Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(15 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} - 3 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(15 x^{2} - 3) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{3} - 3 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (15 x^{2} - 3 + (10 x^{3} - 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x - 3)$

= $(10 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x - 3) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 3} \cdot 2 x$

= $- 6 \cdot e^{x^{2} - 3} x$

= $- 6 x e^{x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 18 + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 15)$

= $(9 x - 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,15}^{49} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $942,311 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x + 21,6 - 4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x + 17,6)$

= $(3,6 x + 17,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabenbeispiele von mit e-Funktionen

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten