Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 blaue, 6 grüne, 2 gelbe und 3 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 6 + 2 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{4}{15}$

grün: p= $\frac{6}{15}$ = $\frac{2}{5}$

gelb: p= $\frac{2}{15}$

rot: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 3 gelbe, 10 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{9}$
rot -> nicht rot	$\frac{2}{9}$
nicht rot -> rot	$\frac{2}{9}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{3}$ ; nicht rot: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 13-24"?

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Da ja ausschließlich nach '13-24' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13-24' und 'nicht 13-24'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13-24": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 13-24": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 13-24' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '13-24' bzw. 0 mal '13-24'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '13-24')=1- $\frac{625}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Ereignis	P
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> nicht 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> nicht 13-24	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13-24: $\frac{12}{37}$ ; nicht 13-24: $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13-24'-'nicht 13-24' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 13-24'-'13-24' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'13-24'-'13-24' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{55}$ = $\frac{54}{55}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{14}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: $\frac{2}{3}$ ; nicht Mädchen: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{4}{55}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{14}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{54}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 3 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{95}$
1 -> 2	$\frac{3}{95}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
1 -> 4	$\frac{6}{95}$
2 -> 1	$\frac{3}{95}$
2 -> 2	$\frac{3}{190}$
2 -> 3	$\frac{21}{380}$
2 -> 4	$\frac{9}{190}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{21}{380}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 4	$\frac{21}{190}$
4 -> 1	$\frac{6}{95}$
4 -> 2	$\frac{9}{190}$
4 -> 3	$\frac{21}{190}$
4 -> 4	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{5}$ ; 2: $\frac{3}{20}$ ; 3: $\frac{7}{20}$ ; 4: $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{6}{95}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{6}{95}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{21}{380}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{21}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{95}$ + $\frac{6}{95}$ + $\frac{21}{380}$ + $\frac{21}{380}$ = $\frac{9}{38}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 8 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{8}{9}$
= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$
= $\frac{8}{45}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{2}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{1}{16}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{1}{16}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{3}{16}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot und 5 vom Typ blau. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{7}$
rot -> blau	$\frac{5}{21}$
blau -> rot	$\frac{5}{21}$
blau -> blau	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{3}$ ; blau: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{7}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{7}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{11}{21}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 24 Schüler und in der in der 8c 30 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 24 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 24 = 648 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 30 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 24 ⋅ 30 = 19440 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 25 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 4 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 303600 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik