Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 10 Asse, 6 Könige, 8 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 6 + 8 + 6=30

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= 10 30 = 1 3

König: p= 6 30 = 1 5

Dame: p= 8 30 = 4 15

Bube: p= 6 30 = 1 5

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

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EreignisP
prim -> prim 1 4
prim -> nicht prim 1 4
nicht prim -> prim 1 4
nicht prim -> nicht prim 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'prim'-'nicht prim' (P= 1 4 )
  • 'nicht prim'-'prim' (P= 1 4 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 + 1 4 = 1 2


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 1-12"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": 12 37 ; "nicht 1-12": 25 37 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 1-12' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '1-12' bzw. 0 mal '1-12'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '1-12')=1- 625 1369 = 744 1369

EreignisP
1-12 -> 1-12 144 1369
1-12 -> nicht 1-12 300 1369
nicht 1-12 -> 1-12 300 1369
nicht 1-12 -> nicht 1-12 625 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: 12 37 ; nicht 1-12: 25 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1-12'-'nicht 1-12' (P= 300 1369 )
  • 'nicht 1-12'-'1-12' (P= 300 1369 )
  • '1-12'-'1-12' (P= 144 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

300 1369 + 300 1369 + 144 1369 = 744 1369


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 9 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 3 25
Kreuz -> Herz 3 25
Kreuz -> Pik 3 40
Kreuz -> Karo 9 200
Herz -> Kreuz 3 25
Herz -> Herz 7 75
Herz -> Pik 1 15
Herz -> Karo 1 25
Pik -> Kreuz 3 40
Pik -> Herz 1 15
Pik -> Pik 1 30
Pik -> Karo 1 40
Karo -> Kreuz 9 200
Karo -> Herz 1 25
Karo -> Pik 1 40
Karo -> Karo 1 100

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 9 25 ; Herz: 8 25 ; Pik: 1 5 ; Karo: 3 25 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 3 25 )
'Herz'-'Herz' (P= 7 75 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 30 )
'Karo'-'Karo' (P= 1 100 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 25 + 7 75 + 1 30 + 1 100 = 77 300


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 9 blaue , 6 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": 1 4 ; "nicht schwarz": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- 51 92 = 41 92

EreignisP
schwarz -> schwarz 5 92
schwarz -> nicht schwarz 9 46
nicht schwarz -> schwarz 9 46
nicht schwarz -> nicht schwarz 51 92

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: 1 4 ; nicht schwarz: 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'schwarz'-'nicht schwarz' (P= 9 46 )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= 9 46 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 5 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 46 + 9 46 + 5 92 = 41 92


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2
= 1 2 1 1 2
= 1 4

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nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 11 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 6 ; 3: 1 6 ; 4: 1 6 ; 5: 1 6 ; 6: 1 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '5'-'6' (P= 1 36 )
  • '6'-'5' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 + 1 36 = 1 18


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal 1-12"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": 12 37 ; "nicht 1-12": 25 37 ;

EreignisP
1-12 -> 1-12 144 1369
1-12 -> nicht 1-12 300 1369
nicht 1-12 -> 1-12 300 1369
nicht 1-12 -> nicht 1-12 625 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: 12 37 ; nicht 1-12: 25 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1-12'-'1-12' (P= 144 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

144 1369 = 144 1369


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Petra hat sich ein 6-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 6 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.