Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Klasse besuchen 9 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 1 den evangelischen, und 5 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= Anzahl gesuchter Möglichkeiten Anzahl aller Möglichkeiten

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 9 + 1 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

rk: p= 9 15 = 3 5

ev: p= 1 15

Eth: p= 5 15 = 1 3

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 3 8 ; "nicht blau": 5 8 ;

EreignisP
blau -> blau 9 64
blau -> nicht blau 15 64
nicht blau -> blau 15 64
nicht blau -> nicht blau 25 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 3 8 ; nicht blau: 5 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'nicht blau' (P= 15 64 )
  • 'nicht blau'-'blau' (P= 15 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 64 + 15 64 = 15 32


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 7 vom Typ rot, 8 vom Typ blau, 3 vom Typ gelb und 6 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot 49 576
rot -> blau 7 72
rot -> gelb 7 192
rot -> schwarz 7 96
blau -> rot 7 72
blau -> blau 1 9
blau -> gelb 1 24
blau -> schwarz 1 12
gelb -> rot 7 192
gelb -> blau 1 24
gelb -> gelb 1 64
gelb -> schwarz 1 32
schwarz -> rot 7 96
schwarz -> blau 1 12
schwarz -> gelb 1 32
schwarz -> schwarz 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 24 ; blau: 1 3 ; gelb: 1 8 ; schwarz: 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot' (P= 49 576 )
  • 'blau'-'blau' (P= 1 9 )
  • 'gelb'-'gelb' (P= 1 64 )
  • 'schwarz'-'schwarz' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

49 576 + 1 9 + 1 64 + 1 16 = 79 288


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 10 blaue , 9 gelbe und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

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EreignisP
rot -> rot 2 145
rot -> blau 4 87
rot -> gelb 6 145
rot -> schwarz 14 435
blau -> rot 4 87
blau -> blau 3 29
blau -> gelb 3 29
blau -> schwarz 7 87
gelb -> rot 6 145
gelb -> blau 3 29
gelb -> gelb 12 145
gelb -> schwarz 21 290
schwarz -> rot 14 435
schwarz -> blau 7 87
schwarz -> gelb 21 290
schwarz -> schwarz 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 2 15 ; blau: 1 3 ; gelb: 3 10 ; schwarz: 7 30 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'gelb' (P= 6 145 )
'gelb'-'rot' (P= 6 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

6 145 + 6 145 = 12 145


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 66
1 -> 2 1 11
1 -> 3 2 33
2 -> 1 1 11
2 -> 2 5 22
2 -> 3 2 11
3 -> 1 2 33
3 -> 2 2 11
3 -> 3 1 11

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 6 ; 2: 1 2 ; 3: 1 3 ;

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'2'-'3' (P= 2 11 )
'3'-'2' (P= 2 11 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 11 + 2 11 = 4 11


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 24 2 23 21 22
= 3 4 1 23 7 22
= 21 2024

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nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

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EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 3 32
1 -> 3 3 32
1 -> 4 3 64
2 -> 1 3 32
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
2 -> 4 1 32
3 -> 1 3 32
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16
3 -> 4 1 32
4 -> 1 3 64
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 32
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 3 8 ; 2: 1 4 ; 3: 1 4 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 3 64 )
  • '4'-'1' (P= 3 64 )
  • '2'-'3' (P= 1 16 )
  • '3'-'2' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 64 + 3 64 + 1 16 + 1 16 = 7 32


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 10 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 1 2 ; "nicht NWT": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- 9 38 = 29 38

EreignisP
NWT -> NWT 9 38
NWT -> nicht NWT 5 19
nicht NWT -> NWT 5 19
nicht NWT -> nicht NWT 9 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 1 2 ; nicht NWT: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'NWT'-'nicht NWT' (P= 5 19 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 5 19 )
'NWT'-'NWT' (P= 9 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 19 + 5 19 + 9 38 = 29 38


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 12 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 12 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1320 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 9 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

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Bei jedem der 9 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 9 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 29 = 512 Möglichkeiten.