Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 3 Könige, 8 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 3 + 8 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

König: p= $\frac{3}{20}$

Dame: p= $\frac{8}{20}$ = $\frac{2}{5}$

Bube: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{4}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{16}$
rot -> nicht rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{4}$ ; nicht rot: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{16}$ = $\frac{9}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 10 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{6}$ ; 2: $\frac{1}{6}$ ; 3: $\frac{1}{6}$ ; 4: $\frac{1}{6}$ ; 5: $\frac{1}{6}$ ; 6: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'4'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{12}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 6 blaue , 5 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{23}$
rot -> blau	$\frac{9}{92}$
rot -> gelb	$\frac{15}{184}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{46}$
blau -> rot	$\frac{9}{92}$
blau -> blau	$\frac{5}{92}$
blau -> gelb	$\frac{5}{92}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{23}$
gelb -> rot	$\frac{15}{184}$
gelb -> blau	$\frac{5}{92}$
gelb -> gelb	$\frac{5}{138}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{138}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{46}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{23}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{138}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{8}$ ; blau: $\frac{1}{4}$ ; gelb: $\frac{5}{24}$ ; schwarz: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{3}{46}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{3}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{46}$ + $\frac{3}{46}$ = $\frac{3}{23}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 8 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 4 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{69}$
1 -> 2	$\frac{4}{69}$
1 -> 3	$\frac{7}{69}$
1 -> 4	$\frac{5}{69}$
2 -> 1	$\frac{4}{69}$
2 -> 2	$\frac{1}{46}$
2 -> 3	$\frac{7}{138}$
2 -> 4	$\frac{5}{138}$
3 -> 1	$\frac{7}{69}$
3 -> 2	$\frac{7}{138}$
3 -> 3	$\frac{7}{92}$
3 -> 4	$\frac{35}{552}$
4 -> 1	$\frac{5}{69}$
4 -> 2	$\frac{5}{138}$
4 -> 3	$\frac{35}{552}$
4 -> 4	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{3}$ ; 2: $\frac{1}{6}$ ; 3: $\frac{7}{24}$ ; 4: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{5}{69}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{5}{69}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{7}{138}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{7}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{69}$ + $\frac{5}{69}$ + $\frac{7}{138}$ + $\frac{7}{138}$ = $\frac{17}{69}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{2}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{21}{21}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{23}$ ⋅ $\frac{1}{22}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{2024}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 9": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{1}{28}$
9 -> nicht 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> 9	$\frac{3}{14}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: $\frac{1}{4}$ ; nicht 9: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{28}$ = $\frac{1}{28}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{16}{225}$
1 -> 2	$\frac{28}{225}$
1 -> 3	$\frac{16}{225}$
2 -> 1	$\frac{28}{225}$
2 -> 2	$\frac{49}{225}$
2 -> 3	$\frac{28}{225}$
3 -> 1	$\frac{16}{225}$
3 -> 2	$\frac{28}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{4}{15}$ ; 2: $\frac{7}{15}$ ; 3: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{28}{225}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{28}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{225}$ + $\frac{28}{225}$ = $\frac{56}{225}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 12 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 12 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1320 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 2 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 23-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 2er-Gruppen sind so möglich?

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Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 23 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 22 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 23 ⋅ 22 = 506 Möglichkeiten, die 23 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 2 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 2er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 2er-Gruppe möglich sind.

Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 2er-Gruppe möglich. Es gibt also 2 Möglichkeiten.
Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 1 Möglichkeiten.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 2 ⋅ 1 = 2 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 2er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 506 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 2er-Gruppen durch die 2 Möglichkeiten, die 2er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{506}{2}$ = 253 Möglichkeiten für 2er-Gruppen, die aus 23 Elementen (Schülerin) gebildet werden.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

nur Summen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik