Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-2\right)-5$

= $8-5$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5\cdot \left(-2\right)$ = $-2\cdot 4+10$ = $-8+10$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $3$⋅( $-2$) + c

$2$ = $-6$ + c | + $6$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $8$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x+0$

= $x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 1^2+5$ = $\frac{1}{2}\cdot 1+5$ = $\frac{1}{2}+5$ = $\frac{1}{2}+\frac{10}{2}$ = $\frac{11}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{11}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{11}{2}$ = $1$⋅ $1$ + c

$\frac{11}{2}$ = $1$ + c | $-1$

$\frac{9}{2}$ = c

also c= $\frac{9}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x + $\frac{9}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{4}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x-\frac{4}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)-\frac{4}{3}$

= $\frac{1}{2}-\frac{4}{3}$

= $\frac{3}{6}-\frac{8}{6}$

= $-\frac{5}{6}$

≈ -0.83

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{6}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{6}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot {\left(-1\right)}^2-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{4}{3}$ = $-\frac{1}{4}+\frac{4}{3}$ = $-\frac{3}{12}+\frac{16}{12}$ = $\frac{13}{12}$ ≈ 1.08

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{13}{12}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{13}{12}$ = $\frac{6}{5}$⋅( $-1$) + c

$\frac{13}{12}$ = $-\frac{6}{5}$ + c | + $\frac{6}{5}$

$\frac{137}{60}$ = c

also c= $\frac{137}{60}$ ≈ 2.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{6}{5}$⋅x + $\frac{137}{60}$ oder y=1.2x +2.28

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

f'(-1) = $\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{16}{x}^4-47x+7$ ab:

f'(x) = $\frac{3}{4}{x}^3-47$

Es muss gelten:

$\frac{3}{4}{x}^3-47$	=	$1$	| $+47$
$\frac{3}{4}{x}^3$	=	$48$	|⋅$\frac{4}{3}$
$x^3$	=	$64$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-2\right)+3$

= $-4+3$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)$ = $4-6$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-1$⋅( $-2$) + c

$-2$ = $2$ + c | $-2$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x $-4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-x-4$

$-x-4$	=	0	| $+4$
$-x$	=	$4$	|:($-1$)
$x$	=	$-4$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-4$.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $4-\frac{1}{16}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{8}t$

= $-\frac{1}{8}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{8}\cdot 4$

= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $4-\frac{1}{16}\cdot 4^2$ = $4-\frac{1}{16}\cdot 16$ = $4-1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-\frac{1}{2}$⋅4 + c

$3$ = $-2$ + c | + $2$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{2}$⋅t + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{1}{2}t+5$

$-\frac{1}{2}t+5$	=	0	|⋅ 2
$2\left(-\frac{1}{2}t+5\right)$	=	0
$-t+10$	=	0	| $-10$
$-t$	=	$-10$	|:($-1$)
$t$	=	$10$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $10$.