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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= $\frac{1}{2}$

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{4}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er-Zahl: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal A und 1 mal B"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
A -> A	$\frac{9}{64}$
A -> B	$\frac{3}{32}$
A -> C	$\frac{3}{32}$
A -> D	$\frac{3}{64}$
B -> A	$\frac{3}{32}$
B -> B	$\frac{1}{16}$
B -> C	$\frac{1}{16}$
B -> D	$\frac{1}{32}$
C -> A	$\frac{3}{32}$
C -> B	$\frac{1}{16}$
C -> C	$\frac{1}{16}$
C -> D	$\frac{1}{32}$
D -> A	$\frac{3}{64}$
D -> B	$\frac{1}{32}$
D -> C	$\frac{1}{32}$
D -> D	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: A: $\frac{3}{8}$ ; B: $\frac{1}{4}$ ; C: $\frac{1}{4}$ ; D: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'B' (P= $\frac{3}{32}$ )
'B'-'A' (P= $\frac{3}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ = $\frac{3}{16}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{27}{380}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{380}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{27}{380}$
Herz -> Herz	$\frac{18}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{27}{380}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{76}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{380}$
Pik -> Herz	$\frac{27}{380}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{76}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{76}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{76}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{3}{20}$ ; Herz: $\frac{9}{20}$ ; Pik: $\frac{3}{20}$ ; Karo: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{18}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{190}$ + $\frac{18}{95}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{26}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{4}$ ; "nicht 3": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{19}$
3 -> nicht 3	$\frac{15}{76}$
nicht 3 -> 3	$\frac{15}{76}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{1}{4}$ ; nicht 3: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ = $\frac{1}{19}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 3 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{105}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{21}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{35}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{21}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{21}$
Herz -> Herz	$\frac{2}{21}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{14}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{42}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{35}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{14}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{35}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{14}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{21}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{42}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{14}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{2}{15}$ ; Herz: $\frac{1}{3}$ ; Pik: $\frac{1}{5}$ ; Karo: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{2}{21}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{35}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{105}$ + $\frac{2}{21}$ + $\frac{1}{35}$ + $\frac{2}{21}$ = $\frac{8}{35}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 9 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 9 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 9 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁹ = 512 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 7 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 7 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 7 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁷ = 128 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik