Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
In einer Urne sind 1 blaue, 1 grüne, 4 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 1 + 4 + 4=10
Hieraus ergibt sich für ...
blau: p=
grün: p=
gelb: p= =
rot: p= =
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": ; "nicht prim": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'prim')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| prim -> prim -> prim | |
| prim -> prim -> nicht prim | |
| prim -> nicht prim -> prim | |
| prim -> nicht prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> prim -> prim | |
| nicht prim -> prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> nicht prim -> prim | |
| nicht prim -> nicht prim -> nicht prim |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: ; nicht prim: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P=)
- 'prim'-'prim'-'nicht prim' (P=)
- 'prim'-'nicht prim'-'prim' (P=)
- 'nicht prim'-'prim'-'prim' (P=)
- 'prim'-'prim'-'prim' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 1-12"?
Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": ; "nicht 1-12": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1-12 -> 1-12 | |
| 1-12 -> nicht 1-12 | |
| nicht 1-12 -> 1-12 | |
| nicht 1-12 -> nicht 1-12 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: ; nicht 1-12: ;
Die relevanten Pfade sind:- '1-12'-'1-12' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 1 an ein Mädchen gehen?
Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": ; "nicht Mädchen": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Mädchen' bzw. 0 mal 'Mädchen'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'Mädchen')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen | |
| Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen | |
| nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen | |
| nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen | |
| nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: ; nicht Mädchen: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P=)
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P=)
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'1'-'3' (P=)
'3'-'1' (P=)
'2'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'2'-'3' (P=)
'3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden
Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.
Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 62 = 36 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Eine Mathelehrerin hat für die 5 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 5 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?
Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 Möglichkeiten.
