 ⋅ 24 = 720 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 30 ⋅ 24 ⋅ 24 = 17280 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 5 Ringe mit jeweils 8 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 8 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 8-fach verzweigt.

Es entstehen so also 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 8⁵ = 32768 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik