Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 3 gelbe, 4 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 4 15 ; "nicht blau": 11 15 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- 121 225 = 104 225

EreignisP
blau -> blau 16 225
blau -> nicht blau 44 225
nicht blau -> blau 44 225
nicht blau -> nicht blau 121 225

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: 4 15 ; nicht blau: 11 15 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'blau'-'nicht blau' (P= 44 225 )
  • 'nicht blau'-'blau' (P= 44 225 )
  • 'blau'-'blau' (P= 16 225 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

44 225 + 44 225 + 16 225 = 104 225


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden
EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> keine_6 5 36
keine_6 -> 6er 5 36
keine_6 -> keine_6 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'keine_6' (P= 5 36 )
  • 'keine_6'-'6er' (P= 5 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 36 + 5 36 = 5 18


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 2 blaue , 8 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": 2 5 ; "nicht gelb": 3 5 ;

EreignisP
gelb -> gelb 14 95
gelb -> nicht gelb 24 95
nicht gelb -> gelb 24 95
nicht gelb -> nicht gelb 33 95

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: gelb: 2 5 ; nicht gelb: 3 5 ;

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'gelb'-'gelb' (P= 14 95 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

14 95 = 14 95


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 2 mal blau"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 1 120
rot -> rot -> blau 7 120
rot -> blau -> rot 7 120
rot -> blau -> blau 7 40
blau -> rot -> rot 7 120
blau -> rot -> blau 7 40
blau -> blau -> rot 7 40
blau -> blau -> blau 7 24

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 10 ; blau: 7 10 ;

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'rot'-'blau'-'blau' (P= 7 40 )
'blau'-'rot'-'blau' (P= 7 40 )
'blau'-'blau'-'rot' (P= 7 40 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 40 + 7 40 + 7 40 = 21 40


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 27 24 26
= 3 9 8 26
= 4 39

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nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": 1 4 ; "nicht 9": 3 4 ;

EreignisP
9 -> 9 1 28
9 -> nicht 9 3 14
nicht 9 -> 9 3 14
nicht 9 -> nicht 9 15 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 9: 1 4 ; nicht 9: 3 4 ;

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'9'-'9' (P= 1 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 28 = 1 28


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 11 3 10 2 9 7 8
= 1 11 1 5 1 3 7 2
= 7 330

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Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 22 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 4 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 22 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 21 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 20 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 22 ⋅ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 = 175560 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Ein spezielles Zahlenschloss hat 5 Ringe mit jeweils 10 verschiedenen Zahlen drauf. Wie viele verschiedene Möglichkeiten kann man bei diesem Zahlenschloss einstellen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 5 'Zufallsversuche' gibt es 10 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 5 Ebenen immer 10-fach verzweigt.

Es entstehen so also 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 105 = 100000 Möglichkeiten.