Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(598 + 1502) mod 3 ≡ (598 mod 3 + 1502 mod 3) mod 3.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

Somit gilt:

(598 + 1502) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 34) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 34 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

34 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 6 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 34) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Die 128 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁷).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

1: 512¹=512

2: 512²=512¹⁺¹=512¹⋅512¹ ≡ 512⋅512=262144 ≡ 149 mod 859

4: 512⁴=512²⁺²=512²⋅512² ≡ 149⋅149=22201 ≡ 726 mod 859

8: 512⁸=512⁴⁺⁴=512⁴⋅512⁴ ≡ 726⋅726=527076 ≡ 509 mod 859

16: 512¹⁶=512⁸⁺⁸=512⁸⋅512⁸ ≡ 509⋅509=259081 ≡ 522 mod 859

32: 512³²=512¹⁶⁺¹⁶=512¹⁶⋅512¹⁶ ≡ 522⋅522=272484 ≡ 181 mod 859

64: 512⁶⁴=512³²⁺³²=512³²⋅512³² ≡ 181⋅181=32761 ≡ 119 mod 859

128: 512¹²⁸=512⁶⁴⁺⁶⁴=512⁶⁴⋅512⁶⁴ ≡ 119⋅119=14161 ≡ 417 mod 859

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 189 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 189 an und zerlegen 189 in eine Summer von 2er-Potenzen:

189 = 128+32+16+8+4+1

193¹⁸⁹

= 193^{128+32+16+8+4+1}

= 193¹²⁸⋅193³²⋅193¹⁶⋅193⁸⋅193⁴⋅193¹

≡ 196 ⋅ 48 ⋅ 55 ⋅ 183 ⋅ 130 ⋅ 193 mod 229
≡ 9408 ⋅ 55 ⋅ 183 ⋅ 130 ⋅ 193 mod 229 ≡ 19 ⋅ 55 ⋅ 183 ⋅ 130 ⋅ 193 mod 229
≡ 1045 ⋅ 183 ⋅ 130 ⋅ 193 mod 229 ≡ 129 ⋅ 183 ⋅ 130 ⋅ 193 mod 229
≡ 23607 ⋅ 130 ⋅ 193 mod 229 ≡ 20 ⋅ 130 ⋅ 193 mod 229
≡ 2600 ⋅ 193 mod 229 ≡ 81 ⋅ 193 mod 229
≡ 15633 mod 229 ≡ 61 mod 229

Es gilt also: 193¹⁸⁹ ≡ 61 mod 229

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 79 und 45

=>79	= 1⋅45 + 34
=>45	= 1⋅34 + 11
=>34	= 3⋅11 + 1
=>11	= 11⋅1 + 0

also gilt: ggt(79,45)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 34-3⋅11
11= 45-1⋅34	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅34 -3⋅(45 -1⋅ 34) = 1⋅34 -3⋅45 +3⋅ 34) = -3⋅45 +4⋅ 34 (=1)
34= 79-1⋅45	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -3⋅45 +4⋅(79 -1⋅ 45) = -3⋅45 +4⋅79 -4⋅ 45) = 4⋅79 -7⋅ 45 (=1)

Es gilt also: ggt(79,45)=1 = 4⋅79 -7⋅45

oder wenn man 4⋅79 auf die linke Seite bringt:

1 -4⋅79 = -7⋅45

-7⋅45 = -4⋅79 + 1 |+79⋅45

-7⋅45 + 79⋅45 = -4⋅79 + 79⋅45 + 1

(-7 + 79) ⋅ 45 = (-4 + 45) ⋅ 79 + 1

72⋅45 = 41⋅79 + 1

Es gilt also: 72⋅45 = 41⋅79 +1

Somit 72⋅45 = 1 mod 79

72 ist also das Inverse von 45 mod 79