Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 blaue, 1 grüne, 8 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 6 + 1 + 8 + 5=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

grün: p= $\frac{1}{20}$

gelb: p= $\frac{8}{20}$ = $\frac{2}{5}$

rot: p= $\frac{5}{20}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{4}$
rot -> blau	$\frac{1}{4}$
blau -> rot	$\frac{1}{4}$
blau -> blau	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{2}$ ; blau: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{8}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal Dame"?

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Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{15}$
Ass -> König	$\frac{2}{15}$
Ass -> Dame	$\frac{2}{15}$
König -> Ass	$\frac{2}{15}$
König -> König	$\frac{1}{15}$
König -> Dame	$\frac{2}{15}$
Dame -> Ass	$\frac{2}{15}$
Dame -> König	$\frac{2}{15}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: $\frac{1}{3}$ ; König: $\frac{1}{3}$ ; Dame: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Dame' (P= $\frac{2}{15}$ )
'Dame'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 3 blaue , 10 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{8}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{92}$ = $\frac{91}{92}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{92}$
blau -> nicht blau	$\frac{21}{184}$
nicht blau -> blau	$\frac{21}{184}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{35}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{8}$ ; nicht blau: $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{21}{184}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{21}{184}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{35}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{184}$ + $\frac{21}{184}$ + $\frac{35}{46}$ = $\frac{91}{92}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{25}$
1 -> 2	$\frac{9}{50}$
1 -> 3	$\frac{3}{50}$
2 -> 1	$\frac{9}{50}$
2 -> 2	$\frac{81}{400}$
2 -> 3	$\frac{27}{400}$
3 -> 1	$\frac{3}{50}$
3 -> 2	$\frac{27}{400}$
3 -> 3	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{2}{5}$ ; 2: $\frac{9}{20}$ ; 3: $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{50}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{50}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{50}$ + $\frac{9}{50}$ = $\frac{9}{25}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot, 9 vom Typ blau und 5 vom Typ gelb. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{15}{92}$
rot -> blau	$\frac{15}{92}$
rot -> gelb	$\frac{25}{276}$
blau -> rot	$\frac{15}{92}$
blau -> blau	$\frac{3}{23}$
blau -> gelb	$\frac{15}{184}$
gelb -> rot	$\frac{25}{276}$
gelb -> blau	$\frac{15}{184}$
gelb -> gelb	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{5}{12}$ ; blau: $\frac{3}{8}$ ; gelb: $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{15}{92}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{23}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{91}{276}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 6 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 4 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 6 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 4 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 6 ⋅ 4 = 24 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 6 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 6 ⋅ 4 ⋅ 6 = 144 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 19 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 3 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 19 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 18 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 17 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 19 ⋅ 18 ⋅ 17 = 5814 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 1 92 = 91 92

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{92}$ = $\frac{91}{92}$