Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -3 einen Hochpunkt haben.

Da der Graph von f ' bei x = -1 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = -1 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 1 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = -2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;-1] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;1] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [1;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f(-1) = -3 und f(1) = -3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -1 und x₂ = 1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(2) = f(2) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(2) = -4 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(2) + f(2) = -4 + 1 = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(1) = $1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(1)) = f($1$).

f($1$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(1)) = f($1$) = $1$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(-2) = 0 und F(-1) = -1 ablesen.

Also gilt $$\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(-1)- F(-2) = -1 - 0 = -1.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(0)- F(-4) durch den Wert des Integrals $$\underset{-4}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-4;0] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅2⋅4 = 4

Somit gilt: F(0)-F(-4) = 4

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -4 und x = -1 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(-1) < F(-4) sein.

Zwischen x=-1 und x=1 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(1) > F(-1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-1) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-4)>F(1) oder F(1)>F(-4) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-4}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ > $$\left|\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -4 und -1 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -1 und 1.

Also muss F(-4) größer als F(1) sein. Insgesamt gilt:

F(-1) < F(1) < F(-4)

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(0) durch den Wert des Integrals $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;2] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$⋅1⋅2 = 1

Somit gilt: F(2)-F(0) = 1

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J_-1.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 2.1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-1}{\overset{2.1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-1}{\overset{2.1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-1(2.1) = 0, J_-1 hat also bei x = 2.1 eine Nullstelle.
3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 5.3 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{2.1}{\overset{5.3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{2.1}{\overset{5.3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-1(5.3) = $$\underset{-1}{\overset{5.3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = $$\underset{-1}{\overset{2.1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ + $$\underset{2.1}{\overset{5.3}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 + 0 = 0, J_-1 hat also bei x = 5.3 eine Nullstelle.
4. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-4.1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-4.1}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-4.1}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J_-1(-4.1) = $$\underset{-1}{\overset{-4.1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-4.1}{\overset{-1}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J_-1 hat also bei x = -4.1 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-1(x) = $$\underset{-1}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 4 Nullstellen.