Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
Wie groß sind jeweils die Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln dass die gewürfelte Zahl einen, zwei, drei oder vier Teiler hat?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 1 + 1=6
Hieraus ergibt sich für ...
1: p=
2: p= =
3: p=
4: p=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": ; "nicht 3er-Zahl": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3er-Zahl: ; nicht 3er-Zahl: ;
Die relevanten Pfade sind:- '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P=)
- '3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
- '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Teiler -> Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> Teiler -> kein Teiler | |
| Teiler -> kein Teiler -> Teiler | |
| Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler | |
| kein Teiler -> Teiler -> Teiler | |
| kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler | |
| kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler | |
| kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: ; kein Teiler: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'kein Teiler'-'kein Teiler'-'kein Teiler' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?
Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": ; "nicht rot": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal 'rot')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> nicht rot | |
| nicht rot -> rot | |
| nicht rot -> nicht rot |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; nicht rot: ;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'nicht rot' (P=)
'nicht rot'-'rot' (P=)
'nicht rot'-'nicht rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> Herz | |
| Kreuz -> Pik | |
| Kreuz -> Karo | |
| Herz -> Kreuz | |
| Herz -> Herz | |
| Herz -> Pik | |
| Herz -> Karo | |
| Pik -> Kreuz | |
| Pik -> Herz | |
| Pik -> Pik | |
| Pik -> Karo | |
| Karo -> Kreuz | |
| Karo -> Herz | |
| Karo -> Pik | |
| Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: ; Herz: ; Pik: ; Karo: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
'Herz'-'Herz' (P=)
'Pik'-'Pik' (P=)
'Karo'-'Karo' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 13 -> 13 | |
| 13 -> 14 | |
| 13 -> 15 | |
| 14 -> 13 | |
| 14 -> 14 | |
| 14 -> 15 | |
| 15 -> 13 | |
| 15 -> 14 | |
| 15 -> 15 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 13: ; 14: ; 15: ;
Die relevanten Pfade sind:
'13'-'15' (P=)
'15'-'13' (P=)
'14'-'14' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 4 rote und 5 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Eine 2-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 2 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden
Bei jedem der 2 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 2 Ebenen immer 6-fach verzweigt.
Es entstehen so also 6 ⋅ 6 = 62 = 36 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Sandy möchte sich ein Outfit zusammenstellen. Dabei kann sie beim Oberteil zwischen einer Bluse, einem T-Shirt und einem Pullover wählen. Außerdem muss sie sich für eine ihrer 3 Hosen entscheiden. Für die Füße stehen ihr 6 Paar Schuhe zur Verfügung. Wie viele verschiedene Outfits kann sie sich mit diesen Kleidungsstücken zusammenkombinieren?
Für die Kategorie 'Oberteile' gibt es 3 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 3 Möglichkeiten der Kategorie 'Hosen' kombinieren. Dies ergibt also 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 6 Möglichkeiten der Kategorie 'Schuhe' kombinieren, so dass sich insgesamt 3 ⋅ 3 ⋅ 6 = 54 Möglichkeiten ergeben.
