Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 3 Asse, 4 Könige, 7 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 3 + 4 + 7 + 6=20

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 3 20

König: p= 4 20 = 1 5

Dame: p= 7 20

Bube: p= 6 20 = 3 10

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 1 2 ; "nicht rot": 1 2 ;

EreignisP
rot -> rot 1 4
rot -> nicht rot 1 4
nicht rot -> rot 1 4
nicht rot -> nicht rot 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 2 ; nicht rot: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot' (P= 1 4 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 = 1 4


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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EreignisP
rot -> rot 324 1369
rot -> schwarz 324 1369
rot -> grün 18 1369
schwarz -> rot 324 1369
schwarz -> schwarz 324 1369
schwarz -> grün 18 1369
grün -> rot 18 1369
grün -> schwarz 18 1369
grün -> grün 1 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 18 37 ; schwarz: 18 37 ; grün: 1 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'schwarz' (P= 324 1369 )
  • 'schwarz'-'rot' (P= 324 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

324 1369 + 324 1369 = 648 1369


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 1 15
rot -> blau 7 30
blau -> rot 7 30
blau -> blau 7 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 10 ; blau: 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'blau' (P= 7 30 )
'blau'-'rot' (P= 7 30 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 30 + 7 30 = 7 15


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 6
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 1 6
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 1 6
Mädchen -> Jungs -> Jungs 1 10
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 1 6
Jungs -> Mädchen -> Jungs 1 10
Jungs -> Jungs -> Mädchen 1 10
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 30

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 3 5 ; Jungs: 2 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= 1 10 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 1 10 )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 1 10 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 10 + 1 10 + 1 10 = 3 10


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 14 11 13
= 3 14 11 13
= 33 182

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

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Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": 1 4 ; "nicht 7": 3 4 ;

EreignisP
7 -> 7 1 28
7 -> nicht 7 3 14
nicht 7 -> 7 3 14
nicht 7 -> nicht 7 15 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: 1 4 ; nicht 7: 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'7'-'7' (P= 1 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 28 = 1 28


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 12 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 14 1 13 12 12
= 1 7 1 13 6 6
= 1 91

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Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 7 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 4 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 5 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

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Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 7 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 4 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 7 ⋅ 4 = 28 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 5 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 7 ⋅ 4 ⋅ 5 = 140 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 30 Schüler, in der 8b 30 Schüler und in der in der 8c 24 Schüler hat.

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Für die Kategorie '8a' gibt es 30 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 30 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 30 ⋅ 30 = 900 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 24 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 30 ⋅ 30 ⋅ 24 = 21600 Möglichkeiten ergeben.