Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 3 Könige, 10 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 3 + 10 + 3=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

König: p= $\frac{3}{20}$

Dame: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

Bube: p= $\frac{3}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 1-12"?

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Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: $\frac{12}{37}$ ; nicht 1-12: $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ = $\frac{144}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 9 blaue , 5 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{5}{138}$
rot -> blau	$\frac{15}{184}$
rot -> gelb	$\frac{25}{552}$
rot -> schwarz	$\frac{25}{552}$
blau -> rot	$\frac{15}{184}$
blau -> blau	$\frac{3}{23}$
blau -> gelb	$\frac{15}{184}$
blau -> schwarz	$\frac{15}{184}$
gelb -> rot	$\frac{25}{552}$
gelb -> blau	$\frac{15}{184}$
gelb -> gelb	$\frac{5}{138}$
gelb -> schwarz	$\frac{25}{552}$
schwarz -> rot	$\frac{25}{552}$
schwarz -> blau	$\frac{15}{184}$
schwarz -> gelb	$\frac{25}{552}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{5}{24}$ ; blau: $\frac{3}{8}$ ; gelb: $\frac{5}{24}$ ; schwarz: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{15}{184}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{15}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{184}$ + $\frac{15}{184}$ = $\frac{15}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{190}$
1 -> 2	$\frac{1}{38}$
1 -> 3	$\frac{7}{190}$
1 -> 4	$\frac{3}{95}$
2 -> 1	$\frac{1}{38}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{7}{76}$
2 -> 4	$\frac{3}{38}$
3 -> 1	$\frac{7}{190}$
3 -> 2	$\frac{7}{76}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 4	$\frac{21}{190}$
4 -> 1	$\frac{3}{95}$
4 -> 2	$\frac{3}{38}$
4 -> 3	$\frac{21}{190}$
4 -> 4	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{10}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{7}{20}$ ; 4: $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{3}{38}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{3}{38}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{51}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{18}{19}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{3}{19}$
= $\frac{9}{665}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{15}{22}$ ; "nicht 13": $\frac{7}{22}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> nicht 13	$\frac{5}{22}$
nicht 13 -> 13	$\frac{5}{22}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: $\frac{15}{22}$ ; nicht 13: $\frac{7}{22}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{5}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{11}$ = $\frac{5}{11}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 2 vom Typ rot, 7 vom Typ blau, 2 vom Typ gelb und 4 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{225}$
rot -> blau	$\frac{14}{225}$
rot -> gelb	$\frac{4}{225}$
rot -> schwarz	$\frac{8}{225}$
blau -> rot	$\frac{14}{225}$
blau -> blau	$\frac{49}{225}$
blau -> gelb	$\frac{14}{225}$
blau -> schwarz	$\frac{28}{225}$
gelb -> rot	$\frac{4}{225}$
gelb -> blau	$\frac{14}{225}$
gelb -> gelb	$\frac{4}{225}$
gelb -> schwarz	$\frac{8}{225}$
schwarz -> rot	$\frac{8}{225}$
schwarz -> blau	$\frac{28}{225}$
schwarz -> gelb	$\frac{8}{225}$
schwarz -> schwarz	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{15}$ ; blau: $\frac{7}{15}$ ; gelb: $\frac{2}{15}$ ; schwarz: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{225}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{49}{225}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{4}{225}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{225}$ + $\frac{49}{225}$ + $\frac{4}{225}$ + $\frac{16}{225}$ = $\frac{73}{225}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 6² = 36 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 7 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 5 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 9 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 7 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 7 ⋅ 5 = 35 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 9 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 7 ⋅ 5 ⋅ 9 = 315 Möglichkeiten ergeben.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen mit Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik