Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Asse, 3 Könige, 2 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 3 + 2 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

König: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

Dame: p= $\frac{2}{15}$

Bube: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Zahl"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Zahl' bzw. 0 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Zahl')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: $\frac{1}{2}$ ; nicht Zahl: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: $\frac{1}{6}$ ; keine_6: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{36}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 9 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 3 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{9}{20}$ ; "nicht NWT": $\frac{11}{20}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{18}{95}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{99}{380}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{99}{380}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{11}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{9}{20}$ ; nicht NWT: $\frac{11}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{99}{380}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{99}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{99}{380}$ + $\frac{99}{380}$ = $\frac{99}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{3}{10}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{120}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{40}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{40}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: $\frac{3}{10}$ ; nicht Mädchen: $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{120}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{1}{120}$ = $\frac{11}{60}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{100}$
1 -> 2	$\frac{21}{200}$
1 -> 3	$\frac{21}{200}$
2 -> 1	$\frac{21}{200}$
2 -> 2	$\frac{49}{400}$
2 -> 3	$\frac{49}{400}$
3 -> 1	$\frac{21}{200}$
3 -> 2	$\frac{49}{400}$
3 -> 3	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{10}$ ; 2: $\frac{7}{20}$ ; 3: $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{21}{200}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{21}{200}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{49}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{200}$ + $\frac{21}{200}$ + $\frac{49}{400}$ = $\frac{133}{400}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 27 Schüler, in der 8b 27 Schüler und in der in der 8c 30 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 27 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 27 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 27 ⋅ 27 = 729 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 30 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 27 ⋅ 27 ⋅ 30 = 21870 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 22 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 5 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 22 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 21 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 20 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 3160080 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik