Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.43 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.835 und somit β=56.7°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 33.3°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+33.3°=β=56.7° gilt nun: α = 23.3°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.
Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 25° = 180°.
Daraus folgt ε = 180° - 90° - 25° = 65°.
Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = = = 57.5°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57.5°) =
Damit folgt g = sin(57.5°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm
Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(65°)=
Damit folgt: PQ = = 6.5cm
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Von einem Fenster in 14m Höhe kann man den entfernten Rand eines Kanals unter dem Winkel α=80° gegenüber der Senkrechten betrachten. Der vordere Rand des Kanals erscheinet unter dem Winkel β=40° gegenüber der Senkrechten. Wie breit ist der Kanal?
In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=14 ⋅ tan(80°)
≈79.3979
Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=14 ⋅ tan(40°)
≈11.7474
Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=79.398 - 11.747 ≈ 67.651 m.
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(1|-5), B(5|3) und C(1|3).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 8 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 42 + 82
c2 = 16 + 64
c2 = 80
c = ≈ 8.94
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 0.5
Daraus folgt: α = arctan(0.5) ≈ 26.6°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-26.6° = 63.4°