Aufgabenbeispiele von Pythagoras
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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)
Beispiel:
Berechne die Länge der Hypotenuse.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
42 + 32 = b2
16 + 9 = b2
25 = b2 |
5 = b
Die gesuchte Länge ist somit b = 5 cm.
Pythagoras mit ganzen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
212 + 722 = c2
441 + 5184 = c2
5625 = c2 |
75 = c
Pythagoras mit reelen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
672 + 612 = b2
4489 + 3721 = b2
8210 = b2 |
90.61 ≈ b
Pythagoras (ohne Skizze)
Beispiel:
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten mit a = 85 cm und b = 69 cm gegeben. Berechne die Länge der Hypotenuse.
Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
852 + 692 = c2
7225 + 4761 = c2
11986 = c2 |
109.48 ≈ c
Quadrate über rechtwinkl. Dreieck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
81 + A = 132
81 + A = 169 | - 81
A = 88
Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 88 mm2.
Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.
Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
602 + c2 = 612
3600 + c2 = 3721 | - 3600
c2 = 121 |
c = 11
Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:
A = ⋅ 60 mm ⋅ 11 mm
also A = 330 mm2
Pythagoras im Rechteck und Dreieck
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge d im abgebildeten Rechteck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.
62 + 42 = d2
36 + 16 = d2
52 = d2 |
d = ≈ 7.21
Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 7.21 m.
Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)
Beispiel:
Ein gleichschenkliges Dreieck hat b=6 mm als Länge der Basis und a=9 mm als Länge der beiden Schenkel. Berechne die Höhe dieses Dreieck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 3 mm lang.
In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.
32 + h2 = 92
9 + h2 = 81 | - 9
h2 = 72 |
h = ≈ 8.49
Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 8.49 mm.
Pythagoras rückwärts
Beispiel:
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit dem Flächeninhalt A=25 cm2 Berechne die Seitenlänge a dieses gleichseitigen Dreieck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Höhe im gleichseitigen Dreieck in Abhängigkeit von der Seitenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:
+ h2 = a2
+ h2 = a2 | -
h2 = a2 |
h = = a
Für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks gilt dann:
A = ⋅ a ⋅ h = ⋅ a ⋅ a = a2
Somit gilt in unserem Fall:
25 = a2 | ⋅
57.735 ≈ a2 |
Wenn man nun auf beiden Seiten die Wurzel zieht erhält man für die Seitenlänge a :
a ≈
Pythagoras rückwärts (schwer)
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=58 cm und dem Umfang 164 cm.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:
I: U=2⋅a + 2⋅b
Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:
II: a2 + b2 = d2
Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:
I: 164=2⋅a + 2⋅b | :2
II: a2 + b2 = 582
vereinfacht
I: 82=a + b
II: a2 + b2 = 3364
Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir
I: b = 82 - a
II: a2 + b2 = 3364
Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:
II: a2 + (82 - a)2 = 3364
Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
a1,2 =
a1,2 =
a1,2 =
a1 =
a2 =
Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)
(I) 82 = 42 + 40
Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.
Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:
A = a ⋅ b = 42 cm ⋅ 40 cm = 1680 cm2
Abstand zweier Punkte
Beispiel:
Berechne den Abstand der beiden Punkte A(2|-4) und B(-1|2) im Koordinatensystem.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx =
2 -
Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy =
2 -
Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:
d2 = 32 + 62
d2 = 9 + 36
d2 = 45
d =
Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 6.71
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein Haus hat eine Gesamthöhe von 9,5m. Die (fünfeckigen) Stirnseiten sind 6m breit. Die rechteckigen Seitenflächen sind 14m lang und vom Boden bis zur Dachkante 6m hoch. Berechne die Fläche des Hausdachs.
Es gilt:
3.52 + 32 =h2
12.25 +9 = h2
21.25 = h2 |
4.61 ≈ h
Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 14m multipliziert werden.
Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: AH ≈ 64.54m2
Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 129.07m2