Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen 'Trefferzahlen' bestimmen:

Trefferzahl: 0-3

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X\le 3)$ = $P_{0.22}^6(X=0)$ + $P_{0.22}^6(X=1)$ + $P_{0.22}^6(X=2)$ + $P_{0.22}^6(X=3)$ = 0.97609651776 ≈ 0.9761
(TI-Befehl: binomcdf(6,0.22,3))

Trefferzahl: 4

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=4)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\cdot {0.22}^4\cdot {0.78}^2$=0.02137820256≈ 0.0214
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,4))

Trefferzahl: 5

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=5)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)\cdot {0.22}^5\cdot {0.78}^1$=0.002411899776≈ 0.0024
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,5))

Trefferzahl: 6

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=0.22.

$P_{0.22}^6(X=6)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)\cdot {0.22}^6\cdot {0.78}^0$=0.000113379904≈ 0.0001
(TI-Befehl: binompdf(6,0.22,6))

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	0-3	4	5	6
Zufallsgröße xi	0	10	200	1000
Zufallsgröße yi (Gewinn)	-14	-4	186	986
P(X=xi)	0.9761	0.0214	0.0024	0.0001
xi ⋅ P(X=xi)	$0$	$\mathrm{0,214}$	$\mathrm{0,48}$	$\mathrm{0,1}$
yi ⋅ P(Y=yi)	$-\mathrm{13,6654}$	$-\mathrm{0,0856}$	$\mathrm{0,4464}$	$\mathrm{0,0986}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅0.9761 + 10⋅0.0214 + 200⋅0.0024 + 1000⋅0.0001

≈ 0.79

Das ist jetzt allerdings der Erwartungswert der Auszahlung, von dem man noch den Einsatz abziehen muss, so dass sich als Erwartungswert des Gewinns E(x)=0.79 - 14 = -13.21 ergibt.

Oder man rechnet gleich den Erwartungswert der einzelnen Gewinne (X₂) aus:

E(Y)= -14⋅0.9761 + -4⋅0.0214 + 186⋅0.0024 + 986⋅0.0001

≈ -13.21

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: $\frac{6}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: $\frac{9}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{1330}$

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße xi	1	2	3	4
P(X=xi)	$\frac{6}{7}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{9}{665}$	$\frac{1}{1330}$
xi ⋅ P(X=xi)	$\frac{6}{7}$	$\frac{9}{35}$	$\frac{27}{665}$	$\frac{2}{665}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅$\frac{6}{7}$ + 2⋅$\frac{9}{70}$ + 3⋅$\frac{9}{665}$ + 4⋅$\frac{1}{1330}$

= $\frac{6}{7}$$+$ $\frac{9}{35}$$+$ $\frac{27}{665}$$+$ $\frac{2}{665}$
= $\frac{570}{665}$$+$ $\frac{171}{665}$$+$ $\frac{27}{665}$$+$ $\frac{2}{665}$
= $\frac{770}{665}$
= $\frac{22}{19}$

≈ 1.16