Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6

Hieraus ergibt sich für ...

1: p= $\frac{1}{6}$

2: p= $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$

3: p= $\frac{1}{6}$

4: p= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{25}{64}$
rot -> blau	$\frac{5}{32}$
rot -> gelb	$\frac{5}{64}$
blau -> rot	$\frac{5}{32}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{1}{32}$
gelb -> rot	$\frac{5}{64}$
gelb -> blau	$\frac{1}{32}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{5}{8}$ ; blau: $\frac{1}{4}$ ; gelb: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{32}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{32}$ + $\frac{5}{32}$ = $\frac{5}{16}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{8}{27}$
Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: $\frac{2}{3}$ ; kein Teiler: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kein Teiler'-'kein Teiler'-'kein Teiler' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{27}$ = $\frac{1}{27}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: $\frac{2}{3}$ ; Jungs: $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{20}{273}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{20}{273}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{20}{273}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ + $\frac{20}{273}$ = $\frac{20}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 2 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{35}$
1 -> 2	$\frac{2}{21}$
1 -> 3	$\frac{4}{105}$
1 -> 4	$\frac{8}{105}$
2 -> 1	$\frac{2}{21}$
2 -> 2	$\frac{2}{21}$
2 -> 3	$\frac{1}{21}$
2 -> 4	$\frac{2}{21}$
3 -> 1	$\frac{4}{105}$
3 -> 2	$\frac{1}{21}$
3 -> 3	$\frac{1}{105}$
3 -> 4	$\frac{4}{105}$
4 -> 1	$\frac{8}{105}$
4 -> 2	$\frac{2}{21}$
4 -> 3	$\frac{4}{105}$
4 -> 4	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{4}{15}$ ; 2: $\frac{1}{3}$ ; 3: $\frac{2}{15}$ ; 4: $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{4}{105}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{4}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{105}$ + $\frac{4}{105}$ = $\frac{8}{105}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{6}{8}$
= $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{2}{8}$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{77}$
13 -> 14	$\frac{50}{231}$
13 -> 15	$\frac{10}{231}$
14 -> 13	$\frac{50}{231}$
14 -> 14	$\frac{15}{77}$
14 -> 15	$\frac{10}{231}$
15 -> 13	$\frac{10}{231}$
15 -> 14	$\frac{10}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: $\frac{5}{11}$ ; 14: $\frac{5}{11}$ ; 15: $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{50}{231}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{50}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{50}{231}$ + $\frac{50}{231}$ = $\frac{100}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{27}$ ⋅ $\frac{2}{26}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{24}{24}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{1}{25}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{2925}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 12 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 12 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1320 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 24 Schüler, in der 8b 30 Schüler und in der in der 8c 27 Schüler hat.

Lösung einblenden

Für die Kategorie '8a' gibt es 24 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 30 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 24 ⋅ 30 = 720 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 27 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 24 ⋅ 30 ⋅ 27 = 19440 Möglichkeiten ergeben.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik