Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 6 Asse, 10 Könige, 1 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 10 + 1 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

König: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

Dame: p= $\frac{1}{20}$

Bube: p= $\frac{3}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 2 mal Zahl"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Zahl')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: $\frac{1}{2}$ ; nicht Zahl: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 9 gelbe, 6 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{9}{25}$ ; "nicht gelb": $\frac{16}{25}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{81}{625}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{144}{625}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{144}{625}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{256}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: gelb: $\frac{9}{25}$ ; nicht gelb: $\frac{16}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{144}{625}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{144}{625}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{625}$ + $\frac{144}{625}$ = $\frac{288}{625}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 9 Mädchen und 3 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{3}{4}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{21}{55}$ = $\frac{34}{55}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{21}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{9}{220}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{220}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: $\frac{3}{4}$ ; nicht Mädchen: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{55}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{9}{220}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{220}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{1}{220}$ = $\frac{34}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{7}{20}$ ; "nicht 3": $\frac{13}{20}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> nicht 3	$\frac{91}{380}$
nicht 3 -> 3	$\frac{91}{380}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{39}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{7}{20}$ ; nicht 3: $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ = $\frac{21}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{12}{35}$
1 -> 2	$\frac{3}{35}$
1 -> 3	$\frac{6}{35}$
2 -> 1	$\frac{3}{35}$
2 -> 2	$\frac{1}{105}$
2 -> 3	$\frac{4}{105}$
3 -> 1	$\frac{6}{35}$
3 -> 2	$\frac{4}{105}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{5}$ ; 2: $\frac{2}{15}$ ; 3: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{4}{105}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{4}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{105}$ + $\frac{4}{105}$ = $\frac{8}{105}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{3}{14}$
7 -> 8	$\frac{1}{7}$
7 -> 9	$\frac{1}{7}$
8 -> 7	$\frac{1}{7}$
8 -> 8	$\frac{1}{28}$
8 -> 9	$\frac{1}{14}$
9 -> 7	$\frac{1}{7}$
9 -> 8	$\frac{1}{14}$
9 -> 9	$\frac{1}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: $\frac{1}{2}$ ; 8: $\frac{1}{4}$ ; 9: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{1}{7}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{1}{7}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{9}{28}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 25 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 4 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 303600 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 3 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 8 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 8 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 3 ⋅ 8 = 72 Möglichkeiten ergeben.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'Zahl')=1- 1 8 = 7 8

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 21 55 = 34 55

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik

P=1-P(3 mal 'Zahl')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{21}{55}$ = $\frac{34}{55}$