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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{13}{x^{2}} - \frac{30}{x^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{13}{x^{2}} - \frac{30}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{13}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{30}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 13 x - 30$

0

=

- x^{2} - 13 x - 30

|

+ x^{2}

+ 13 x

+ 30

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13+7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 13-7}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 - \frac{3}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$8 - \frac{3}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$8 \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$8 x - 3$	=	$x \cdot x + 4 x$

8 x - 3

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{3 x + 3}{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{3 x + 3}{x} - 8$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{3 x + 3}{x} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{3 x + 3}{x} - 8$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{3 x + 3}{x} \cdot (3 (x - 2)) - 8 \cdot (3 (x - 2))$	=
$4 x + 3 \frac{(3 x + 3) (x - 2)}{x} - 24 x + 48$	=
$4 x + 3 \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} - 24 x + 48$	=
$3 \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} + 4 x - 24 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$3 \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} + 4 x - 24 x + 48$	=	\|⋅( $x$ )
$3 \frac{3 x^{2} - 3 x - 6}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 24 x \cdot x + 48 \cdot x$	=
$9 x^{2} - 9 x - 18 + 4 x \cdot x - 24 x \cdot x + 48 x$	=
$9 x^{2} - 9 x - 18 + 4 x^{2} - 24 x^{2} + 48 x$	=
$- 11 x^{2} + 39 x - 18$	=

$- 11 x^{2} + 39 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{39^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{1 521 - 792}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 39 \pm \sqrt{729}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 39 + \sqrt{729}}{- 22}$ = $\frac{- 39+27}{- 22}$ = $\frac{- 12}{- 22}$ = $\frac{6}{11}$ ≈ 0.55

x₂ = $\frac{- 39 - \sqrt{729}}{- 22}$ = $\frac{- 39-27}{- 22}$ = $\frac{- 66}{- 22}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{6}{11}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 11$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 11 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 11 x$	=	$- x^{2}$
$a - 11 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $- (2 + 9)$ = -11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 9$ = $18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter