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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(7 u + 7 v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(7 u + 7 v)}^{2}$ = ${(7 u)}^{2} + 2 \cdot 7 u \cdot 7 v + {(7 v)}^{2}$ = $49 u^{2} + 98 u v + 49 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 - 4 x^{2}$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16$ ) als auch der letzte ( $4 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4$ und für b dann $2 x$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(4 + 2 x) \cdot (4 - 2 x)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(4 + 2 x) \cdot (4 - 2 x)$ = $4 \cdot 4 + 4 \cdot (- 2 x) + 2 x \cdot 4 + 2 x \cdot (- 2 x)$ = $16 - 4 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 x^{2} - 12 x - 12$

$- 3 x^{2} - 12 x - 12$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (x^{2} + 4 x + 4)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 {(x + 2)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 49$

Der hintere Term $49$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $49$ = 7⋅7 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅7

somit gilt: ☐= $14 x$