Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{81}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{81}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 81

$3^{x}$ = $3^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$2^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{2}$

$2^{2 x + 1}$ = $2^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 2.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x + 1} - 6 \cdot 2^{x}$ = $- 64$

Lösung einblenden

$2^{x + 1} - 6 \cdot 2^{x}$ = $- 64$

Wir müssen $2^{x + 1}$ in $2^{x} \cdot 2^{1}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2^{x} \cdot 2^{1} - 6 \cdot 2^{x}$ = $- 64$

$2 \cdot 2^{x} - 6 \cdot 2^{x}$ = $- 64$

$- 4 \cdot 2^{x}$	=	$- 64$	\|: $- 4$
$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

4

L={ $4$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $5 \cdot {2,1}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 5 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $5 \cdot {2,1}^{0}$ =5. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 5 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=10, weil ja 10 - 5 = 5 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 10, also $5 \cdot {2,1}^{t}$ = 10.

$5 \cdot {2,1}^{t}$	=	$10$	\|: $5$
${2,1}^{t}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,1}^{t})$	=	$\lg (2)$
$t \cdot \lg (2,1)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2,1)$
$t$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2,1)}$

t

0,9342

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,9342$ Jahre ist der Bestand 10 Millionen, also um 5 Millionen größer als zu Beginn..