Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 9 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 4 den evangelischen, und 7 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 4 + 7=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{9}{20}$

ev: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

Eth: p= $\frac{7}{20}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: $\frac{1}{2}$ ; nicht prim: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{9}$
1 -> 2	$\frac{5}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{5}{36}$
2 -> 2	$\frac{25}{144}$
2 -> 3	$\frac{5}{48}$
3 -> 1	$\frac{1}{12}$
3 -> 2	$\frac{5}{48}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{3}$ ; 2: $\frac{5}{12}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{12}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{12}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{25}{144}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{12}$ + $\frac{25}{144}$ = $\frac{49}{144}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 8 blaue , 8 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{6}$ ; "nicht schwarz": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{95}{138}$ = $\frac{43}{138}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{46}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{10}{69}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{10}{69}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{95}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: $\frac{1}{6}$ ; nicht schwarz: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{10}{69}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{10}{69}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{69}$ + $\frac{10}{69}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{43}{138}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 8 vom Typ rot und 4 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{14}{55}$
rot -> rot -> blau	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> rot	$\frac{28}{165}$
rot -> blau -> blau	$\frac{4}{55}$
blau -> rot -> rot	$\frac{28}{165}$
blau -> rot -> blau	$\frac{4}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{4}{55}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{3}$ ; blau: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{14}{55}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{55}$ + $\frac{1}{55}$ = $\frac{3}{11}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 12 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{12}{13}$
= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{2}{13}$
= $\frac{12}{455}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{3}{8}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{4}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{3}{64}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{3}{64}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{7}{32}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 21 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 5 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 21 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 20 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 19 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 = 2441880 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 10 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 10 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 10 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 9 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 8 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik