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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- x - 2}{x^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- x - 2}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- x - 2}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- x - 2$

- x^{2}

=

- x - 2

|

+ x

+ 2

$- x^{2} + x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $\frac{- 26 x + 6}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$4 x$	=	$\frac{- 26 x + 6}{x - 4}$	\|⋅( $x - 4$ )
$4 x \cdot (x - 4)$	=	$\frac{- 26 x + 6}{x - 4} \cdot (x - 4)$
$4 x (x - 4)$	=	$- 26 x + 6$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 4)$	=	$- 26 x + 6$
$4 x \cdot x - 16 x$	=	$- 26 x + 6$
$4 x^{2} - 16 x$	=	$- 26 x + 6$

4 x^{2} - 16 x

=

- 26 x + 6

|

+ 26 x

- 6

4 x^{2} + 10 x - 6

= 0 |:2

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5+7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5-7}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{- 5 x + 1}{6 x + 14}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{- 5 x + 1}{6 x + 14} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{4 x}{2 x + 2}$	=	0
$\frac{- 5 x + 1}{2 (3 x + 7)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{4 x}{2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (3 x + 7)$ weg!

$\frac{- 5 x + 1}{2 (3 x + 7)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{4 x}{2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 (3 x + 7)$ )
$\frac{- 5 x + 1}{2 (3 x + 7)} \cdot (2 (3 x + 7)) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (2 (3 x + 7)) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (3 x + 7))$	=
$- 5 x + 1 + 2 x + 2 + 2 \frac{2 x (3 x + 7)}{x + 1}$	=
$- 5 x + 1 + 2 x + 2 + 2 \frac{6 x^{2} + 14 x}{x + 1}$	=
$2 \frac{6 x^{2} + 14 x}{x + 1} - 5 x + 2 x + 1 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 \frac{6 x^{2} + 14 x}{x + 1} - 5 x + 2 x + 1 + 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$2 \frac{6 x^{2} + 14 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1)$	=
$12 x^{2} + 28 x - 5 x (x + 1) + 2 x (x + 1) + x + 1 + 2 x + 2$	=
$12 x^{2} + 28 x + (- 5 x^{2} - 5 x) + (2 x^{2} + 2 x) + x + 1 + 2 x + 2$	=
$9 x^{2} + 28 x + 3$	=

$9 x^{2} + 28 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 108}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{676}}{18}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{676}}{18}$ = $\frac{- 28+26}{18}$ = $\frac{- 2}{18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{676}}{18}$ = $\frac{- 28-26}{18}$ = $\frac{- 54}{18}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 20$
$x^{2} + a x + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter