Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
In einer Klasse besuchen 4 Schülerinnen und Schüler den katholischen Religionsunterricht, 2 den evangelischen, und 4 sind in Ethik. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse im jeweiligen Religionsunterricht ist?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 4 + 2 + 4=10
Hieraus ergibt sich für ...
rk: p= =
ev: p= =
Eth: p= =
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": ; "nicht blau": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal 'blau')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| blau -> blau | |
| blau -> nicht blau | |
| nicht blau -> blau | |
| nicht blau -> nicht blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: blau: ; nicht blau: ;
Die relevanten Pfade sind:- 'blau'-'nicht blau' (P=)
- 'nicht blau'-'blau' (P=)
- 'nicht blau'-'nicht blau' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal 1-12"?
Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": ; "nicht 1-12": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1-12 -> 1-12 | |
| 1-12 -> nicht 1-12 | |
| nicht 1-12 -> 1-12 | |
| nicht 1-12 -> nicht 1-12 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: ; nicht 1-12: ;
Die relevanten Pfade sind:- '1-12'-'nicht 1-12' (P=)
- 'nicht 1-12'-'1-12' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: ; Jungs: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P=)
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P=)
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 6 rote, 2 blaue , 3 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?
Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": ; "nicht gelb": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'gelb')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| gelb -> gelb | |
| gelb -> nicht gelb | |
| nicht gelb -> gelb | |
| nicht gelb -> nicht gelb |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: gelb: ; nicht gelb: ;
Die relevanten Pfade sind:
'gelb'-'nicht gelb' (P=)
'nicht gelb'-'gelb' (P=)
'gelb'-'gelb' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 7 -> 7 | |
| 7 -> 8 | |
| 7 -> 9 | |
| 8 -> 7 | |
| 8 -> 8 | |
| 8 -> 9 | |
| 9 -> 7 | |
| 9 -> 8 | |
| 9 -> 9 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 7: ; 8: ; 9: ;
Die relevanten Pfade sind:
'7'-'9' (P=)
'9'-'7' (P=)
'8'-'8' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?
| Ereignis | P |
|---|---|
| Mädchen -> Mädchen -> Mädchen | |
| Mädchen -> Mädchen -> Jungs | |
| Mädchen -> Jungs -> Mädchen | |
| Mädchen -> Jungs -> Jungs | |
| Jungs -> Mädchen -> Mädchen | |
| Jungs -> Mädchen -> Jungs | |
| Jungs -> Jungs -> Mädchen | |
| Jungs -> Jungs -> Jungs |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: ; Jungs: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P=)
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P=)
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 23 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 4 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?
Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 23 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 22 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 21 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 = 212520 Möglichkeiten.
Kombinatorik
Beispiel:
Es findet ein Staffellauf im Biathlon der Herren statt. Der Trainer muss 4 Starter und auch die Reihenfolge der Starter nennen. In seinem Team sind 7 geeignete Kandidaten.Wie viele Startmöglichkeiten gibt es?
Für die erste Stelle ist jede(r) Kandidat möglich. Es gibt also 7 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende Kandidat nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 6 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 5 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 840 Möglichkeiten.
