= $\pi$ ${\left[\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot {\left(3+3\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+3\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 6^3-\frac{1}{3}\cdot 3^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{3}\cdot 216-\frac{1}{3}\cdot 27\right)$

= $\pi ·\left(72-9\right)$

= $\pi ·63$

= $63\pi$

≈ 197,92

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{x}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(\frac{4}{3x+2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\left(\frac{4}{x}\right)}^2-{\left(\frac{4}{3x+2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{16}{x^2}-\frac{16}{{\left(3x+2\right)}^2}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3}{\left(3x+2\right)}^{-1}-16x^{-1}\right]}_1^2$

= $\pi$ ${\left[\frac{16}{3\left(3x+2\right)}-\frac{16}{x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·(\frac{16}{3\left(3\cdot 2+2\right)}-\frac{16}{2}-\left(\frac{16}{3\left(3\cdot 1+2\right)}-\frac{16}{1}\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\left(6+2\right)}-16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{16}{3\left(3+2\right)}-16\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3\cdot 8}-8-\left(\frac{16}{3\cdot 5}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)-8-\left(\frac{16}{3}\cdot \left(\frac{1}{5}\right)-16\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-8-\left(\frac{16}{15}-16\right))$

= $\pi ·(\frac{2}{3}-\frac{24}{3}-\left(\frac{16}{15}-\frac{240}{15}\right))$

= $\pi ·(-\frac{22}{3}-1·\left(-\frac{224}{15}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{22}{3}+\frac{224}{15}\right)$

= $\pi ·\frac{38}{5}$

= $\frac{38}{5}\pi$

≈ 23,876

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $e^{\mathrm{0,5}x}-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{\mathrm{0,5}x}-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[e^x-4e^{\mathrm{0,5}x}+x\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·(e^1-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}+1-\left(e^0-4e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}+0\right))$

= $\pi ·(e-4e^{\mathrm{0,5}}+1-\left(1-4e^0+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-\left(1-4+0\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e-1·\left(-3\right))$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+1+e+3)$

= $\pi ·(-4e^{\mathrm{0,5}}+4+e)$

≈ 0,388