$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+4x^3$

$\text{f'(x)}=$ $-x^3+12x^2$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{x^3}$

= $9x^{-3}$

=> f'(x) = $-27x^{-4}$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{27}{x^4}$

f'(2) = $-\frac{27}{2^4}$ = $-27\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$ = $-\frac{27}{16}$ ≈ -1.69

$\text{f(x)}=$ $-2x^3-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+0$

= $-6x^2$

f'(1) = $-6\cdot 1^2$ = $-6\cdot 1$ = $-6$

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)+\frac{4}{x^3}$

= $\sin \left(x\right)+4x^{-3}$

=> f'(x) = $\cos \left(x\right)-12x^{-4}$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)-\frac{12}{x^4}$

$\text{f(x)}=$ $-4x^4+2\sqrt[3]{x}$

= $-4x^4+2x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $-16x^3+\frac{2}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3+\frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2}$

$\text{f(x)}=$ $\frac{10}{x^2}+3tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{20}{x^3}+3t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-\frac{20}{2^3}+3t$
= $-\frac{5}{2}+3t$

Dieser Wert soll ja den Wert $\frac{37}{2}$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-3x$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-3$

f'(1) = $3\cdot 1-3$ = $3-3$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-11x-2$ ab:

f'(x) = $2x-11$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 6.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel 63.43 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(63.43°) ≈ 2

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $3x^2+\frac{1}{8}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x+\frac{1}{8}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0+\frac{1}{8}t$
= $\frac{1}{8}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr 2 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = 16 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^2$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

Rücksubstitution:

u₁: $x^2$ = $1$

u₂: $x^2$ = $-3$

L={ $-1$; $1$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $1$|f( $1$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $1$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $4x^3+2x-3$, also gilt m_f = f'( $1$)= $4\cdot 1^3+2\cdot 1-3$ = $3$

$\text{g'(x)}=$ $-2x-3$, also gilt m_g = g'( $1$)= $-2\cdot 1-3$ = $-5$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $1$|f( $1$)): α = arctan( $3$) ≈ 71.6°

und für den Steigungswinkel von g in S( $1$|g( $1$)) gilt: β = arctan( $-5$) ≈ -78.7°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |71.6° - ( - 78.7 )°| ≈ 150.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 150.3° = 29.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x+6$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-2+0$

f'(2) = $3\cdot 2-2$ = $6-2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{28}{x}^4-150x+1$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{7}{x}^3-150$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.