Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Wappen: $\frac{1}{2}$ ; nicht Wappen: $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{64}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{3}{64}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{1}{4}$ ; nicht blau: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{5}{32}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 4 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{6}$ ; "nicht NWT": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- $\frac{15}{22}$ = $\frac{7}{22}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{66}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{5}{33}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{5}{33}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{15}{22}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{1}{6}$ ; nicht NWT: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{5}{33}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{5}{33}$ )
'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{66}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{33}$ + $\frac{5}{33}$ + $\frac{1}{66}$ = $\frac{7}{22}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: $\frac{2}{3}$ ; Jungs: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{3}{10}$ ; "nicht 3": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{3}{38}$
3 -> nicht 3	$\frac{21}{95}$
nicht 3 -> 3	$\frac{21}{95}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{3}{10}$ ; nicht 3: $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ = $\frac{3}{38}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 2 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{15}$ ; "nicht NWT": $\frac{8}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- $\frac{4}{15}$ = $\frac{11}{15}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{5}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{4}{15}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{4}{15}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{4}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: $\frac{7}{15}$ ; nicht NWT: $\frac{8}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{4}{15}$ )
'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{5}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{11}{15}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 7 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 5 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 9 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.

Lösung einblenden

Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 7 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 5 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 7 ⋅ 5 = 35 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 9 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 7 ⋅ 5 ⋅ 9 = 315 Möglichkeiten ergeben.

Kombinatorik

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 20 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 3 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 6840 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

ohne Zurücklegen (einfach)

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik