Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal Zahl"?

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EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: 1 2 ; Wappen: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> keine_6 5 216
6er -> keine_6 -> 6er 5 216
6er -> keine_6 -> keine_6 25 216
keine_6 -> 6er -> 6er 5 216
keine_6 -> 6er -> keine_6 25 216
keine_6 -> keine_6 -> 6er 25 216
keine_6 -> keine_6 -> keine_6 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'keine_6'-'keine_6'-'keine_6' (P= 125 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

125 216 = 125 216


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 4 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 3 95
Kreuz -> Herz 4 95
Kreuz -> Pik 9 95
Kreuz -> Karo 3 95
Herz -> Kreuz 4 95
Herz -> Herz 3 95
Herz -> Pik 9 95
Herz -> Karo 3 95
Pik -> Kreuz 9 95
Pik -> Herz 9 95
Pik -> Pik 18 95
Pik -> Karo 27 380
Karo -> Kreuz 3 95
Karo -> Herz 3 95
Karo -> Pik 27 380
Karo -> Karo 3 190

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 1 5 ; Herz: 1 5 ; Pik: 9 20 ; Karo: 3 20 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 3 95 )
'Herz'-'Herz' (P= 3 95 )
'Pik'-'Pik' (P= 18 95 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 95 + 3 95 + 18 95 + 3 190 = 51 190


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 8 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 4 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

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EreignisP
1 -> 1 7 69
1 -> 2 4 69
1 -> 3 8 69
1 -> 4 4 69
2 -> 1 4 69
2 -> 2 1 46
2 -> 3 4 69
2 -> 4 2 69
3 -> 1 8 69
3 -> 2 4 69
3 -> 3 7 69
3 -> 4 4 69
4 -> 1 4 69
4 -> 2 2 69
4 -> 3 4 69
4 -> 4 1 46

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 3 ; 2: 1 6 ; 3: 1 3 ; 4: 1 6 ;

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'3'-'4' (P= 4 69 )
'4'-'3' (P= 4 69 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 69 + 4 69 = 8 69


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 14 11 13
= 3 14 11 13
= 33 182

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": 4 29 ; "nicht 15": 25 29 ;

EreignisP
15 -> 15 3 203
15 -> nicht 15 25 203
nicht 15 -> 15 25 203
nicht 15 -> nicht 15 150 203

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 15: 4 29 ; nicht 15: 25 29 ;

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'15'-'15' (P= 3 203 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 203 = 3 203


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 28
7 -> 8 1 14
7 -> 9 1 7
8 -> 7 1 14
8 -> 8 1 28
8 -> 9 1 7
9 -> 7 1 7
9 -> 8 1 7
9 -> 9 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 1 4 ; 8: 1 4 ; 9: 1 2 ;

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'8'-'9' (P= 1 7 )
'9'-'8' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 12 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 12 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1320 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 30 Schüler, in der 8b 21 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 30 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 21 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 30 ⋅ 21 = 630 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 30 ⋅ 21 ⋅ 24 = 15120 Möglichkeiten ergeben.