Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 5 Asse, 4 Könige, 3 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 5 + 4 + 3 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 5 15 = 1 3

König: p= 4 15

Dame: p= 3 15 = 1 5

Bube: p= 3 15 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 2 gelbe, 5 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 2 5 ; "nicht rot": 3 5 ;

EreignisP
rot -> rot 4 25
rot -> nicht rot 6 25
nicht rot -> rot 6 25
nicht rot -> nicht rot 9 25

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 2 5 ; nicht rot: 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot' (P= 4 25 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 25 = 4 25


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> keine_6 5 216
6er -> keine_6 -> 6er 5 216
6er -> keine_6 -> keine_6 25 216
keine_6 -> 6er -> 6er 5 216
keine_6 -> 6er -> keine_6 25 216
keine_6 -> keine_6 -> 6er 25 216
keine_6 -> keine_6 -> keine_6 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'keine_6'-'keine_6'-'keine_6' (P= 125 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

125 216 = 125 216


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 2 5 ; "nicht NWT": 3 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 1 7 = 6 7

EreignisP
NWT -> NWT 1 7
NWT -> nicht NWT 9 35
nicht NWT -> NWT 9 35
nicht NWT -> nicht NWT 12 35

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 2 5 ; nicht NWT: 3 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'NWT'-'nicht NWT' (P= 9 35 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 9 35 )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= 12 35 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 35 + 9 35 + 12 35 = 6 7


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 2 21
1 -> 2 1 7
1 -> 3 2 21
2 -> 1 1 7
2 -> 2 1 7
2 -> 3 4 35
3 -> 1 2 21
3 -> 2 4 35
3 -> 3 2 35

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 3 ; 2: 2 5 ; 3: 4 15 ;

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'1'-'2' (P= 1 7 )
'2'-'1' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 10 1 9 8 8
= 1 5 1 9 4 4
= 1 45

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nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 9 64
1 -> 3 3 64
1 -> 4 3 64
2 -> 1 9 64
2 -> 2 9 64
2 -> 3 3 64
2 -> 4 3 64
3 -> 1 3 64
3 -> 2 3 64
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 3 64
4 -> 2 3 64
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 8 ; 2: 3 8 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'2' (P= 9 64 )
  • '2'-'1' (P= 9 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 64 + 9 64 = 9 32


nur Summen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 1 16 )
  • '4'-'1' (P= 1 16 )
  • '2'-'3' (P= 1 32 )
  • '3'-'2' (P= 1 32 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 + 1 16 + 1 32 + 1 32 = 3 16


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Petra hat sich ein 5-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 5 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Petra hat sich ein 5-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 5 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Möglichkeiten.