Da unsere Zahl 0,77 nach dem Komma 2 Stellen hat, verschieben wir das Komma im Zähler um 2 Stellen nach links und wählen dafür als Nenner 100, also:

0,77 = $\frac{77}{100}$

Wir erweitern den Bruch mit 2 damit wir im Nenner eine Zehner-Potenz haben (eine 1 und lauter Nullen).

$\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{10}$

Jetzt können wir einfach das Komma im Zähler um 1 Stellen nach links verschieben, um den Nenner loszuwerden:

$\frac{4}{10}$ = $\frac{\mathrm{0,4}}{1}$ = 0,4

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{2}{2}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 3, weil die Markierung eben auf dem 3-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{3}{2}$

Jetzt müssen wir eben noch den Bruch auf den Nenner 10 erweitern, um ihn in Dezimalschreibweise angeben zu können:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{15}{10}$ = 1,5

Da die Zahlen 3 Stellen oder weniger hinter dem Komma haben, können wir alle Dezimalzahlen auch als Brüch mit 1000 im Nenner schreiben:

0,712 = $\frac{712}{1000}$

0,7 = $\frac{700}{1000}$

0,698 = $\frac{698}{1000}$

Jetzt können wir einfach die Zähler sortieren:

698 < 700 < 712

Somit gilt für die gegebenen Dezimalzahlen:

0,698 < 0,7 < 0,712

Wir skizzieren am besten einen Zahlenstrahl und skalieren diesen mit Strichen immer nach 0.1, weil ja die beiden Zahlen bis zu 1 Stelle hintern dem Komma haben.

So erkennen wir, dass die Mitte zwischen 0,3 und 0,8 gerade in der Mitte zwischen den Strichchen von 0,5 und 0.6 liegen muss.

Diese Mitte liegt zwischen $\frac{5}{\mathrm{10}}$=$\frac{\mathrm{50}}{\mathrm{100}}$ und $\frac{6}{\mathrm{10}}$=$\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{100}}$, also bei $\frac{\mathrm{55}}{\mathrm{100}}$.

Die Mitte von 0,3 und 0,8 ist also: 0,55

Wir haben ja 6 Hunderter + 0 Zehner + 1 Einer, 0 zehntel,0 hundertstel und 0 tausendstel.

Also gilt für unser Dezimalzahl 6⋅100 + 0⋅10 + 1⋅1 + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{10}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{100}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{1000}}$
= 6⋅100 + 0⋅10 + 1⋅1 + 0⋅0,1 + 0⋅0,01 + 0⋅0,001
= 600 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0
=601

Um $-\frac{9}{7}$ und -1.5 besser vergleichen zu können, wandeln wir -1.5 in einen Bruch um: -1,5 = $-\frac{15}{10}$ = $-\frac{3}{2}$

Vergleich von $-\frac{9}{7}$ und -1.5=$-\frac{3}{2}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{9}{7}$ = $\frac{18}{14}$

$\frac{3}{2}$ = $\frac{21}{14}$

Also gilt: $\frac{9}{7}$ = $\frac{18}{14}$ > $\frac{21}{14}$ = $\frac{3}{2}$.

Somit gilt für die positiven Brüche: $\frac{9}{7}$ < $\frac{3}{2}$
Für die negativen Werte gilt also $-\frac{9}{7}$ > $-\frac{3}{2}$= -1.5 (Bei positiven Werten ist die größere Zahl ja immer weiter rechts auf dem Zahlenstrahl. Weil das negative Vorzeichen die Position aber an der 0 spiegelt, landet der betragsmäßig größere Wert dann weiter links)

Vergleich von $\frac{2}{13}$ und $\frac{3}{13}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch (betragsmäßig) größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 13 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 13 teilt). Es gilt hier also also $\frac{2}{13}$ < $\frac{3}{13}$

Vergleich von $-\frac{7}{9}$ und $-\frac{7}{10}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch (betragsmäßig) größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Somit gilt für die positiven Brüche: $\frac{7}{9}$ > $\frac{7}{10}$
Für die negativen Werte gilt also $-\frac{7}{9}$ < $-\frac{7}{10}$ (Bei positiven Werten ist die größere Zahl ja immer weiter rechts auf dem Zahlenstrahl. Weil das negative Vorzeichen die Position aber an der 0 spiegelt, landet der betragsmäßig größere Wert dann weiter links)