Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 3 Asse, 4 Könige, 2 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 3 + 4 + 2 + 3=12
Hieraus ergibt sich für ...
Ass: p= =
König: p= =
Dame: p= =
Bube: p= =
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> blau | |
| rot -> gelb | |
| rot -> schwarz | |
| blau -> rot | |
| blau -> blau | |
| blau -> gelb | |
| blau -> schwarz | |
| gelb -> rot | |
| gelb -> blau | |
| gelb -> gelb | |
| gelb -> schwarz | |
| schwarz -> rot | |
| schwarz -> blau | |
| schwarz -> gelb | |
| schwarz -> schwarz |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; blau: ; gelb: ; schwarz: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'rot'-'gelb' (P=)
- 'gelb'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?
Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": ; "nicht Teiler": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Teiler'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(3 mal 'Teiler')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| Teiler -> Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> Teiler -> nicht Teiler | |
| Teiler -> nicht Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler | |
| nicht Teiler -> Teiler -> Teiler | |
| nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler | |
| nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler | |
| nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: ; nicht Teiler: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
- 'Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P=)
- 'nicht Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P=)
- 'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
- 'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
- 'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P=)
- 'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?
Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": ; "nicht Dame": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'Dame')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| Dame -> Dame | |
| Dame -> nicht Dame | |
| nicht Dame -> Dame | |
| nicht Dame -> nicht Dame |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Dame: ; nicht Dame: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Dame'-'nicht Dame' (P=)
'nicht Dame'-'Dame' (P=)
'Dame'-'Dame' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 2 Karten der Farbe Kreuz, 8 der Farbe Pik, 6 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Kreuz"?
Da ja ausschließlich nach 'Kreuz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Kreuz' und 'nicht Kreuz'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Kreuz": ; "nicht Kreuz": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> nicht Kreuz | |
| nicht Kreuz -> Kreuz | |
| nicht Kreuz -> nicht Kreuz |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: ; nicht Kreuz: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'3' (P=)
- '3'-'1' (P=)
- '2'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Eine Mathelehrerin war bei 8 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?
Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Ein spezielles Zahlenschloss hat 4 Ringe mit jeweils 4 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?
Bei jedem der 4 'Zufallsversuche' gibt es 4 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 4 Ebenen immer 4-fach verzweigt.
Es entstehen so also 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 44 = 256 Möglichkeiten.
