Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 blaue, 1 grüne, 5 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 1 + 5 + 4=15

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

grün: p= $\frac{1}{15}$

gelb: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

rot: p= $\frac{4}{15}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{25}{64}$
rot -> blau	$\frac{15}{64}$
blau -> rot	$\frac{15}{64}$
blau -> blau	$\frac{9}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{5}{8}$ ; blau: $\frac{3}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{15}{64}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{15}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{64}$ + $\frac{15}{64}$ = $\frac{15}{32}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal A und 1 mal B"?

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Ereignis	P
A -> A	$\frac{9}{64}$
A -> B	$\frac{3}{32}$
A -> C	$\frac{3}{32}$
A -> D	$\frac{3}{64}$
B -> A	$\frac{3}{32}$
B -> B	$\frac{1}{16}$
B -> C	$\frac{1}{16}$
B -> D	$\frac{1}{32}$
C -> A	$\frac{3}{32}$
C -> B	$\frac{1}{16}$
C -> C	$\frac{1}{16}$
C -> D	$\frac{1}{32}$
D -> A	$\frac{3}{64}$
D -> B	$\frac{1}{32}$
D -> C	$\frac{1}{32}$
D -> D	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: A: $\frac{3}{8}$ ; B: $\frac{1}{4}$ ; C: $\frac{1}{4}$ ; D: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'B' (P= $\frac{3}{32}$ )
'B'-'A' (P= $\frac{3}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ = $\frac{3}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{2}$ ; "nicht blau": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{2}{9}$ = $\frac{7}{9}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{2}{9}$
blau -> nicht blau	$\frac{5}{18}$
nicht blau -> blau	$\frac{5}{18}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{2}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{2}$ ; nicht blau: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{5}{18}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{5}{18}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{2}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{18}$ + $\frac{5}{18}$ + $\frac{2}{9}$ = $\frac{7}{9}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Karten der Farbe Kreuz, 7 der Farbe Pik, 9 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Herz"?

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Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{46}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{138}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{46}$
Kreuz -> Karo	$\frac{2}{69}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{138}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{92}$
Pik -> Herz	$\frac{21}{184}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{138}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{46}$
Herz -> Pik	$\frac{21}{184}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{23}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{46}$
Karo -> Kreuz	$\frac{2}{69}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{138}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{46}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{1}{6}$ ; Pik: $\frac{7}{24}$ ; Herz: $\frac{3}{8}$ ; Karo: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Herz' (P= $\frac{3}{46}$ )
'Herz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{46}$ + $\frac{3}{46}$ = $\frac{3}{23}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{10}$ ⋅ $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{6}{8}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{10}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{8}{75}$
1 -> 3	$\frac{4}{75}$
2 -> 1	$\frac{8}{75}$
2 -> 2	$\frac{64}{225}$
2 -> 3	$\frac{32}{225}$
3 -> 1	$\frac{4}{75}$
3 -> 2	$\frac{32}{225}$
3 -> 3	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{5}$ ; 2: $\frac{8}{15}$ ; 3: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{75}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{75}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{64}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{75}$ + $\frac{4}{75}$ + $\frac{64}{225}$ = $\frac{88}{225}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> 14	$\frac{25}{154}$
13 -> 15	$\frac{5}{77}$
14 -> 13	$\frac{25}{154}$
14 -> 14	$\frac{10}{231}$
14 -> 15	$\frac{5}{231}$
15 -> 13	$\frac{5}{77}$
15 -> 14	$\frac{5}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: $\frac{15}{22}$ ; 14: $\frac{5}{22}$ ; 15: $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{154}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{154}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{154}$ + $\frac{25}{154}$ = $\frac{25}{77}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 6 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 3 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 7 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

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Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 6 ⋅ 3 = 18 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 7 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 6 ⋅ 3 ⋅ 7 = 126 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 10 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 2 9 = 7 9

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

nur Summen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{2}{9}$ = $\frac{7}{9}$