Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= 1 6

2: p= 3 6 = 1 2

3: p= 1 6

4: p= 1 6

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot 9 16
rot -> blau 3 16
blau -> rot 3 16
blau -> blau 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 4 ; blau: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'blau' (P= 3 16 )
  • 'blau'-'rot' (P= 3 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 16 + 3 16 = 3 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '6er' bzw. 0 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '6er')=1- 25 36 = 11 36

EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> nicht 6er 5 36
nicht 6er -> 6er 5 36
nicht 6er -> nicht 6er 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; nicht 6er: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'nicht 6er' (P= 5 36 )
  • 'nicht 6er'-'6er' (P= 5 36 )
  • '6er'-'6er' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 1 36 = 11 36


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 2 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 1 12
rot -> rot -> blau 5 36
rot -> blau -> rot 5 36
rot -> blau -> blau 5 36
blau -> rot -> rot 5 36
blau -> rot -> blau 5 36
blau -> blau -> rot 5 36
blau -> blau -> blau 1 12

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 1 2 ; blau: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'blau'-'blau' (P= 5 36 )
'blau'-'rot'-'blau' (P= 5 36 )
'blau'-'blau'-'rot' (P= 5 36 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 + 5 36 = 5 12


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 38
1 -> 2 5 38
1 -> 3 5 38
2 -> 1 5 38
2 -> 2 1 19
2 -> 3 5 76
3 -> 1 5 38
3 -> 2 5 76
3 -> 3 1 19

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 4 ;

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'1'-'2' (P= 5 38 )
'2'-'1' (P= 5 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 38 + 5 38 = 5 19


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 8 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 12 3 11 2 10 8 9
= 2 1 11 1 5 4 9
= 8 495

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nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 5 33
1 -> 2 5 33
1 -> 3 5 44
2 -> 1 5 33
2 -> 2 1 11
2 -> 3 1 11
3 -> 1 5 44
3 -> 2 1 11
3 -> 3 1 22

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 5 12 ; 2: 1 3 ; 3: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'2'-'3' (P= 1 11 )
'3'-'2' (P= 1 11 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 11 + 1 11 = 2 11


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 15 92
1 -> 2 10 69
1 -> 3 5 46
2 -> 1 10 69
2 -> 2 7 69
2 -> 3 2 23
3 -> 1 5 46
3 -> 2 2 23
3 -> 3 5 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 5 12 ; 2: 1 3 ; 3: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'1'-'2' (P= 10 69 )
'2'-'1' (P= 10 69 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

10 69 + 10 69 = 20 69


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 2 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 5 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 2 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 2 = 6 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 30 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 5 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 7 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 5 = 15 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 7 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 Möglichkeiten ergeben.