Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 6 Könige, 10 Damen, und 6 Buben. Eine Karte wird nach Mischen zufällig gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kartenwerte.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 2 + 6 + 10 + 6=24

Hieraus ergibt sich für ...

Ass: p= $\frac{2}{24}$ = $\frac{1}{12}$

König: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

Dame: p= $\frac{10}{24}$ = $\frac{5}{12}$

Bube: p= $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Das nebenstehende Glücksrad wird 2 mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{4}$
rot -> blau	$\frac{1}{8}$
rot -> gelb	$\frac{1}{16}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{16}$
blau -> rot	$\frac{1}{8}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{1}{32}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{32}$
gelb -> rot	$\frac{1}{16}$
gelb -> blau	$\frac{1}{32}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{64}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{64}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{16}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{32}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{64}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: $\frac{1}{2}$ ; blau: $\frac{1}{4}$ ; gelb: $\frac{1}{8}$ ; schwarz: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{8}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{2}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{8}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{4}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{7}$
Kreuz -> Herz	$\frac{4}{35}$
Kreuz -> Pik	$\frac{2}{35}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{35}$
Herz -> Kreuz	$\frac{4}{35}$
Herz -> Herz	$\frac{2}{35}$
Herz -> Pik	$\frac{4}{105}$
Herz -> Karo	$\frac{2}{35}$
Pik -> Kreuz	$\frac{2}{35}$
Pik -> Herz	$\frac{4}{105}$
Pik -> Pik	$\frac{1}{105}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{35}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{35}$
Karo -> Herz	$\frac{2}{35}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{35}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{2}{5}$ ; Herz: $\frac{4}{15}$ ; Pik: $\frac{2}{15}$ ; Karo: $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{7}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{2}{35}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{1}{105}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{7}$ + $\frac{2}{35}$ + $\frac{1}{105}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{5}{21}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{76}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{76}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{19}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{19}$
Herz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{19}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{6}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Herz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Pik	$\frac{6}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: $\frac{1}{4}$ ; Herz: $\frac{1}{4}$ ; Pik: $\frac{1}{5}$ ; Karo: $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{41}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 1 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{5}$ ⋅ $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$ ⋅ $1$ ⋅ $1$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{5}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{5}{24}$ ; "nicht 3": $\frac{19}{24}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{5}{138}$
3 -> nicht 3	$\frac{95}{552}$
nicht 3 -> 3	$\frac{95}{552}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{57}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: $\frac{5}{24}$ ; nicht 3: $\frac{19}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{138}$ = $\frac{5}{138}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{32}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: $\frac{1}{2}$ ; 2: $\frac{1}{4}$ ; 3: $\frac{1}{8}$ ; 4: $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{32}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{32}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{32}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{5}{64}$

Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 20 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 5 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 20 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 19 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 18 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 = 1860480 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 4 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 9 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 9 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 8 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 7 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 Möglichkeiten.

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

nur Summen

Kombinatorik (ohne Binom.)

Kombinatorik