Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 9 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 7 den evangelischen, und 4 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 7 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{9}{20}$

ev: p= $\frac{7}{20}$

Eth: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{25}{64}$
rot -> blau	$\frac{15}{64}$
blau -> rot	$\frac{15}{64}$
blau -> blau	$\frac{9}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{5}{8}$ ; blau: $\frac{3}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{25}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{64}$ = $\frac{25}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{6}$ ; 2: $\frac{1}{6}$ ; 3: $\frac{1}{6}$ ; höher: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{10}$ ; blau: $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'rot'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'blau'-'rot' (P= $\frac{7}{40}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{29}$
1 -> 2	$\frac{2}{29}$
1 -> 3	$\frac{2}{29}$
1 -> 4	$\frac{4}{145}$
2 -> 1	$\frac{2}{29}$
2 -> 2	$\frac{3}{29}$
2 -> 3	$\frac{10}{87}$
2 -> 4	$\frac{4}{87}$
3 -> 1	$\frac{2}{29}$
3 -> 2	$\frac{10}{87}$
3 -> 3	$\frac{3}{29}$
3 -> 4	$\frac{4}{87}$
4 -> 1	$\frac{4}{145}$
4 -> 2	$\frac{4}{87}$
4 -> 3	$\frac{4}{87}$
4 -> 4	$\frac{2}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{5}$ ; 2: $\frac{1}{3}$ ; 3: $\frac{1}{3}$ ; 4: $\frac{2}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{4}{87}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{4}{87}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{3}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{87}$ + $\frac{4}{87}$ + $\frac{3}{29}$ = $\frac{17}{87}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{21}{22}$
= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{7}{22}$
= $\frac{21}{2024}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{2}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{16}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{3}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{7}{120}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 7 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 7 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 7 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁷ = 128 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 3 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 5 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

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Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 45 Möglichkeiten ergeben.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik