Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 20 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 blaue Kugeln gezogen werden.
Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.
P(X = 2) =
Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.
Der Binomialkoeffizient vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 2 mal getroffen und 18 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=2 sein.
Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser
Pfade an. Da ja in jedem Pfad 2 Treffer und
18 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
⋅ oder eben (einfach vertauscht) ⋅
Somit muss d = 0.3, sowie c = 18 und e = 2 sein.
Bernoulli-Formel vervollständigen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 10 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt.
Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = + die Wahrscheinlichkeit angeben?
Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.
Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine blaue Kugel gezogen)Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird eine rote Kugel gezogen)
Beim ersten Summand steht ja die Gegenwahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=10 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bzw. 10 Nicht-Treffer an, also P(X=0) bzw. P(Y=10).
Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 1 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer sein, also P(X=1) bzw. P(Y=9).
Zusammengefasst ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit P(X=0)+P(X=1)=P(X≤1) bzw. P(Y≥9)
Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 1 mal wird eine blaue Kugel gezogen.
Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 0.3.
Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 10 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 9 bestimmen.
Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 1 Treffer und 9 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit , also ist a = 1 (hier ist auch a=9 möglich).
Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen
Beispiel:
Ein normaler Würfel wird 19 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass, Von den ersten 13 Versuchen höchstens 3 mal eine Sechs gewürfelt wird und von den restlichen Versuchen mindestens 2 Sechser gewürfelt werden?
Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 13
Durchgänge:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=13 und p=.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als ≈ 0.8419.
Analog betrachten wir nun die restlichen 6 Durchgänge:
Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=6 und p=.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als = 1- ≈ 0.2632.
Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:
P = ⋅ = 0.8419 ⋅ 0.2632 ≈ 0.2216
zwei unabhängige Binom.
Beispiel:
Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 50% und oben 20%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 2 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 2 kommen kann:
- 0 mal unten und 2 mal oben
- 1 mal unten und 1 mal oben
- 2 mal unten und 0 mal oben
0 mal unten und 2 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.
= ≈ 0.125Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.096Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.125 ⋅ 0.096 = 0.012
1 mal unten und 1 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.
= ≈ 0.375Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.384Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.375 ⋅ 0.384 = 0.144
2 mal unten und 0 mal oben
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.5.
= ≈ 0.375Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.2.
= ≈ 0.512Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.375 ⋅ 0.512 = 0.192
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:
0.012 + 0.144 + 0.192 = 0.348
feste Reihenfolge im Binomialkontext
Beispiel:
8 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 8 Versuchen mit der Formel von Bernoulli
berechnen:
⋅
⋅
Dabei gibt ja
Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen
XXXXOOOO
OXXXXOOO
OOXXXXOO
OOOXXXXO
OOOOXXXX
Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅
Kombination Binom.-Baumdiagramm
Beispiel:
Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 8% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 25 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 4 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und unbekanntem Parameter p.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Treffer bei 25 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten
von 0.08, also
Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=25 und p=0.08.
(TI-Befehl: binomcdf(25,0.08,4))
Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.9549) und 'nicht ok'(p=0.0451).
Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.
Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'
Ereignis | P |
---|---|
kiste ok -> kiste ok | |
kiste ok -> nicht ok | |
nicht ok -> kiste ok | |
nicht ok -> nicht ok |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: kiste ok:
- 'kiste ok'-'kiste ok' (P=
)0,9118
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten: