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Aufgabenbeispiele von durch Faktorisieren

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trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ sin( x ) = -3 |:2
sin( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

Nullprodukt (mit 2 Linearfaktoren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( x -2 ) · ( x -7 ) = 0

Lösung einblenden
( x -2 ) ( x -7 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x1 = 2

2. Fall:

x -7 = 0 | +7
x2 = 7

L={ 2 ; 7 }