Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{4}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - \frac{4}{x^{2}}$	=	$3$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$3 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 4$	=	$3 x^{2}$
$x^{4} - 4$	=	$3 x^{2}$

x^{4} - 4

=

3 x^{2}

|

- 3 x^{2}

x^{4} - 3 x^{2} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $3$ Somit gilt: S₁( $- 2$ |3)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $3$ Somit gilt: S₂( $2$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{2} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{2} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 2 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} - 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 5 x} + 3) \cdot (x^{4} - 3 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{- 5 x} + 3) (x^{4} - 3 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 5 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 2 e^{- 5 x}$	=	$- 3$	\|: $- 2$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$	≈ -0.0811

2. Fall:

$x^{4} - 3 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$ ; 0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x + 3} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{16 x}{x + 3} - 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{16 x}{x + 3} \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$	=
$16 x - 4 x - 12$	=
$12 x - 12$	=

$12 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$12 x$	=	$12$	\|: $12$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 39 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 39 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 39 \cdot (- 2) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 39 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 6 x - 27$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 39 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 27 x$	$- 54$
		-( $- 27 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 39 x - 54$ = $(x^{2} - 6 x - 27) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 6 x - 27) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 39 \cdot (- 3) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 39 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 39 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 18 x$	$- 54$
		-( $- 18 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 39 x - 54$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 4 \cdot 9^{2} - 39 \cdot 9 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 39 x$	$- 54$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 39 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$6 x$	$- 54$
		-( $6 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 39 x - 54$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 5 x + 6) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x - 1 | - 4$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x - 1 \| - 4$	=	$1$
$- 4 + \frac{1}{3} \| x - 1 \|$	=	$1$	\| $+ 4$
$\frac{1}{3} \| x - 1 \|$	=	$5$	\|⋅ $3$
$\| x - 1 \|$	=	$15$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

$x - 1$	=	$15$	\| $+ 1$
x₁	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ ≥ 0) genügt:

$16 - 1$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 1$ < 0:

$- (x - 1)$	=	$15$
$- x + 1$	=	$15$	\| $- 1$
$- x$	=	$14$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 1$ < 0) genügt:

$- 14 - 1$ = -15 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $16$ }

Aufgabenbeispiele von vermischte Gleichungen

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -3

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: x -1 ≥ 0:

2. Fall: x -1 < 0:

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 1$ < 0: