Da g(x) = f(x) +2 gilt, geht der (rote) Graph von g durch Verschiebung um 2 in y-Richtung - also um 2 nach oben - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor.

Der Tiefpunkt T bleibt also ein Tiefpunkt T, der y-Wert wird jedoch um 2 nach oben verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Tiefpunkt T(-3|-2).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= ${\left(x+3\right)}^2-4$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f(x) +2 = ${\left(x+3\right)}^2-2$.

Da g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) gilt, geht der (rote) Graph von g durch Streckung um $2$ in x-Richtung aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Das heißt auf jeder Höhe ist der Abstand zur y-Achse vom gestreckten (roten) Graph $2$ mal so groß ist wie vom ursprünglichen (schwarzen) Graph

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der x-Wert wird jedoch mit dem Faktor $2$ multipliziert, weil ja bei x = 2 der größte Wert bei f(x) auftritt, bei f($\frac{1}{2}$⋅x) muss somit für x = $4$ , also bei f($\frac{1}{2}$⋅4) der größte Wert auftreten.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(4|1).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

Der schwarz gezeichnete Graph ist der Originalgraph von f(x)= $-{\left(x-2\right)}^2+1$, der rot gezeichneten Graph gehört zu g(x) = f($\frac{1}{2}$ ⋅ x) = $-{\left(\frac{1}{2}x-2\right)}^2+1$.

Der (blaue) Graph von f(x +3) geht durch Verschiebung um -3 in x-Richtung - also um 3 nach links - aus dem (schwarzen) Graph von f hervor. Der (blaue) Graph von f(x +3) hat dann seinen Hochpunkt H bei x = -1.

Da g(x) = f(x +3) -4 gilt, geht dann der (rote) Graph von g durch Verschiebung um -4 in y-Richtung - also um 4 nach unten - aus dem (blauen) Graph von f hervor.

Der Hochpunkt H bleibt also ein Hochpunkt H, der y-Wert wird jedoch um 4 nach unten verschoben.

Somit besitzt der Graph von g einen Hochpunkt H(-1|0).

Der abgebildete Graph ist natürlich nur einer von unendlich vielen möglichen.

$\text{f(x)}=$ $x^2+8x+1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+8+0$

= $2x+8$

$\text{f''(x)}=$ $2+0$

= $2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$2x+8$	=	0	| $-8$
$2x$	=	$-8$	|:$2$
$x$	=	$-4$

Die Lösung x= $-4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($-4$) = $2$= $2$= $2$ >0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = ${\left(-4\right)}^2+8\cdot \left(-4\right)+1$ = $-15$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-4$| $-15$)

$\text{f(x)}=$ $x^3+9x^2+15x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+18x+15+0$

= $3x^2+18x+15$

$\text{f''(x)}=$ $6x+18+0$

= $6x+18$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^2+18x+15$ = 0 |:3

$x^2+6x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

Die Lösungen $-5$, $-1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-5$

f''($-5$) = $6\cdot \left(-5\right)+18$= $-30+18$= $-12$ <0

Das heißt bei x = $-5$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-5$) = ${\left(-5\right)}^3+9\cdot {\left(-5\right)}^2+15\cdot \left(-5\right)-2$ = $23$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-5$| $23$)

2.: x=$-1$

f''($-1$) = $6\cdot \left(-1\right)+18$= $-6+18$= $12$ >0

Das heißt bei x = $-1$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-1$) = ${\left(-1\right)}^3+9\cdot {\left(-1\right)}^2+15\cdot \left(-1\right)-2$ = $-9$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($-1$| $-9$)

$\text{f(x)}=$ $x^3+3x^2-24x-2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $3x^2+6x-24+0$

= $3x^2+6x-24$

$\text{f''(x)}=$ $6x+6+0$

= $6x+6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3x^2+6x-24$ = 0 |:3

$x^2+2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-8}{2}$ = $-4$

Die Lösungen $-4$, $2$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-4$

f''($-4$) = $6\cdot \left(-4\right)+6$= $-24+6$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $-4$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-4$) = ${\left(-4\right)}^3+3\cdot {\left(-4\right)}^2-24\cdot \left(-4\right)-2$ = $78$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-4$| $78$)

2.: x=$2$

f''($2$) = $6\cdot 2+6$= $12+6$= $18$ >0

Das heißt bei x = $2$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($2$) = $2^3+3\cdot 2^2-24\cdot 2-2$ = $-30$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($2$| $-30$)

Wesentlich einfacher wäre es ja ein Funktions-Beispiel mit einen Hochpunkt H(0|0) im Ursprung zu finden, der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.

Die einfachste Möglichkeit für einen Hochpunkt H(0|0) ist wohl der Funktionsterm f₁(x)= $-x^2$

Hier gilt dann
f₁'(x)= $-2x$, f₁''(x)= $-2$, und somit f₁''(0) = -2 < 0.

Somit hat der Graph der Funktion $-x^2$ einen Hochpunkt H(0|0), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt (siehe schwarzer Graph in der nebenstehenden Abblidung).

Wenn wir nun den Graph um -3 in x-Richtung verschieben, so ändert sich ja nichts an der Form des Graphen (sondern nur an dessen Lage). $-{\left(x+3\right)}^2$ hat also an der Stelle x = -3 genau die gleichen Ableitungswerte wie $-x^2$ an der Stelle x = 0.

Auch bei Verschiebung in y-Richtung ändert sich ja nichts an der Form oder den Ableitungswerten.

Somit hat der Graph von $\text{f(x)}=$ $-{\left(x+3\right)}^2-2$ einen Hochpunkt H(-3|-2), der sich mit Hilfe der 2. Ableitung nachweisen lässt.