Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 blaue, 3 grüne, 2 gelbe und 3 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 3 + 2 + 3=15

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= 7 15

grün: p= 3 15 = 1 5

gelb: p= 2 15

rot: p= 3 15 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "2 mal Zahl und 1 mal Wappen"?

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EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Zahl: 1 2 ; Wappen: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 4 25
1 -> 2 2 25
1 -> 3 4 25
2 -> 1 2 25
2 -> 2 1 25
2 -> 3 2 25
3 -> 1 4 25
3 -> 2 2 25
3 -> 3 4 25

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 2 5 ; 2: 1 5 ; 3: 2 5 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '2'-'3' (P= 2 25 )
  • '3'-'2' (P= 2 25 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 25 + 2 25 = 4 25


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": 1 5 ; "nicht Dame": 4 5 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 1 45 = 44 45

EreignisP
Dame -> Dame 1 45
Dame -> nicht Dame 8 45
nicht Dame -> Dame 8 45
nicht Dame -> nicht Dame 28 45

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Dame: 1 5 ; nicht Dame: 4 5 ;

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'Dame'-'nicht Dame' (P= 8 45 )
'nicht Dame'-'Dame' (P= 8 45 )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= 28 45 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 45 + 8 45 + 28 45 = 44 45


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 8 blaue , 3 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 3 20 ; "nicht rot": 17 20 ;

EreignisP
rot -> rot 3 190
rot -> nicht rot 51 380
nicht rot -> rot 51 380
nicht rot -> nicht rot 68 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 20 ; nicht rot: 17 20 ;

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'rot'-'rot' (P= 3 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 190 = 3 190


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 13 3 12 2 11 1 10 9 9
= 1 13 1 1 11 1 5 3 3
= 1 715

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nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": 1 11 ; "nicht 15": 10 11 ;

EreignisP
15 -> 15 1 231
15 -> nicht 15 20 231
nicht 15 -> 15 20 231
nicht 15 -> nicht 15 190 231

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 15: 1 11 ; nicht 15: 10 11 ;

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'15'-'15' (P= 1 231 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 231 = 1 231


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 8 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 8 25 ; "nicht NWT": 17 25 ;

EreignisP
NWT -> NWT 7 75
NWT -> nicht NWT 17 75
nicht NWT -> NWT 17 75
nicht NWT -> nicht NWT 34 75

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 8 25 ; nicht NWT: 17 25 ;

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'NWT'-'nicht NWT' (P= 17 75 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 17 75 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

17 75 + 17 75 = 34 75


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 8 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 5 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 5 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

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Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 8 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 8 ⋅ 5 = 40 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 5 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 8 ⋅ 5 ⋅ 5 = 200 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 3 Ringe mit jeweils 6 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 = 216 Möglichkeiten.