Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=$\frac{\mathrm{Anzahl\; gesuchter\; Möglichkeiten}}{\mathrm{Anzahl\; aller\; Möglichkeiten}}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 6 + 4 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p=$\frac{5}{20}$ =$\frac{1}{4}$

König: p=$\frac{6}{20}$ =$\frac{3}{10}$

Dame: p=$\frac{4}{20}$ =$\frac{1}{5}$

Bube: p=$\frac{5}{20}$ =$\frac{1}{4}$

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{8}{27}$ = $\frac{19}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$; nicht 3er-Zahl: $\frac{2}{3}$;

• '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=$\frac{4}{27}$)
• 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=$\frac{4}{27}$)
• 'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=$\frac{4}{27}$)
• '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=$\frac{2}{27}$)
• '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=$\frac{2}{27}$)
• 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=$\frac{2}{27}$)
• '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=$\frac{1}{27}$)

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{19}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{7}{20}$; blau: $\frac{7}{20}$; gelb: $\frac{3}{10}$;

• 'rot'-'rot' (P=$\frac{49}{400}$)
• 'blau'-'blau' (P=$\frac{49}{400}$)
• 'gelb'-'gelb' (P=$\frac{9}{100}$)

$\frac{49}{400}$ + $\frac{49}{400}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{67}{200}$

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{24}$; "nicht NWT": $\frac{17}{24}$;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{7}{92}$ = $\frac{85}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{7}{24}$; nicht NWT: $\frac{17}{24}$;

'NWT'-'nicht NWT' (P=$\frac{119}{552}$)
'nicht NWT'-'NWT' (P=$\frac{119}{552}$)
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P=$\frac{34}{69}$)

$\frac{119}{552}$ + $\frac{119}{552}$ + $\frac{34}{69}$ = $\frac{85}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{3}$; 2: $\frac{2}{15}$; 3: $\frac{1}{3}$; 4: $\frac{1}{5}$;

'2'-'4' (P=$\frac{4}{145}$)
'4'-'2' (P=$\frac{4}{145}$)
'3'-'3' (P=$\frac{3}{29}$)

$\frac{4}{145}$ + $\frac{4}{145}$ + $\frac{3}{29}$ = $\frac{23}{145}$

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P=$\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{12}{12}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{6}{6}$
= $\frac{1}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{5}$; 2: $\frac{1}{2}$; 3: $\frac{3}{10}$;

• '1'-'2' (P=$\frac{1}{10}$)
• '2'-'1' (P=$\frac{1}{10}$)

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{1}{5}$

Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": $\frac{1}{2}$; "nicht prim": $\frac{1}{2}$;

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$; nicht prim: $\frac{1}{2}$;

• 'prim'-'prim'-'nicht prim' (P=$\frac{1}{8}$)
• 'prim'-'nicht prim'-'prim' (P=$\frac{1}{8}$)
• 'nicht prim'-'prim'-'prim' (P=$\frac{1}{8}$)
• 'prim'-'prim'-'prim' (P=$\frac{1}{8}$)

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 4-fach verzweigt.

Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4⁵ = 1024 Möglichkeiten.

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.