Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ = $\frac{4}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> keine_6	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> 6er	$\frac{5}{36}$
keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{36}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Dame": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{1}{28}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{3}{14}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'Dame' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{7}{75}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{25}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{15}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{25}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{25}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{25}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{40}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{200}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{15}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{40}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{30}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{40}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{25}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{200}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{40}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{8}{25}$ ; P("Herz")= $\frac{9}{25}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{7}{75}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{25}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{30}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{75}$ + $\frac{3}{25}$ + $\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{77}{300}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{3}{20}$ ; "nicht 3": $\frac{17}{20}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{3}{190}$
3 -> nicht 3	$\frac{51}{380}$
nicht 3 -> 3	$\frac{51}{380}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{68}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht 3")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{190}$ = $\frac{3}{190}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 10 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{5}{12}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{12}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{15}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{35}{138}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{35}{138}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{276}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{5}{12}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{12}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{15}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ = $\frac{15}{92}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

ohne Zurücklegen (einfach)