Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 14}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{x + 14}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	$3^{2}$

$x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{x + 14}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 5 + 14}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 25} - 2 x$ = $3$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 25} - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{12 x + 25}$	=	$2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 25$	=	${(2 x + 3)}^{2}$

$12 x + 25$	=	$4 x^{2} + 12 x + 9$	\| $- 25$
$12 x$	=	$4 x^{2} + 12 x - 16$	\| $- 4 x^{2}$ $- 12 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{12 x + 25} - 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 2) + 25} - 2 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 4$

= $\sqrt{1} + 4$

= $1 + 4$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3$

$=$ $3$

Also 5 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{12 x + 25} - 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 2 + 25} - 2 \cdot 2$

= $\sqrt{24 + 25} - 4$

= $\sqrt{49} - 4$

= $7 - 4$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{0 + 4}$ = $2 \sqrt{x + 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{0 + 4}$	=	$2 \sqrt{x + 4}$
$2$	=	$2 \sqrt{x + 4}$	\| $- 2$ $- 2 \sqrt{x + 4}$
$- 2 \sqrt{x + 4}$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 4}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	$1^{2}$

$x + 4$	=	$1$	\| $- 4$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $2$

$=$ $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{x + 4}$

$=$ $2 \sqrt{- 3 + 4}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 145}$ = $\sqrt{4 x + 81} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 145}$	=	$\sqrt{4 x + 81} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 145$	=	${(\sqrt{4 x + 81} + 2)}^{2}$

$8 x + 145$	=	$4 \sqrt{4 x + 81} + 4 x + 85$	\| $- 8 x$ $- 145$ $- 4 \sqrt{4 x + 81}$
$- 4 \sqrt{4 x + 81}$	=	$- 4 x - 60$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 81}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 81$	=	${(x + 15)}^{2}$

4 x + 81

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 26 x - 144$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26+10}{- 2}$ = $\frac{36}{- 2}$ = $- 18$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26-10}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 18$

Linke Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{8 x + 145}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 18) + 145}$

= $\sqrt{- 144 + 145}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{4 x + 81} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 18) + 81} + 2$

= $\sqrt{- 72 + 81} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 18$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{8 x + 145}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 8) + 145}$

= $\sqrt{- 64 + 145}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 81} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 81} + 2$

= $\sqrt{- 32 + 81} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -18

Probe für x = -8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 18$

Probe für x = $- 8$