Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= 3 8

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= 3 8

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden
EreignisP
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 1 27
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl 2 27
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl 2 27
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl 4 27
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er 8 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: 1 3 ; nicht 3er: 2 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= 2 27 )
  • '3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= 2 27 )
  • 'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= 2 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 27 + 2 27 + 2 27 = 2 9


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; 4: 1 6 ; 5: 1 6 ; 6: 1 6 ;

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  • '1'-'4' (P= 1 36 )
  • '4'-'1' (P= 1 36 )
  • '2'-'3' (P= 1 36 )
  • '3'-'2' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 9


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden
EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> andere 3 70
deutsch -> andere -> deutsch 3 70
deutsch -> andere -> andere 11 70
andere -> deutsch -> deutsch 3 70
andere -> deutsch -> andere 11 70
andere -> andere -> deutsch 11 70
andere -> andere -> andere 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: 1 4 ; andere: 3 4 ;

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'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 1 140 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 140 = 1 140


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 10 Karten der Farbe Kreuz, 8 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Pik"?

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Da ja ausschließlich nach 'Pik' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Pik' und 'nicht Pik'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Pik": 4 15 ; "nicht Pik": 11 15 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Pik' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Pik'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Pik')=1- 28 435 = 407 435

EreignisP
Pik -> Pik 28 435
Pik -> nicht Pik 88 435
nicht Pik -> Pik 88 435
nicht Pik -> nicht Pik 77 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Pik: 4 15 ; nicht Pik: 11 15 ;

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'Pik'-'nicht Pik' (P= 88 435 )
'nicht Pik'-'Pik' (P= 88 435 )
'nicht Pik'-'nicht Pik' (P= 77 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

88 435 + 88 435 + 77 145 = 407 435


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 1 3
= 1 4 1
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 4 15 ; "nicht 3": 11 15 ;

EreignisP
3 -> 3 2 35
3 -> nicht 3 22 105
nicht 3 -> 3 22 105
nicht 3 -> nicht 3 11 21

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: 4 15 ; nicht 3: 11 15 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'3'-'3' (P= 2 35 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 35 = 2 35


mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden
EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> keine_6 5 216
6er -> keine_6 -> 6er 5 216
6er -> keine_6 -> keine_6 25 216
keine_6 -> 6er -> 6er 5 216
keine_6 -> 6er -> keine_6 25 216
keine_6 -> keine_6 -> 6er 25 216
keine_6 -> keine_6 -> keine_6 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'6er'-'keine_6' (P= 5 216 )
  • '6er'-'keine_6'-'6er' (P= 5 216 )
  • 'keine_6'-'6er'-'6er' (P= 5 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 216 + 5 216 + 5 216 = 5 72


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Petra hat sich ein 7-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 7 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5040 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 19-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 17 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 19 ⋅ 18 ⋅ 17 = 5814 Möglichkeiten, die 19 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 3 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 3er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 5814 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 5814 6 = 969 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 19 Elementen (Schülerin) gebildet werden.