Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 blaue, 3 grüne, 5 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 8 + 3 + 5 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 8 20 = 2 5

grün: p= 3 20

gelb: p= 5 20 = 1 4

rot: p= 4 20 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 9 gelbe, 3 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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EreignisP
rot -> rot 1 16
rot -> blau 1 32
rot -> gelb 3 32
rot -> schwarz 1 16
blau -> rot 1 32
blau -> blau 1 64
blau -> gelb 3 64
blau -> schwarz 1 32
gelb -> rot 3 32
gelb -> blau 3 64
gelb -> gelb 9 64
gelb -> schwarz 3 32
schwarz -> rot 1 16
schwarz -> blau 1 32
schwarz -> gelb 3 32
schwarz -> schwarz 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 4 ; blau: 1 8 ; gelb: 3 8 ; schwarz: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'schwarz' (P= 1 16 )
  • 'schwarz'-'rot' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 + 1 16 = 1 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; 4: 1 6 ; 5: 1 6 ; 6: 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 1 36 )
  • '4'-'1' (P= 1 36 )
  • '2'-'3' (P= 1 36 )
  • '3'-'2' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 5 blaue , 5 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": 1 4 ; "nicht schwarz": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- 1 19 = 18 19

EreignisP
schwarz -> schwarz 1 19
schwarz -> nicht schwarz 15 76
nicht schwarz -> schwarz 15 76
nicht schwarz -> nicht schwarz 21 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: 1 4 ; nicht schwarz: 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'schwarz'-'nicht schwarz' (P= 15 76 )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= 15 76 )
'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P= 21 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 76 + 15 76 + 21 38 = 18 19


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 10 blaue , 9 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal gelb"?

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EreignisP
rot -> rot 28 435
rot -> blau 8 87
rot -> gelb 12 145
rot -> schwarz 4 145
blau -> rot 8 87
blau -> blau 3 29
blau -> gelb 3 29
blau -> schwarz 1 29
gelb -> rot 12 145
gelb -> blau 3 29
gelb -> gelb 12 145
gelb -> schwarz 9 290
schwarz -> rot 4 145
schwarz -> blau 1 29
schwarz -> gelb 9 290
schwarz -> schwarz 1 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 4 15 ; blau: 1 3 ; gelb: 3 10 ; schwarz: 1 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'gelb' (P= 3 29 )
'gelb'-'blau' (P= 3 29 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 29 + 3 29 = 6 29


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 9 5 8
= 1 9 5 2
= 5 18

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 11
7 -> 8 4 33
7 -> 9 4 33
8 -> 7 4 33
8 -> 8 1 11
8 -> 9 4 33
9 -> 7 4 33
9 -> 8 4 33
9 -> 9 1 11

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 1 3 ; 8: 1 3 ; 9: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'7'-'9' (P= 4 33 )
'9'-'7' (P= 4 33 )
'8'-'8' (P= 1 11 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 33 + 4 33 + 1 11 = 1 3


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 4-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 4 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 64 = 1296 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 8 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.