Wir suchen den Logarithmus von $27$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $27$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $27$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $3$, eben weil $3$^$3$ = $27$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{324}$ zur Basis $18$, also die Hochzahl mit der man $18$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{324}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $18$^☐ = $\frac{1}{324}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $18$-Potenz zu schreiben versuchen, also $18$^☐ = $\frac{1}{324}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-2$, eben weil $18$^$-2$ = $\frac{1}{324}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{2}$ um: $\sqrt{2}$ = $2^{\frac{1}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $2^{\frac{1}{2}}$ zur Basis $2$ suchen, also die Hochzahl mit der man $2$ potenzieren muss, um auf $2^{\frac{1}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $2$^☐ = $2^{\frac{1}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{1}{2}$, eben weil $2$^{$\frac{1}{2}$} = $\sqrt{2}$ gilt .

Wir suchen $2$er-Potenzen in der Näher von $\frac{1}{6}$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $\frac{1}{6}$ ist.

Dabei kommt man auf $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2^3}$ = 2^-3 < $\frac{1}{6}$ und auf $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2 > $\frac{1}{6}$.

Und da wir bei ja das ☐ von 2^☐ = $\frac{1}{6}$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen -3 und -2 liegen, wegen:
2^-3 = $\frac{1}{2^3}$ = $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{6}$ < $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2^2}$ = 2^-2

Es gilt somit: -3 < < -2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(10000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(10000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^7\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $7+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+7$

$\lg \left(20\right)$ - $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a) - log(b) rückwärts an:

= $\lg \left(\frac{20}{2}\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= 1

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$-2\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(\frac{1}{x^3}\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $-2\lg \left(x^2\right)-2\lg \left(x^{-3}\right)-2\lg \left(x^3\right)$
= $-4\lg \left(x\right)+6\lg \left(x\right)-6\lg \left(x\right)$
= $-4\lg \left(x\right)$

$-\lg \left(\frac{1}{4x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{20x^2}\right)$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^{-2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(\frac{1}{20}{x}^{-2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(1\right))+(\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right))$

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(\frac{1}{20}\right)+\lg \left(\frac{1}{x^2}\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $-\lg \left(\frac{1}{4}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)+0+\lg \left(\frac{1}{20}\right)-2\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)+0+\lg \left(1\right)-\lg \left(20\right)-2\lg \left(x\right)$

= $\lg \left(50\right)-\lg \left(20\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $\lg (\frac{50}{20}·4)$

= $\lg \left(10\right)$

= $\lg \left(10\right)$

= $1$