Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= 3 8

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= 1 8

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 9 gelbe, 7 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden
EreignisP
rot -> rot 49 900
rot -> blau 49 900
rot -> gelb 7 100
rot -> schwarz 49 900
blau -> rot 49 900
blau -> blau 49 900
blau -> gelb 7 100
blau -> schwarz 49 900
gelb -> rot 7 100
gelb -> blau 7 100
gelb -> gelb 9 100
gelb -> schwarz 7 100
schwarz -> rot 49 900
schwarz -> blau 49 900
schwarz -> gelb 7 100
schwarz -> schwarz 49 900

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 7 30 ; blau: 7 30 ; gelb: 3 10 ; schwarz: 7 30 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'gelb' (P= 7 100 )
  • 'gelb'-'rot' (P= 7 100 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 100 + 7 100 = 7 50


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal D"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'D' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'D' und 'nicht D'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"D": 1 8 ; "nicht D": 7 8 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal D' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'D'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'D')=1- 1 64 = 63 64

EreignisP
D -> D 1 64
D -> nicht D 7 64
nicht D -> D 7 64
nicht D -> nicht D 49 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: D: 1 8 ; nicht D: 7 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'D'-'nicht D' (P= 7 64 )
  • 'nicht D'-'D' (P= 7 64 )
  • 'nicht D'-'nicht D' (P= 49 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 64 + 7 64 + 49 64 = 63 64


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 2 blaue , 8 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": 1 6 ; "nicht schwarz": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- 95 138 = 43 138

EreignisP
schwarz -> schwarz 1 46
schwarz -> nicht schwarz 10 69
nicht schwarz -> schwarz 10 69
nicht schwarz -> nicht schwarz 95 138

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: schwarz: 1 6 ; nicht schwarz: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'schwarz'-'nicht schwarz' (P= 10 69 )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= 10 69 )
'schwarz'-'schwarz' (P= 1 46 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

10 69 + 10 69 + 1 46 = 43 138


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Dame"?

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Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": 1 2 ; "nicht Dame": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Dame')=1- 3 14 = 11 14

EreignisP
Dame -> Dame 3 14
Dame -> nicht Dame 2 7
nicht Dame -> Dame 2 7
nicht Dame -> nicht Dame 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Dame: 1 2 ; nicht Dame: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Dame'-'nicht Dame' (P= 2 7 )
'nicht Dame'-'Dame' (P= 2 7 )
'nicht Dame'-'nicht Dame' (P= 3 14 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 7 + 2 7 + 3 14 = 11 14


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 12 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 2 14 12 13
= 2 7 6 13
= 12 91

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nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": 3 10 ; "nicht 3": 7 10 ;

EreignisP
3 -> 3 9 100
3 -> nicht 3 21 100
nicht 3 -> 3 21 100
nicht 3 -> nicht 3 49 100

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: 3 10 ; nicht 3: 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '3'-'3' (P= 9 100 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 100 = 9 100


mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 3 8 ; "nicht rot": 5 8 ;

EreignisP
rot -> rot 9 64
rot -> nicht rot 15 64
nicht rot -> rot 15 64
nicht rot -> nicht rot 25 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 8 ; nicht rot: 5 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'nicht rot' (P= 15 64 )
  • 'nicht rot'-'rot' (P= 15 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 64 + 15 64 = 15 32


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 12 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 12 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 12 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 11 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 10 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1320 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 3 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 7 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 210 Möglichkeiten.