$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₁ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₁ = (2 - 0) ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4.

I₂ = $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(4\; -\; 2)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(7\; -\; 4)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-9}}{2}$ = -4.5.

I₄ = $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Rechtecksfläche I₄ = (9 - 7) ⋅ ( - 3 ) = 2 ⋅ ( - 3 ) = -6.

Somit gilt:

$$\underset{0}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{4}{\overset{7}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{7}{\overset{9}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 4 +2 -4.5 -6 = -4.5

= ${\left[-\frac{5}{2}{x}^2-2x\right]}_{-2}^1$

$=$ $-\frac{5}{2}\cdot 1^2-2\cdot 1-\left(-\frac{5}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)\right)$

= $-\frac{5}{2}\cdot 1-2-\left(-\frac{5}{2}\cdot 4+4\right)$

= $-\frac{5}{2}-2-\left(-10+4\right)$

= $-\frac{5}{2}-\frac{4}{2}-1·\left(-6\right)$

= $-\frac{9}{2}+6$

= $-\frac{9}{2}+\frac{12}{2}$

= $\frac{3}{2}$

= ${\left[-5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{10}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_4^{16}$

= ${\left[-5\cdot \sin \left(x\right)-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{x}\right)}^3\right]}_4^{16}$

$=$ $-5\cdot \sin \left(16\right)-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{16}\right)}^3-\left(-5\cdot \sin \left(4\right)-\frac{10}{3}{\left(\sqrt{4}\right)}^3\right)$

= $-5\cdot \sin \left(16\right)-\frac{10}{3}\cdot 4^3-\left(-5\cdot \sin \left(4\right)-\frac{10}{3}\cdot 2^3\right)$

= $-5\cdot \sin \left(16\right)-\frac{10}{3}\cdot 64-\left(-5\cdot \sin \left(4\right)-\frac{10}{3}\cdot 8\right)$

= $-5\cdot \sin \left(16\right)-\frac{640}{3}-\left(-5\cdot \sin \left(4\right)-\frac{80}{3}\right)$

= $-5\cdot \sin \left(16\right)-\frac{640}{3}-1·\left(-5\cdot \sin \left(4\right)\right)-1·\left(-\frac{80}{3}\right)$

= $-5\cdot \sin \left(16\right)-\frac{640}{3}+5\cdot \sin \left(4\right)+\frac{80}{3}$

= $-5\cdot \sin \left(16\right)+5\cdot \sin \left(4\right)-\frac{640}{3}+\frac{80}{3}$

= $-5\cdot \sin \left(16\right)+5\cdot \sin \left(4\right)-\frac{560}{3}$

= ${\left[\frac{1}{3}{\left(-x+2\right)}^3\right]}_0^2$

$=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-2+2\right)}^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(-0+2\right)}^3$

= $\frac{1}{3}\cdot 0^3-\frac{1}{3}\cdot {\left(0+2\right)}^3$

= $\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 2^3$

= $0-\frac{1}{3}\cdot 8$

= $0-\frac{8}{3}$

= $0-\frac{8}{3}$

= $-\frac{8}{3}$

= ${\left[\frac{7}{3}\cdot \sin \left(x\right)-2\cdot \cos \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{7}{3}\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(\frac{7}{3}\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{7}{3}\cdot \left(-1\right)-2\cdot 0-\left(\frac{7}{3}\cdot 1-2\cdot 0\right)$

= $-\frac{7}{3}+0-\left(\frac{7}{3}+0\right)$

= $-\frac{7}{3}+0-\left(\frac{7}{3}+0\right)$

= $-\frac{7}{3}-\frac{7}{3}$

= $-\frac{14}{3}$

= ${\left[-e^{2x-1}\right]}_0^2$

$=$ $-e^{2\cdot 2-1}+e^{2\cdot 0-1}$

= $-e^{4-1}+e^{0-1}$

= $-e^3+e^{-1}$

= ${\left[-\frac{1}{2}{x}^4+t^2{x}^2\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^4+t^2\cdot 2^2-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0^4+t^2\cdot 0^2\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 16+t^2\cdot 4-\left(-\frac{1}{2}\cdot 0+t^2\cdot 0\right)$

= $-8+4t^2-\left(0+0\right)$

= $4t^2-8+0$

= $4t^2-8$

Dieses Integral $4t^2-8$ muss nun gleich $41$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{7}{2}$ = 3,5.