Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 2 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 5 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 5 + 3=10

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 2 10 = 1 5

ev: p= 5 10 = 1 2

Eth: p= 3 10

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= 4 27 )
  • 'nicht 3er'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= 4 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 27 + 4 27 + 4 27 = 4 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 9 64
1 -> 3 3 64
1 -> 4 3 64
2 -> 1 9 64
2 -> 2 9 64
2 -> 3 3 64
2 -> 4 3 64
3 -> 1 3 64
3 -> 2 3 64
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 3 64
4 -> 2 3 64
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 8 ; 2: 3 8 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 3 64 )
  • '4'-'1' (P= 3 64 )
  • '2'-'3' (P= 3 64 )
  • '3'-'2' (P= 3 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 64 + 3 64 + 3 64 + 3 64 = 3 16


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 105
Kreuz -> Herz 4 105
Kreuz -> Pik 1 21
Kreuz -> Karo 4 105
Herz -> Kreuz 4 105
Herz -> Herz 2 35
Herz -> Pik 2 21
Herz -> Karo 8 105
Pik -> Kreuz 1 21
Pik -> Herz 2 21
Pik -> Pik 2 21
Pik -> Karo 2 21
Karo -> Kreuz 4 105
Karo -> Herz 8 105
Karo -> Pik 2 21
Karo -> Karo 2 35

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 2 15 ; Herz: 4 15 ; Pik: 1 3 ; Karo: 4 15 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 105 )
'Herz'-'Herz' (P= 2 35 )
'Pik'-'Pik' (P= 2 21 )
'Karo'-'Karo' (P= 2 35 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 105 + 2 35 + 2 21 + 2 35 = 23 105


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot, 6 vom Typ blau, 10 vom Typ gelb und 7 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 7 145
rot -> blau 7 145
rot -> gelb 7 87
rot -> schwarz 49 870
blau -> rot 7 145
blau -> blau 1 29
blau -> gelb 2 29
blau -> schwarz 7 145
gelb -> rot 7 87
gelb -> blau 2 29
gelb -> gelb 3 29
gelb -> schwarz 7 87
schwarz -> rot 49 870
schwarz -> blau 7 145
schwarz -> gelb 7 87
schwarz -> schwarz 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 30 ; blau: 1 5 ; gelb: 1 3 ; schwarz: 7 30 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot' (P= 7 145 )
'blau'-'blau' (P= 1 29 )
'gelb'-'gelb' (P= 3 29 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 7 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 145 + 1 29 + 3 29 + 7 145 = 34 145


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 9 1 8 7 7
= 1 9 1 4 7 7
= 1 36

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nur Summen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '2'-'4' (P= 1 32 )
  • '4'-'2' (P= 1 32 )
  • '3'-'3' (P= 1 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 32 + 1 32 + 1 64 = 5 64


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 2 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 14 55
rot -> rot -> blau 28 165
rot -> blau -> rot 28 165
rot -> blau -> blau 4 55
blau -> rot -> rot 28 165
blau -> rot -> blau 4 55
blau -> blau -> rot 4 55
blau -> blau -> blau 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 2 3 ; blau: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'blau'-'blau' (P= 4 55 )
'blau'-'rot'-'blau' (P= 4 55 )
'blau'-'blau'-'rot' (P= 4 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 55 + 4 55 + 4 55 = 12 55


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 62 = 36 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 25-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 303600 Möglichkeiten, die 25 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 303600 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 303600 24 = 12650 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 25 Elementen (Schülerin) gebildet werden.