Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-12\cdot 0^2+5$

= $-12\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^3+5\cdot 0$ = $-4\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $5$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+0$

= $-\frac{3}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot 1$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 1^2-4$ = $-\frac{3}{4}\cdot 1-4$ = $-\frac{3}{4}-4$ = $-\frac{3}{4}-\frac{16}{4}$ = $-\frac{19}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{19}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{19}{4}$ = $-\frac{3}{2}$⋅ $1$ + c

$-\frac{19}{4}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$-\frac{13}{4}$ = c

also c= $-\frac{13}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅x $-\frac{13}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-2\right)$

= $-12$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{12}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{12}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^2+3$ = $3\cdot 4+3$ = $12+3$ = $15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$15$ = $\frac{1}{12}$⋅( $-2$) + c

$15$ = $-\frac{1}{6}$ + c | + $\frac{1}{6}$

$\frac{91}{6}$ = c

also c= $\frac{91}{6}$ ≈ 15.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{12}$⋅x + $\frac{91}{6}$ oder y=0.08x +15.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3-3x^2+4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{9}{2}{x}^2-6x+0$

f'(-1) = $-\frac{9}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{9}{2}\cdot 1+6$ = $-\frac{9}{2}+6$ = $\frac{3}{2}$ ≈ 1.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $\frac{3}{2}$)) ≈ 56.3°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{10}{x}^4-51x-7$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{5}{x}^3-51$

Es muss gelten:

$-\frac{2}{5}{x}^3-51$	=	$-1$	| $+51$
$-\frac{2}{5}{x}^3$	=	$50$	|⋅ $\left(-\frac{5}{2}\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2-3$ = $-2\cdot 1-3$ = $-2-3$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-4$⋅ $1$ + c

$-5$ = $-4$ + c | + $4$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x $-1$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-4x-1$

$-4x-1$	=	0	| $+1$
$-4x$	=	$1$	|:($-4$)
$x$	=	$-\frac{1}{4}$ = -0.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{1}{4}$ ≈ -0.25.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{56}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{14}{t}^3$

= $-\frac{1}{14}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{1}{14}\cdot 3^3$

= $-\frac{1}{14}\cdot 27$

= $-\frac{27}{14}$

≈ -1.93

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{14}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $5-\frac{1}{56}\cdot 3^4$ = $5-\frac{1}{56}\cdot 81$ = $5-\frac{81}{56}$ = $\frac{280}{56}-\frac{81}{56}$ = $\frac{199}{56}$ ≈ 3.55

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{199}{56}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{199}{56}$ = $-\frac{27}{14}$⋅3 + c

$\frac{199}{56}$ = $-\frac{81}{14}$ + c | + $\frac{81}{14}$

$\frac{523}{56}$ = c

also c= $\frac{523}{56}$ ≈ 9.34

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{14}$⋅t + $\frac{523}{56}$ oder y=-1.93t +9.34

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{14}t+\frac{523}{56}$

$-\frac{27}{14}t+\frac{523}{56}$	=	0	|⋅ 56
$56\left(-\frac{27}{14}t+\frac{523}{56}\right)$	=	0
$-108t+523$	=	0	| $-523$
$-108t$	=	$-523$	|:($-108$)
$t$	=	$\frac{523}{108}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{523}{108}$ ≈ 4.84.