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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 8 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 9 den evangelischen, und 3 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 9 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{8}{20}$ = $\frac{2}{5}$

ev: p= $\frac{9}{20}$

Eth: p= $\frac{3}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 8 gelbe, 4 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{2}{5}$ ; "nicht gelb": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{9}{25}$ = $\frac{16}{25}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{4}{25}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{6}{25}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{6}{25}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{9}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{6}{25}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{6}{25}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{25}$ + $\frac{6}{25}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{16}{25}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{81}{400}$
1 -> 2	$\frac{9}{50}$
1 -> 3	$\frac{27}{400}$
2 -> 1	$\frac{9}{50}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{50}$
3 -> 1	$\frac{27}{400}$
3 -> 2	$\frac{3}{50}$
3 -> 3	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{27}{400}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{27}{400}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{400}$ + $\frac{27}{400}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{59}{200}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 9 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{8}$ ; "nicht NWT": $\frac{5}{8}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{23}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{45}{184}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{45}{184}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{35}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{35}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{35}{92}$ = $\frac{35}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an ein Mädchen gehen?

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Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{14}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{14}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{42}{55}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{400}$
1 -> 2	$\frac{7}{40}$
1 -> 3	$\frac{21}{400}$
2 -> 1	$\frac{7}{40}$
2 -> 2	$\frac{1}{4}$
2 -> 3	$\frac{3}{40}$
3 -> 1	$\frac{21}{400}$
3 -> 2	$\frac{3}{40}$
3 -> 3	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{21}{400}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{21}{400}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{400}$ + $\frac{21}{400}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{71}{200}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{63}{380}$
1 -> 3	$\frac{7}{95}$
2 -> 1	$\frac{63}{380}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{9}{95}$
3 -> 1	$\frac{7}{95}$
3 -> 2	$\frac{9}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{9}{95}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{9}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{95}$ + $\frac{9}{95}$ = $\frac{18}{95}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 10 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 10 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 10 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2¹⁰ = 1024 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 4 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 9 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

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Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik