Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 10 Asse, 4 Könige, 5 Damen, und 5 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 4 + 5 + 5=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{10}{24}$ = $\frac{5}{12}$

König: p= $\frac{4}{24}$ = $\frac{1}{6}$

Dame: p= $\frac{5}{24}$

Bube: p= $\frac{5}{24}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 4 gelbe, 2 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{25}$
rot -> blau	$\frac{4}{75}$
rot -> gelb	$\frac{8}{75}$
rot -> schwarz	$\frac{2}{25}$
blau -> rot	$\frac{4}{75}$
blau -> blau	$\frac{4}{225}$
blau -> gelb	$\frac{8}{225}$
blau -> schwarz	$\frac{2}{75}$
gelb -> rot	$\frac{8}{75}$
gelb -> blau	$\frac{8}{225}$
gelb -> gelb	$\frac{16}{225}$
gelb -> schwarz	$\frac{4}{75}$
schwarz -> rot	$\frac{2}{25}$
schwarz -> blau	$\frac{2}{75}$
schwarz -> gelb	$\frac{4}{75}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{2}{5}$ ; blau: $\frac{2}{15}$ ; gelb: $\frac{4}{15}$ ; schwarz: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{8}{75}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{8}{75}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{75}$ + $\frac{8}{75}$ = $\frac{16}{75}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 3": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{25}$
3 -> nicht 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{1}{5}$ ; nicht 3: $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{25}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 7 blaue , 9 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{30}$ ; "nicht blau": $\frac{23}{30}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{7}{145}$
blau -> nicht blau	$\frac{161}{870}$
nicht blau -> blau	$\frac{161}{870}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{253}{435}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: $\frac{7}{30}$ ; nicht blau: $\frac{23}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{145}$ = $\frac{7}{145}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 9 blaue , 8 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{46}$
rot -> blau	$\frac{3}{46}$
rot -> gelb	$\frac{4}{69}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{46}$
blau -> rot	$\frac{3}{46}$
blau -> blau	$\frac{3}{23}$
blau -> gelb	$\frac{3}{23}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{184}$
gelb -> rot	$\frac{4}{69}$
gelb -> blau	$\frac{3}{23}$
gelb -> gelb	$\frac{7}{69}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{23}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{46}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{184}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{23}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{6}$ ; blau: $\frac{3}{8}$ ; gelb: $\frac{1}{3}$ ; schwarz: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{3}{46}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{3}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{46}$ + $\frac{3}{46}$ = $\frac{3}{23}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{6}$ ; 2: $\frac{1}{6}$ ; 3: $\frac{1}{6}$ ; 4: $\frac{1}{6}$ ; 5: $\frac{1}{6}$ ; 6: $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{12}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin hat für die 8 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 8 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 12 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 12 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 12 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2¹² = 4096 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik