Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 7 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 9 den evangelischen, und 4 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 7 + 9 + 4=20

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= $\frac{7}{20}$

ev: p= $\frac{9}{20}$

Eth: p= $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: $\frac{1}{3}$ ; nicht 3er: $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht 3er'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{4}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ = $\frac{4}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine 6 zu würfeln?

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Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> keine_6	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
keine_6 -> 6er -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> 6er	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> keine_6	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: $\frac{1}{6}$ ; keine_6: $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'keine_6'-'keine_6'-'keine_6' (P= $\frac{125}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{125}{216}$ = $\frac{125}{216}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{11}$ = $\frac{10}{11}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{14}{33}$
rot -> nicht rot	$\frac{8}{33}$
nicht rot -> rot	$\frac{8}{33}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{11}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{3}$ ; nicht rot: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{8}{33}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{8}{33}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{14}{33}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{33}$ + $\frac{8}{33}$ + $\frac{14}{33}$ = $\frac{10}{11}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 6 mit Drei und 7 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{190}$
1 -> 2	$\frac{1}{38}$
1 -> 3	$\frac{3}{95}$
1 -> 4	$\frac{7}{190}$
2 -> 1	$\frac{1}{38}$
2 -> 2	$\frac{1}{19}$
2 -> 3	$\frac{3}{38}$
2 -> 4	$\frac{7}{76}$
3 -> 1	$\frac{3}{95}$
3 -> 2	$\frac{3}{38}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$
3 -> 4	$\frac{21}{190}$
4 -> 1	$\frac{7}{190}$
4 -> 2	$\frac{7}{76}$
4 -> 3	$\frac{21}{190}$
4 -> 4	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{10}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{3}{10}$ ; 4: $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{7}{190}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{7}{190}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{3}{38}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{190}$ + $\frac{7}{190}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{22}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{2}$
= $\frac{7}{330}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{38}$
1 -> 2	$\frac{7}{38}$
1 -> 3	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{7}{38}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{21}{380}$
3 -> 1	$\frac{3}{38}$
3 -> 2	$\frac{21}{380}$
3 -> 3	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{2}$ ; 2: $\frac{7}{20}$ ; 3: $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{21}{380}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{21}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{380}$ + $\frac{21}{380}$ = $\frac{21}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: $\frac{2}{3}$ ; Jungs: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{15}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine 5-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 5 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden

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Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 6-fach verzweigt.

Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 6⁵ = 7776 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 5 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 5 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen ohne Zurücklegen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik