Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1}$ = $- x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$3 x$	=	$- x (x + 1)$
$3 x$	=	$- x^{2} - x$

$3 x$	=	$- x^{2} - x$	\| $- (- x^{2} - x)$
$x^{2} + 3 x + x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 19 x - 21}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 19 x - 21}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 19 x - 21}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$- 19 x - 21$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

- 19 x - 21

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} - 31 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31+25}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31-25}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 10 x}{x + 3}$ = $- x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{10 x}{x + 3}$	=	$- x + 4$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{10 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- x \cdot (x + 3) + 4 \cdot (x + 3)$
$- 10 x$	=	$- x (x + 3) + 4 x + 12$
$- 10 x$	=	$- x^{2} + x + 12$

- 10 x

=

- x^{2} + x + 12

|

+ x^{2}

- x

- 12

$x^{2} - 11 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{11+13}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{11-13}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $12$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{50}{x^{2}}$ = $\frac{5}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{50}{x^{2}}$	=	$\frac{5}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{50}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{5}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 50$	=	$5 x$

x^{2} - 50

=

5 x

|

- 5 x

$x^{2} - 5 x - 50$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5+15}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{5-15}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6}$ = $- \frac{12,5}{x - 3} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{2 x - 6}$	=	$- \frac{12,5}{x - 3} + 3 x$
$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$- \frac{12,5}{x - 3} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$- \frac{12,5}{x - 3} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{- 12,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3))$
$x$	=	$- 25 + 6 x (x - 3)$
$x$	=	$6 x^{2} - 18 x - 25$

x

=

6 x^{2} - 18 x - 25

|

- 6 x^{2}

+ 18 x

+ 25

$- 6 x^{2} + 19 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 25}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 600}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{961}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 19+31}{- 12}$ = $\frac{12}{- 12}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{961}}{- 12}$ = $\frac{- 19-31}{- 12}$ = $\frac{- 50}{- 12}$ = $\frac{25}{6}$ ≈ 4.17

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{25}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$12$
$a x + x^{2} - 12$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 3} - \frac{4}{x - 3}$ = $\frac{48}{x^{2} - 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $3$ }

\frac{x}{x + 3} - \frac{4}{x - 3}

=

\frac{48}{(x + 3) \cdot (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 3) \cdot (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{x + 3} - \frac{4}{x - 3}$	=	$\frac{48}{(x + 3) \cdot (x - 3)}$	\|⋅( $(x + 3) \cdot (x - 3)$ )
$\frac{x}{x + 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3) - \frac{4}{x - 3} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$	=	$\frac{48}{(x + 3) \cdot (x - 3)} \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$
$x (x - 3) - 4 x - 12$	=	$48 \frac{x + 3}{x + 3}$
$x (x - 3) - 4 x - 12$	=	$48$
$x^{2} - 3 x - 4 x - 12$	=	$48$
$x^{2} - 7 x - 12$	=	$48$

x^{2} - 7 x - 12

=

48

|

- 48

$x^{2} - 7 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{7+17}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{7-17}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen