Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+5$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $1$:

f'''($1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($1$)≠0, haben wir bei x = $1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($1$) = $1^3-3\cdot 1^2+5$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($1$| $3$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(1)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(1)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+5$ = $1-3\cdot 1+5$ = $1-3+5$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(1| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-3$⋅1 + c

$3$ = $-3$ + c | + $3$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $6$

Jetzt brauchen wir noch die Schnittpunkte der Wendetangente mit der x- und der y-Achse:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir bereits, das ist ja der y-Achsenabschnitt c = 6.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse können wir berechnen, in dem wir in die Tangentengleichung y = 0 einsetzen:

$-3x+6$	=	0	| $-6$
$-3x$	=	$-6$	|:($-3$)
$x$	=	$2$

Die Wendetangente schneidet somit die x-Achse in N( $2$|0).

Da die gesuchte Fläche ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 und $2$ ist, gilt für den Flächeninhalt:

A = $\frac{1}{2}$ $2$ ⋅ 6 = $6$.

1. x-Bereich, wo f(x) >$\frac{62}{5}$

   Wir suchen hierfür die x-Stellen, an denen der Funktionsterm den Wert $\frac{62}{5}$ einnimmt:

   $-\frac{2}{5}{x}^2+4x+4$	=	$\frac{62}{5}$	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{2}{5}{x}^2+4x+4\right)$	=	$62$
   $-2x^2+20x+20$	=	$62$	| $-62$

   $-2x^2+20x-42$ = 0 |:2

   $-x^2+10x-21$ = 0

   eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

   x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·\left(-1\right)·\left(-21\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

   x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{100-84}}{-2}$

   x_1,2 = $\frac{-10\pm \sqrt{16}}{-2}$

   x₁ = $\frac{-10+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

   x₂ = $\frac{-10-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>10</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-14}{-2}$ = $7$

   .

   Bei $3$ und $7$ sind also die einzigen Schnittstellen und der Wert dazwischen f(5) = $-\frac{2}{5}\cdot 5^2+4\cdot 5+4$ = 14 ist größer.

   In den 4 s zwischen $3$ s und $7$ s beträgt der Wert mindestens $\frac{62}{5}$ Liter.

2. x-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x-Wert des Hochpunkts.

   Detail-Rechnung für den Hochpunkt ($5$| $14$) einblenden

   $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{5}{x}^2+4x+4$

   Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

   =>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{5}x+4+0$

   = $-\frac{4}{5}x+4$

   $\text{f''(x)}=$ $-\frac{4}{5}+0$

   = $-\frac{4}{5}$

   Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

   (Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

   Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

   $-\frac{4}{5}x+4$	=	0	|⋅ 5
   $5\left(-\frac{4}{5}x+4\right)$	=	0
   $-4x+20$	=	0	| $-20$
   $-4x$	=	$-20$	|:($-4$)
   $x$	=	$5$

   Die Lösung x= $5$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

   Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

   Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
   Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

   f''($5$) = $-\frac{4}{5}$= $-\frac{4}{5}$= $-\frac{4}{5}$ <0

   Das heißt bei x = $5$ ist ein Hochpunkt.
   Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
   f($5$) = $-\frac{2}{5}\cdot 5^2+4\cdot 5+4$ = $14$
   Man erhält so den Hochpunkt H:($5$| $14$)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei $5$.

   Der Vollständigkeit wegen müssen wir noch die Randwerte untersuchen, an denen ja ein noch größerer Funktionswert auftreten könnte:

   f(0) = 4 und f(10) = 4 sind aber beide nicht größer als der y-Wert des Hochpunkt.

   Der größte Wert wird also nach $5$ s erreicht.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert, also der y-Wert des Hochpunkts.

   (die Berechnungen der Extrempunkte und die Randwertuntersuchungen wurde ja bereits oben durchgeführt)

   Der einzige Hochpunkt im gegebenen Bereich liegt also bei ($5$| $14$).

   Der größte Wert beträgt somit $14$ Liter.