Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 t x - 5$

$f'(x) =$ $- 2 t + 0$

= $- 2 t$

Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- x \cdot e^{- 3 t x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x \cdot e^{- 3 t x}$

$f'(x) =$ $- 1 \cdot e^{- 3 t x} - x \cdot e^{- 3 t x} \cdot (- 3 t)$

= $- e^{- 3 t x} - x \cdot (- 3 t e^{- 3 t x})$

= $- e^{- 3 t x} + 3 t x \cdot e^{- 3 t x}$

= $e^{- 3 t x} \cdot (3 t x - 1)$

= $(3 t x - 1) \cdot e^{- 3 t x}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{3} - 2 t x$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $34 x - 5$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $3 x^{3} - 2 t x$

$f'(x) =$ $9 x^{2} - 2 t$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ )= $9 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 t$ = $- 2 t + 36$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $34$ x-5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $- 2 t + 36$ soll gleich $34$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 2 t + 36$ = $34$ nach t auf.

$- 2 t + 36$	=	$34$	\| $- 36$
$- 2 t$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} + 2 t x$ im Punkt B( $2$ |f( $2$ )) parallel zur Gerade y= $- \frac{3094}{9} x - 8$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x^{4} + 2 t x$

$f'(x) =$ $- 8 t^{2} x^{3} + 2 t$

In diese Ableitung setzen wir x= $2$ ein:

f'( $2$ ) = $- 8 t^{2} \cdot 2^{3} + 2 t$ = $- 64 t^{2} + 2 t$ = $- 64 t^{2} + 2 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- \frac{3094}{9}$ x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $2$ )= $- 64 t^{2} + 2 t$ soll gleich $- \frac{3094}{9}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 64 t^{2} + 2 t$ = $- \frac{3094}{9}$ nach t auf.

- 64 t^{2} + 2 t

=

- \frac{3094}{9}

|

+ \frac{3094}{9}

$- 64 t^{2} + 2 t + \frac{3094}{9}$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 64) \cdot \frac{3094}{9}}}{2 \cdot (- 64)}$

t_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + \frac{792064}{9}}}{- 128}$

t_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{\frac{792100}{9}}}{- 128}$

t₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{\frac{792100}{9}}}{- 128}$ = $\frac{- 2+\frac{890}{3}}{- 128}$ = $\frac{\frac{884}{3}}{- 128}$ = $- \frac{221}{96}$ ≈ -2.3

t₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{\frac{792100}{9}}}{- 128}$ = $\frac{- 2-\frac{890}{3}}{- 128}$ = $\frac{- \frac{896}{3}}{- 128}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

Für t= $- \frac{221}{96}$ und t= $\frac{7}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Aufgabenbeispiele von mit Parameter

Ableiten mit Parameter (BF)

Ableiten mit Parameter

gegeb. Tangentensteigung (BF)

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0