Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zur Basis $10$, also die Hochzahl mit der man $10$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $10$-Potenz zu schreiben versuchen, also $10$^☐ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-8$, eben weil $10$^$-8$ = $\frac{1}{\mathrm{100.000.000}}$ gilt .

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 5 sondern zur Basis $25$ suchen und $25$ gerade 5² ist (also 5 = $\sqrt{25}$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$), formen wir $5$ noch so um, dass sie $25$ als Basis hat:

$5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$

heißt, dass wir den Logarithmus von $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $25$ suchen, also die Hochzahl mit der man $25$ potenzieren muss, um auf $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $25$^☐ = $5$ = ${25}^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $25$^{$\frac{1}{2}$} = $5$ gilt .

Wir suchen $17$er-Potenzen in der Näher von $219$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $219$ ist.

Dabei kommt man auf $17$ = 17¹ < $219$ und auf ${17}^2$ = 17² > $219$.

Und da wir bei ja das ☐ von 17^☐ = $219$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
17¹ = $17$ < $219$ < ${17}^2$ = 17²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(\frac{100}{x}\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(100\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^2\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2-\lg \left(x\right)+\lg \left(x\right)$
= $2$

$\lg \left(5000\right)$ - $\lg \left(50\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{5000}{50}\right)$

= $\lg \left(100\right)$

= $\lg \left({10}^2\right)$

= 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-3}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-3\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
=0

$-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{16x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+\lg \left(4x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{16}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^4\right))+(\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right))+(\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^4\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(x^3\right)+\lg \left(\frac{1}{16}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(\frac{1}{16}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-4\lg \left(x\right)+\lg \left(4\right)+3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)-\lg \left(16\right)-2\lg \left(x\right)$

= $-3\lg \left(x\right)-\lg \left(16\right)+\lg \left(4\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{16}·4·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-3\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-3\lg \left(x\right)$