Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

gelb: Man erkennt einen Viertelkreis => p= 1 4

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

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EreignisP
6er -> 6er 1 36
6er -> keine_6 5 36
keine_6 -> 6er 5 36
keine_6 -> keine_6 25 36

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: 1 6 ; keine_6: 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'6er' (P= 1 36 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 36 = 1 36


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal A und 1 mal B"?

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EreignisP
A -> A 9 64
A -> B 9 64
A -> C 3 64
A -> D 3 64
B -> A 9 64
B -> B 9 64
B -> C 3 64
B -> D 3 64
C -> A 3 64
C -> B 3 64
C -> C 1 64
C -> D 1 64
D -> A 3 64
D -> B 3 64
D -> C 1 64
D -> D 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: A: 3 8 ; B: 3 8 ; C: 1 8 ; D: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'A'-'B' (P= 9 64 )
  • 'B'-'A' (P= 9 64 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 64 + 9 64 = 9 32


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 3 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 2 15 ; "nicht NWT": 13 15 ;

EreignisP
NWT -> NWT 1 105
NWT -> nicht NWT 13 105
nicht NWT -> NWT 13 105
nicht NWT -> nicht NWT 26 35

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 2 15 ; nicht NWT: 13 15 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'NWT'-'NWT' (P= 1 105 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 105 = 1 105


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 7 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 7 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

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EreignisP
1 -> 1 7 145
1 -> 2 28 435
1 -> 3 28 435
1 -> 4 49 870
2 -> 1 28 435
2 -> 2 28 435
2 -> 3 32 435
2 -> 4 28 435
3 -> 1 28 435
3 -> 2 32 435
3 -> 3 28 435
3 -> 4 28 435
4 -> 1 49 870
4 -> 2 28 435
4 -> 3 28 435
4 -> 4 7 145

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 7 30 ; 2: 4 15 ; 3: 4 15 ; 4: 7 30 ;

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'1'-'3' (P= 28 435 )
'3'-'1' (P= 28 435 )
'2'-'2' (P= 28 435 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

28 435 + 28 435 + 28 435 = 28 145


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 10 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 13 2 12 1 11 10 10
= 1 13 1 2 1 11 5 5
= 1 286

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nur Summen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 4
1 -> 2 1 8
1 -> 3 1 16
1 -> 4 1 16
2 -> 1 1 8
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 32
2 -> 4 1 32
3 -> 1 1 16
3 -> 2 1 32
3 -> 3 1 64
3 -> 4 1 64
4 -> 1 1 16
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 64
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 2 ; 2: 1 4 ; 3: 1 8 ; 4: 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'3' (P= 1 16 )
  • '3'-'1' (P= 1 16 )
  • '2'-'2' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 16 + 1 16 + 1 16 = 3 16


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 5 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden
EreignisP
Kreuz -> Kreuz 15 92
Kreuz -> Herz 35 276
Kreuz -> Pik 5 138
Kreuz -> Karo 25 276
Herz -> Kreuz 35 276
Herz -> Herz 7 92
Herz -> Pik 7 276
Herz -> Karo 35 552
Pik -> Kreuz 5 138
Pik -> Herz 7 276
Pik -> Pik 1 276
Pik -> Karo 5 276
Karo -> Kreuz 25 276
Karo -> Herz 35 552
Karo -> Pik 5 276
Karo -> Karo 5 138

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: 5 12 ; Herz: 7 24 ; Pik: 1 12 ; Karo: 5 24 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Kreuz'-'Kreuz' (P= 15 92 )
'Herz'-'Herz' (P= 7 92 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 276 )
'Karo'-'Karo' (P= 5 138 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

15 92 + 7 92 + 1 276 + 5 138 = 77 276


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Eine Mathelehrerin war bei 4 SchülerInnen ihrer Klasse mit den Ergebnissen der letzten Klassenarbeit nicht zufrieden. Deswegen möchte sie jetzt diese Schüler immer in kleinen Abfragen erneut überprüfen. Als sie sich eine Reihenfolge überlegen wollte, bemerkt sie, dass es dafür ja ziemlich viele Möglichkeiten gibt. Wie viele genau?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r) möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 4 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 25-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 4er-Gruppen sind so möglich?

Lösung einblenden

Für die erste Stelle ist jede(r/s) Schülerin möglich. Es gibt also 25 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die/das an erster Stelle stehende Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 24 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 23 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 303600 Möglichkeiten, die 25 Möglichkeiten (Schülerin) auf die 4 "Ziehungen" (geloste) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen wurde. Also wären zum Beispiel Anton-Berta-Caesar und Berta-Caesar-Anton zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welche Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 303600 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 303600 24 = 12650 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 25 Elementen (Schülerin) gebildet werden.