Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 6 Könige, 10 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 6 + 10 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 2 24 = 1 12

König: p= 6 24 = 1 4

Dame: p= 10 24 = 5 12

Bube: p= 6 24 = 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 1 4
rot -> blau 1 8
rot -> gelb 1 16
rot -> schwarz 1 16
blau -> rot 1 8
blau -> blau 1 16
blau -> gelb 1 32
blau -> schwarz 1 32
gelb -> rot 1 16
gelb -> blau 1 32
gelb -> gelb 1 64
gelb -> schwarz 1 64
schwarz -> rot 1 16
schwarz -> blau 1 32
schwarz -> gelb 1 64
schwarz -> schwarz 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 2 ; blau: 1 4 ; gelb: 1 8 ; schwarz: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'blau' (P= 1 8 )
  • 'blau'-'rot' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 = 1 4


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'2' (P= 1 8 )
  • '2'-'1' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 = 1 4


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 7
Kreuz -> Herz 4 35
Kreuz -> Pik 2 35
Kreuz -> Karo 3 35
Herz -> Kreuz 4 35
Herz -> Herz 2 35
Herz -> Pik 4 105
Herz -> Karo 2 35
Pik -> Kreuz 2 35
Pik -> Herz 4 105
Pik -> Pik 1 105
Pik -> Karo 1 35
Karo -> Kreuz 3 35
Karo -> Herz 2 35
Karo -> Pik 1 35
Karo -> Karo 1 35

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 2 5 ; Herz: 4 15 ; Pik: 2 15 ; Karo: 1 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 7 )
'Herz'-'Herz' (P= 2 35 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 105 )
'Karo'-'Karo' (P= 1 35 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 2 35 + 1 105 + 1 35 = 5 21


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 1 19
Kreuz -> Herz 5 76
Kreuz -> Pik 1 19
Kreuz -> Karo 3 38
Herz -> Kreuz 5 76
Herz -> Herz 1 19
Herz -> Pik 1 19
Herz -> Karo 3 38
Pik -> Kreuz 1 19
Pik -> Herz 1 19
Pik -> Pik 3 95
Pik -> Karo 6 95
Karo -> Kreuz 3 38
Karo -> Herz 3 38
Karo -> Pik 6 95
Karo -> Karo 3 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 1 4 ; Herz: 1 4 ; Pik: 1 5 ; Karo: 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 1 19 )
'Herz'-'Herz' (P= 1 19 )
'Pik'-'Pik' (P= 3 95 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 19 + 1 19 + 3 95 + 3 38 = 41 190


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 1 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 5 3 4 2 3 1 2 1
= 1 5 1111
= 1 5

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 5 24 ; "nicht 3": 19 24 ;

EreignisP
3 -> 3 5 138
3 -> nicht 3 95 552
nicht 3 -> 3 95 552
nicht 3 -> nicht 3 57 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: 5 24 ; nicht 3: 19 24 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'3'-'3' (P= 5 138 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 138 = 5 138


nur Summen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '2'-'4' (P= 1 32 )
  • '4'-'2' (P= 1 32 )
  • '3'-'3' (P= 1 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 32 + 1 32 + 1 64 = 5 64


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 20 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 5 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 1860480 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 4 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 9 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 Möglichkeiten.