Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente

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Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Klasse bastelt für ihr Klassenfest ein Glückrad. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Wir können am Glücksrad entweder die Winkelweite abschätzen und diese dann durch 360° teilen oder direkt den Winkel-Anteil (als Vielfache von Halb-, Viertel- oder Achtels-Kreisen) ablesen:

blau: Man erkennt einen Halbkreis => p= 1 2

grün: Man erkennt einen Kreisausschnitt, der so groß ist wie ein Viertelskreis zusammen mit einem Achtelskreis => p= 3 8

gelb: Man erkennt einen halben Viertelkreis, also einen Achtelskreis => p= 1 8

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": 1 2 ; "nicht prim": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'prim')=1- 1 4 = 3 4

EreignisP
prim -> prim 1 4
prim -> nicht prim 1 4
nicht prim -> prim 1 4
nicht prim -> nicht prim 1 4

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: prim: 1 2 ; nicht prim: 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'prim'-'nicht prim' (P= 1 4 )
  • 'nicht prim'-'prim' (P= 1 4 )
  • 'prim'-'prim' (P= 1 4 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 4 + 1 4 + 1 4 = 3 4


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 mal eine Zahl zu würfeln, die ein Teiler von 6 ist?

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EreignisP
Teiler -> Teiler -> Teiler 8 27
Teiler -> Teiler -> kein Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> Teiler 4 27
Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> Teiler -> Teiler 4 27
kein Teiler -> Teiler -> kein Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> Teiler 2 27
kein Teiler -> kein Teiler -> kein Teiler 1 27

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Teiler: 2 3 ; kein Teiler: 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Teiler'-'Teiler'-'Teiler' (P= 8 27 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 27 = 8 27


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 10 Schüler mit NWT-Profil, 6 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 1 3 ; "nicht NWT": 2 3 ;

EreignisP
NWT -> NWT 3 29
NWT -> nicht NWT 20 87
nicht NWT -> NWT 20 87
nicht NWT -> nicht NWT 38 87

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: NWT: 1 3 ; nicht NWT: 2 3 ;

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'NWT'-'nicht NWT' (P= 20 87 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 20 87 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

20 87 + 20 87 = 40 87


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 21 55
rot -> rot -> blau 9 55
rot -> blau -> rot 9 55
rot -> blau -> blau 9 220
blau -> rot -> rot 9 55
blau -> rot -> blau 9 220
blau -> blau -> rot 9 220
blau -> blau -> blau 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: 3 4 ; blau: 1 4 ;

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'rot'-'rot'-'blau' (P= 9 55 )
'rot'-'blau'-'rot' (P= 9 55 )
'blau'-'rot'-'rot' (P= 9 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 55 + 9 55 + 9 55 = 27 55


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 11 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 15 3 14 2 13 1 12 11 11
= 1 5 1 7 1 13 1 3 11 11
= 1 1365

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nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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EreignisP
1 -> 1 1 25
1 -> 2 8 75
1 -> 3 4 75
2 -> 1 8 75
2 -> 2 64 225
2 -> 3 32 225
3 -> 1 4 75
3 -> 2 32 225
3 -> 3 16 225

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: 1 5 ; 2: 8 15 ; 3: 4 15 ;

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  • '1'-'2' (P= 8 75 )
  • '2'-'1' (P= 8 75 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

8 75 + 8 75 = 16 75


ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 30
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 1 10
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 1 10
Mädchen -> Jungs -> Jungs 1 6
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 1 10
Jungs -> Mädchen -> Jungs 1 6
Jungs -> Jungs -> Mädchen 1 6
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 6

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Mädchen: 2 5 ; Jungs: 3 5 ;

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'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 1 10 )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 1 10 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= 1 10 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 10 + 1 10 + 1 10 = 3 10


Kombinatorik (ohne Binom.)

Beispiel:

Kristin hat die ganze Nacht durch MatheBattle gespielt und ist jetzt erste im Highscore in ihrer Klasse, die aus 23 Schülerinnen und Schülern besteht. Da überlegt sie sich, wie viele Möglichkeiten es eigentlich gibt, wie die ersten 4 Plätze belegt sein können. Berechne diese Anzahl aller Möglichkeiten?

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Für die erste Stelle ist jede(r) SchülerIn möglich. Es gibt also 23 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende SchülerIn nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 22 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 21 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

also 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20 = 212520 Möglichkeiten.

Kombinatorik

Beispiel:

Eine bestimmte Variable soll im Computer mit 12 Bit abgespeichert werden. Ein Bit kann immer nur die Werte 0 und 1 annehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Variable mit verschiedenen Werten zu belegen?

Lösung einblenden

Bei jedem der 12 'Zufallsversuche' gibt es 2 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 12 Ebenen immer 2-fach verzweigt.

Es entstehen so also 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 212 = 4096 Möglichkeiten.