$\text{f(x)}=$ ${\left(\sin \left(x\right)\right)}^2$

$\text{f'(x)}=$ $2\left(\sin \left(x\right)\right)·\cos \left(x\right)$

= $2\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3x^2·\sin \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3·2x·\sin \left(2x\right)+3x^2·\cos \left(2x\right)·2$

= $6x·\sin \left(2x\right)+3x^2·2\cdot \cos \left(2x\right)$

= $6x·\sin \left(2x\right)+6x^2·\cos \left(2x\right)$

= ${\left[2\cdot \sin \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $2\cdot \sin \left(\pi -\frac{3}{2}\pi \right)-2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi -\frac{3}{2}\pi \right)$

= $2\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \sin (-\pi )$

= $2\cdot \left(-1\right)-2\cdot 0$

= $-2+0$

= $-2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{5}{8}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+6\pi$ = $6\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|-1) und einen bei ( $6\pi$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $2$|0).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $2$ + $0$ ≈ $2$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(2x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,644}$= $\mathrm{2,498}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,322}$; $\mathrm{1,249}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,322}$ und x₂ = $\mathrm{1,249}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 4

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 30 cm = 55 cm.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

   Die Lösung ist also: 1 s.