Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X\le 3)$ = $P_{0.27}^6(X=0)$ + $P_{0.27}^6(X=1)$ + $P_{0.27}^6(X=2)$ + $P_{0.27}^6(X=3)$ = 0.95084702191 ≈ 0.9508
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.27,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.27}^4\cdot {0.73}^2$=0.042480736335≈ 0.0425
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.27}^5\cdot {0.73}^1$=0.006284821266≈ 0.0063
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.27.

$P_{0.27}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.27}^6\cdot {0.73}^0$=0.000387420489≈ 0.0004
(TI-Befehl: binompdf(6,0.27,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	20	300	2000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-18	2	282	1982
P(X=xi)	0.9508	0.0425	0.0063	0.0004
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,85}$	$\mathrm{1,89}$	$\mathrm{0,8}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{17,1144}$	$\mathrm{0,085}$	$\mathrm{1,7766}$	$\mathrm{0,7928}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9508 + 20⋅0.0425 + 300⋅0.0063 + 2000⋅0.0004

≈ 3.54

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=3.54 - 18 = -14.46 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -18⋅0.9508 + 2⋅0.0425 + 282⋅0.0063 + 1982⋅0.0004

≈ -14.46

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße xi	0	3	5	13
P(X=xi)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\frac{21}{40}$	$\frac{21}{8}$	$\frac{91}{24}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅$\frac{1}{120}$ + 3⋅$\frac{7}{40}$ + 5⋅$\frac{21}{40}$ + 13⋅$\frac{7}{24}$

= $0$$+$ $\frac{21}{40}$$+$ $\frac{21}{8}$$+$ $\frac{91}{24}$
= $\frac{0}{120}$$+$ $\frac{63}{120}$$+$ $\frac{315}{120}$$+$ $\frac{455}{120}$
= $\frac{833}{120}$

≈ 6.94