Da f sowohl gerade ( $-4x^2$) als auch ungerade Hochzahlen ( $-2x^9$) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{{\left(-x\right)}^3}{{\left(-x\right)}^3+1}$ = $-\frac{x^3}{-x^3+1}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x^3}{x^3+1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $-\frac{x^3}{-x^3+1}$
weder gleich f(x) = $\frac{x^3}{x^3+1}$ noch gleich -f(x) = $-\frac{x^3}{x^3+1}$ = $-\frac{x^3}{x^3+1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $5x^4$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $5x^4$ gerade ist, hat $x^4$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $5$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $5x^4$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $5x^4-5x^3+3x^2+5$ → $\infty$

x → + ∞

$x^4$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $5$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $5x^4$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $5x^4-5x^3+3x^2+5$ → $\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 2 als Grad.

Für f(x) = $x^2$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^2$ = 1 ist aber leider nicht -5. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -5 -1 = -6 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^2$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $x^2-6$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet