Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie oft darf man ihn höchstens foulen und an die Freiwurflinie schicken, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 26 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
27	0.9419
28	0.7848
29	0.565
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.9}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.9⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.565 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Beispiel:

Ein Scherzkeks in einer Glückskeksfabrik backt in jeden achten Glückskeks eine scharfe Peperoni ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 19 und höchstens 22 Glückskekse mit einer Peproni zu erwischen, wenn man 97 Glückskekse kauft?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.125.

$P_{0.125}^{97} (20 \leq X \leq 22)$ =

...

17

18

19

20

21

22

23

24

...

P_{0.125}^{97} (X \leq 22)

-

P_{0.125}^{97} (X \leq 19)

≈ 0.9983 - 0.9839 ≈ 0.0144
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.125,22) - binomcdf(97,0.125,19))

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 12er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 2 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥2)=1-P(X≤1)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9968
$\frac{1}{3}$	0.946
$\frac{1}{4}$	0.8416
$\frac{1}{5}$	0.7251
$\frac{1}{6}$	0.6187
$\frac{1}{7}$	0.5282
$\frac{1}{8}$	0.4533
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ = 1- $P_{p}^{12} (X \leq 1)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \geq 2)$ ('mindestens 2 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft hat 85 Plätze in ihrem Flugzeug. Trotzdem werden 90 Flugtickets verkauft. Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ticketkäufer auch tatsächlich mitfliegt, höchstens sein, dass das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht überbucht ist (also dass alle mitfliegen können)?

Lösung einblenden

p	P(X≤k)
...	...
0.86	0.9969
0.87	0.9936
0.88	0.9872
0.89	0.9752
0.9	0.9535
0.91	0.9161
0.92	0.8555
...	...

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \leq 85)$ =0.9 (oder mehr)

Diese Gleichung gibt man also in den GTR als Funktion ein, wobei das variable p eben als X gesetzt werden muss.
(TI-Befehl: y1=binomcdf(90,X,85) - dabei darauf achten, dass X nur zwischen 0 und 1 sein darf - bei TblSet sollte deswegen Δtable auf 0.01 gesetzt werden)

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei p=0.91 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 0.9 ist.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 78 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so bis zu 18 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.25.

P_{0.25}^{78} (X \leq 18)

=

P_{0.25}^{78} (X = 0)

+

P_{0.25}^{78} (X = 1)

+

P_{0.25}^{78} (X = 2)

+... +

P_{0.25}^{78} (X = 18)

= 0.40491895139961 ≈ 0.4049
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.25,18))

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,75 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 83 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=83⋅0.75 = 62.25

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 62.25, also 0.85⋅ 62.25 = 52.913 und 115% von 62.25, also 1.15⋅ 62.25 = 71.588

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 62.25 entfernt sein darf als 52.913 bzw. 71.588, muss sie also zwischen 53 und 71 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.75.

$P_{0.75}^{83} (53 \leq X \leq 71)$ =

...

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

...

P_{0.75}^{83} (X \leq 71)

-

P_{0.75}^{83} (X \leq 52)

≈ 0.9933 - 0.0085 ≈ 0.9848
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.75,71) - binomcdf(83,0.75,52))

Aufgabenbeispiele von Wiederholung aus 9/10

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialverteilung X ∈ [l;k]

Binomialvert. mit variablem p (diskret)

Binomialvert. mit variabl. p (höchstens) nur GTR

kumulierte Binomialverteilung

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert