Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 1 blaue, 3 grüne, 10 gelbe und 6 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 10 + 6=20

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{1}{20}$

grün: p= $\frac{3}{20}$

gelb: p= $\frac{10}{20}$ = $\frac{1}{2}$

rot: p= $\frac{6}{20}$ = $\frac{3}{10}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{9}$ = $\frac{4}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 7 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{3}{20}$ ; "nicht schwarz": $\frac{17}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{289}{400}$ = $\frac{111}{400}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{400}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{51}{400}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{51}{400}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{289}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: $\frac{3}{20}$ ; nicht schwarz: $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{51}{400}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{51}{400}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{400}$ + $\frac{51}{400}$ + $\frac{9}{400}$ = $\frac{111}{400}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften mindestens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": $\frac{1}{4}$ ; "nicht deutsch": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal deutsch' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'deutsch' bzw. 0 mal 'deutsch'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'deutsch')=1- $\frac{11}{28}$ = $\frac{17}{28}$

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch	$\frac{11}{70}$
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: deutsch: $\frac{1}{4}$ ; nicht deutsch: $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{11}{70}$ )
'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{1}{140}$ = $\frac{17}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 3": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{3}{95}$
3 -> nicht 3	$\frac{16}{95}$
nicht 3 -> 3	$\frac{16}{95}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{12}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{1}{5}$ ; nicht 3: $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ = $\frac{3}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{11}{12}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{11}{6}$
= $\frac{11}{78}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{105}$
1 -> 2	$\frac{2}{21}$
1 -> 3	$\frac{1}{35}$
2 -> 1	$\frac{2}{21}$
2 -> 2	$\frac{3}{7}$
2 -> 3	$\frac{1}{7}$
3 -> 1	$\frac{1}{35}$
3 -> 2	$\frac{1}{7}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{2}{15}$ ; 2: $\frac{2}{3}$ ; 3: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{35}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{35}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{3}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{35}$ + $\frac{1}{35}$ + $\frac{3}{7}$ = $\frac{17}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 5 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{5}{6}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{5}{6}$
= $\frac{5}{126}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 9 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 9 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 9 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁹ = 512 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Petra hat sich ein 8-stelliges Passwort erstellt. Als sie eine Woche später das Passwort wieder braucht, erinnert sie sich nur noch, dass jede der Zahlen zwischen 1 und 8 genau einmal vorkam. Wie viele verschiedene Passwörter können es dann noch sein?

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Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40320 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik