Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Asse, 4 Könige, 6 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 4 + 6 + 5=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{9}{24}$ = $\frac{3}{8}$

König: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

Dame: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

Bube: p= $\frac{5}{24}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal Zahl"?

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Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: $\frac{1}{2}$ ; nicht Zahl: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot und 7 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{1000}$
rot -> rot -> blau	$\frac{63}{1000}$
rot -> blau -> rot	$\frac{63}{1000}$
rot -> blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> rot -> rot	$\frac{63}{1000}$
blau -> rot -> blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> blau -> rot	$\frac{147}{1000}$
blau -> blau -> blau	$\frac{343}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{3}{10}$ ; blau: $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{343}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{1000}$ + $\frac{343}{1000}$ = $\frac{37}{100}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: $\frac{1}{4}$ ; andere: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 9 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 7 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{145}$
1 -> 2	$\frac{6}{145}$
1 -> 3	$\frac{4}{87}$
1 -> 4	$\frac{14}{435}$
2 -> 1	$\frac{6}{145}$
2 -> 2	$\frac{12}{145}$
2 -> 3	$\frac{3}{29}$
2 -> 4	$\frac{21}{290}$
3 -> 1	$\frac{4}{87}$
3 -> 2	$\frac{3}{29}$
3 -> 3	$\frac{3}{29}$
3 -> 4	$\frac{7}{87}$
4 -> 1	$\frac{14}{435}$
4 -> 2	$\frac{21}{290}$
4 -> 3	$\frac{7}{87}$
4 -> 4	$\frac{7}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{2}{15}$ ; 2: $\frac{3}{10}$ ; 3: $\frac{1}{3}$ ; 4: $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{14}{435}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{14}{435}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{3}{29}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{29}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{435}$ + $\frac{14}{435}$ + $\frac{3}{29}$ + $\frac{3}{29}$ = $\frac{118}{435}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ = $\frac{1}{16}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{45}$
1 -> 2	$\frac{1}{9}$
1 -> 3	$\frac{1}{15}$
2 -> 1	$\frac{1}{9}$
2 -> 2	$\frac{2}{9}$
2 -> 3	$\frac{1}{6}$
3 -> 1	$\frac{1}{15}$
3 -> 2	$\frac{1}{6}$
3 -> 3	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{5}$ ; 2: $\frac{1}{2}$ ; 3: $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{1}{6}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 21 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 21 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 21 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 21 ⋅ 21 = 441 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 21 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 21 ⋅ 21 ⋅ 21 = 9261 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Petra hat sich ein 9-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 9 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 362880 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik