Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.13cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.855 und somit β=58.8°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 31.2°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+31.2°=β=58.8° gilt nun: α = 27.5°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 33° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 33° = 57°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) = $\frac{g}{\mathrm{7cm}}$

Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+33°) gleich groß sein. Damit gilt 57° = α + 33°, woraus folgt: α = 24°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 24° = 66°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)=$\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.9}}{\mathrm{sin(66°)}}$ ≈ 6.5cm

Zuerst berechnen die beiden Winkel jeweils oben in den rechtwinkligen Dreiecken:
cos(α) = $\frac{\mathrm{Ankathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$ = $\frac{10}{28}$ ≈ 0.3571 => α = 69.1.
cos(β) = $\frac{\mathrm{Ankathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$ = $\frac{10}{34}$ ≈ 0.2941 => β = 72.9.

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=10 ⋅ tan(69.075167572362°) ≈26.1534

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=10 ⋅ tan(72.895364823356°) ≈32.4962

(Die Gegenkatheten hätte man auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen können)

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Summe der beiden Gegenkatheten:
s=26.153 + 32.496 ≈ 58.65 m.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und C) b = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 5² + 4²

c² = 25 + 16

c² = 41

c = $\sqrt{\mathrm{41}}$ ≈ 6.4

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{5}{4}$ = 1.25

Daraus folgt: α = arctan(1.25) ≈ 51.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-51.3° = 38.7°