Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 9 Asse, 5 Könige, 8 Damen, und 3 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 5 + 8 + 3=25

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{9}{25}$

König: p= $\frac{5}{25}$ = $\frac{1}{5}$

Dame: p= $\frac{8}{25}$

Bube: p= $\frac{3}{25}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{25}{64}$
rot -> blau	$\frac{15}{64}$
blau -> rot	$\frac{15}{64}$
blau -> blau	$\frac{9}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{5}{8}$ ; blau: $\frac{3}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{25}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{64}$ = $\frac{25}{64}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> keine_6	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
keine_6 -> 6er -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> 6er	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> keine_6	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: $\frac{1}{6}$ ; keine_6: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'keine_6' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'keine_6'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'keine_6'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ = $\frac{5}{72}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "2 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{24}{91}$
rot -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> blau	$\frac{20}{273}$
blau -> rot -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
blau -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
blau -> blau -> blau	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{3}$ ; blau: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{15}{91}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{15}{91}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{15}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{35}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{8}{105}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{1}{5}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
3 -> 1	$\frac{8}{105}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{4}{15}$ ; 2: $\frac{7}{15}$ ; 3: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{2}{15}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{7}$ ⋅ $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{3}{5}$
= $\frac{2}{7}$ ⋅ $3$ ⋅ $\frac{1}{5}$
= $\frac{6}{35}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{15}$
1 -> 2	$\frac{4}{35}$
1 -> 3	$\frac{16}{105}$
2 -> 1	$\frac{4}{35}$
2 -> 2	$\frac{1}{35}$
2 -> 3	$\frac{2}{35}$
3 -> 1	$\frac{16}{105}$
3 -> 2	$\frac{2}{35}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{8}{15}$ ; 2: $\frac{1}{5}$ ; 3: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{2}{35}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{4}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 3 Ringe mit jeweils 10 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

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Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 10 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 10-fach verzweigt.

Es entstehen so also 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 10³ = 1000 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 5 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 5 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik