Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-5\right)$ = $5$ > 0
Für 1 < x < 5: f(4) = $\left(4-1\right)·\left(4-5\right)$ = $-3$ < 0
Für x > 5: f(6) = $\left(6-1\right)·\left(6-5\right)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 1 und x ≤ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-x-6$ = 0 ist.

$x^2-x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{25}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2-x-6$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-x-6$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^2-x-6$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = ${\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)-6$ = $6$ > 0
Für -2 < x < 3: f(0) = $0^2-0-6$ = $-6$ < 0
Für x > 3: f(4) = $4^2-4-6$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^2-x-6$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^2-x-6$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -2 oder x ≥ 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-17x+29$ = $-x-3$ ist.

$2x^2-17x+29$

=

$-x-3$

| $+x$ $+3$

$2x^2-16x+32$ = 0 |:2

$x^2-8x+16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·16}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2-17x+29$ und $\text{g(x)}=$ $-x-3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-17x+29$ = $-x-3$ (x = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x-3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $-x-3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2x^2-17x+29$ ≤ $-x-3$ für kein x außer für x = 4.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x-3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 4: f(0) = $2\cdot 0^2-17\cdot 0+29$ = $29$ > $-3$ = $-0-3$ = g(0)
Für x > 4: f(5) = $2\cdot 5^2-17\cdot 5+29$ = $-6$ > $-8$ = $-5-3$ = g(5)
Also gilt die Ungleichung $2x^2-17x+29$ ≤ $-x-3$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $2x^2-17x+29$ = $-x-3$ auch zur gesuchten Ungleichung $2x^2-17x+29$ ≤ $-x-3$ gehört, ist x=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{4}