Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 9 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 9 den evangelischen, und 6 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 9 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 9 24 = 3 8

ev: p= 9 24 = 3 8

Eth: p= 6 24 = 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

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EreignisP
rot -> rot 9 64
rot -> blau 9 64
rot -> gelb 3 32
blau -> rot 9 64
blau -> blau 9 64
blau -> gelb 3 32
gelb -> rot 3 32
gelb -> blau 3 32
gelb -> gelb 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 8 ; blau: 3 8 ; gelb: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'gelb' (P= 3 32 )
  • 'gelb'-'rot' (P= 3 32 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 32 + 3 32 = 3 16


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- 125 216 = 91 216

EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> nicht 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> 6er -> 6er 5 216
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; nicht 6er: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 25 216 )
  • '6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'6er'-'6er' (P= 1 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

25 216 + 25 216 + 25 216 + 5 216 + 5 216 + 5 216 + 1 216 = 91 216


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 120
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 7 120
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 7 120
Mädchen -> Jungs -> Jungs 7 40
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 7 120
Jungs -> Mädchen -> Jungs 7 40
Jungs -> Jungs -> Mädchen 7 40
Jungs -> Jungs -> Jungs 7 24

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 3 10 ; Jungs: 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 7 120 )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 7 120 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 7 120 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 120 + 7 120 + 7 120 = 7 40


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": 2 5 ; "nicht Ass": 3 5 ;

EreignisP
Ass -> Ass 2 15
Ass -> nicht Ass 4 15
nicht Ass -> Ass 4 15
nicht Ass -> nicht Ass 1 3

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: 2 5 ; nicht Ass: 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Ass'-'nicht Ass' (P= 4 15 )
'nicht Ass'-'Ass' (P= 4 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 15 + 4 15 = 8 15


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 45
7 -> 8 4 45
7 -> 9 4 45
8 -> 7 4 45
8 -> 8 2 15
8 -> 9 8 45
9 -> 7 4 45
9 -> 8 8 45
9 -> 9 2 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 1 5 ; 8: 2 5 ; 9: 2 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'8'-'9' (P= 8 45 )
'9'-'8' (P= 8 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 45 + 8 45 = 16 45


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 3 190
Kreuz -> Herz 9 190
Kreuz -> Pik 3 76
Kreuz -> Karo 9 190
Herz -> Kreuz 9 190
Herz -> Herz 3 38
Herz -> Pik 3 38
Herz -> Karo 9 95
Pik -> Kreuz 3 76
Pik -> Herz 3 38
Pik -> Pik 1 19
Pik -> Karo 3 38
Karo -> Kreuz 9 190
Karo -> Herz 9 95
Karo -> Pik 3 38
Karo -> Karo 3 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 3 20 ; Herz: 3 10 ; Pik: 1 4 ; Karo: 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 3 190 )
'Herz'-'Herz' (P= 3 38 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 19 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 190 + 3 38 + 1 19 + 3 38 = 43 190


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 24 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 24 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 24 ⋅ 21 = 504 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 24 ⋅ 21 ⋅ 24 = 12096 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 3 Ringe mit jeweils 6 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 = 216 Möglichkeiten.