Wir können insgesamt 8 Sektoren erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 8 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{8}$

1 h sind ja 60 min.

Also sind eine $\frac{1}{3}$ h doch gerade 60 min : 3 = 20 min.

Somit sind eine $\frac{2}{3}$ h das gleiche wie 20 min ⋅ 2 = 40 min.

Ein $\frac{1}{2}$ von 6 Euro sind 6 : 2 = 3 Euro.

Zuerst rechnen wir 1kg in 1000 g um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 1000 g sind 1000 g : 4 = 250 g.

$\frac{3}{4}$ von 1000 g sind also 3 ⋅ 250 g = 750 g.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 60 s sind 60 s : 4 = 15 s.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 5:

$\frac{5}{4}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 5}}{\mathrm{4\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{25}{20}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (21) und Nenner (42) sind:

$\frac{21}{42}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{7}{14}$ $\stackrel{\mathrm{k(7)}}{=}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{21}{42}$ = $\frac{1}{2}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 21 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 5 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 5 = 20 erweitern.

$\frac{4}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 20}}{\mathrm{5\; \cdot \; 20}}$ = $\frac{80}{100}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{100}}$ = 25%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 10 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{\mathrm{10}}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{10}}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 11, weil die Markierung eben auf dem 11-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{11}{10}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{1}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{1}{4}$ = $-\frac{12}{4}$ $-\frac{1}{4}$ = $-\frac{13}{4}$

Vergleich von $\frac{2}{3}$ und $\frac{1}{2}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{2}{3}$ > $\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{3}$ > $\frac{1}{2}$

Vergleich von $\frac{6}{11}$ und $\frac{5}{11}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 11 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 11 teilt). Es gilt hier also $\frac{6}{11}$ > $\frac{5}{11}$

Vergleich von $\frac{11}{5}$ und $\frac{11}{4}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{11}{5}$ < $\frac{11}{4}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 6.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{5}{11}$ = $\frac{10}{22}$ und $\frac{6}{11}$ = $\frac{12}{22}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 10 und 12, nämlich 11, somit ist also $\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{22}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{5}{11}$ = $\frac{10}{22}$ und $\frac{6}{11}$ = $\frac{12}{22}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 12 im neunen Nenner steht:

$-\frac{7}{6}$ = $-\frac{14}{12}$ und $-\frac{1}{4}$ = $-\frac{3}{12}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 14 und 3.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{14}{12}$ = $-\frac{28}{24}$ und $-\frac{3}{12}$ = $-\frac{6}{24}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -28 und -6, nämlich $\frac{\mathrm{28\; +\; 6}}{2}$ = -17, somit ist also $-\frac{17}{24}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{7}{6}$ = $-\frac{28}{24}$ und $-\frac{1}{4}$ = $-\frac{6}{24}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{\mathrm{4\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $2$ + $\frac{1}{2}$ = $2\frac{1}{2}$

$\frac{13}{5}$ = $\frac{\mathrm{10\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{10}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $2$ + $\frac{3}{5}$ = $2\frac{3}{5}$

$1\frac{2}{3}$

Jetzt sieht man sofort, dass $1\frac{2}{3}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $2\frac{1}{2}$ oder $2\frac{3}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{5}$ betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass $\frac{1}{2}$ die kleinere Zahl sein muss.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{10}$ < $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$1\frac{2}{3}$ < $2\frac{1}{2}$ < $2\frac{3}{5}$ , also

$1\frac{2}{3}$ < $\frac{5}{2}$ < $\frac{13}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

53 = 45 + 8 = 5⋅9 + 8

also gilt:

$\frac{53}{9}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 9\; +\; 8}}{9}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 9}}{9}$ + $\frac{8}{9}$ = 5 + $\frac{8}{9}$

Somit gilt: $\frac{53}{9}$ = $5\frac{8}{9}$