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Aufgabenbeispiele von mit Parameter

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Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 e^{x - 2 t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 2 t}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 2 t} \cdot 1$

= $3 e^{x - 2 t}$

Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $e^{3 t x + 2 t}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 t x + 2 t}$

$f'(x) =$ $e^{3 t x + 2 t} \cdot 3 t$

= $3 t e^{3 t x + 2 t}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} - 2 t x^{2}$ im Punkt B( $- 2$ |f( $- 2$ )) parallel zur Gerade y= $20 x + 9$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $x^{3} - 2 t x^{2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 4 t x$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 2$ ein:

f'( $- 2$ )= $3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 t \cdot (- 2)$ = $8 t + 12$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $20$ x+9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 2$ )= $8 t + 12$ soll gleich $20$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $8 t + 12$ = $20$ nach t auf.

$8 t + 12$	=	$20$	\| $- 12$
$8 t$	=	$8$	\|: $8$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $t x^{2} + t^{2} x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $3 x - 8$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $t x^{2} + t^{2} x$

$f'(x) =$ $2 t x + t^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $2 t \cdot (- 1) + t^{2}$ = $- 2 t + t^{2}$ = $t^{2} - 2 t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $3$ x-8 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $t^{2} - 2 t$ soll gleich $3$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $t^{2} - 2 t$ = $3$ nach t auf.

t^{2} - 2 t

3

- 3

$t^{2} - 2 t - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

t_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

t_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

t₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

t₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Für t= $- 1$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.