$\text{f(x)}=$ $-{\left(-x+2\right)}^3-48x$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-x+2\right)}^2·\left(-1+0\right)-48$

= $3{\left(-x+2\right)}^2-48$

$\text{f''(x)}=$ $6\left(-x+2\right)·\left(-1+0\right)+0$

= $6x-12$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$3{\left(-x+2\right)}^2-48$	=	0	| $+48$
$3{\left(-x+2\right)}^2$	=	$48$	|:$3$
${\left(-x+2\right)}^2$	=	$16$	|

1. Fall

2. Fall

Die Lösungen $-2$, $6$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $6\cdot \left(-2\right)-12$= $-12-12$= $-24$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-{\left(-\left(-2\right)+2\right)}^3-48\cdot \left(-2\right)$ = $32$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $32$)

2.: x=$6$

f''($6$) = $6\cdot 6-12$= $36-12$= $24$ >0

Das heißt bei x = $6$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($6$) = $-{\left(-6+2\right)}^3-48\cdot 6$ = $-224$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($6$| $-224$)

$\text{f(x)}=$ $-x^2+6x+2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x+6+0$

= $-2x+6$

$\text{f''(x)}=$ $-2+0$

= $-2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-2x+6$	=	0	| $-6$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Die Lösung x= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($3$) = $-2$= $-2$= $-2$ <0

Das heißt bei x = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($3$) = $-3^2+6\cdot 3+2$ = $11$
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $11$)

Wir sehen am negativen Vorzeichen vor der höchsten Potenz ( $-\frac{3}{4}{x}^4$), dass für sehr große und sehr kleine x-Werte die y-Werte immer negativ sind. Um nachzuweisen, dass es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen wir also zeigen, dass alle Punkte negativ sind. Dies geht am einfachsten, wenn man sich alle Hochpunkte anschaut. Wir berechnen also erstmal die Extrempunkte:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^4-x^3+3x^2-10$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3x^3-3x^2+6x+0$

= $-3x^3-3x^2+6x$

$\text{f''(x)}=$ $-9x^2-6x+6$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$-3x^3-3x^2+6x$	=	0
$-3x\left(x^2+x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösungen $-2$, 0, $1$ sind nun die einzigen Kandidaten für Extremstellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

1.: x=$-2$

f''($-2$) = $-9\cdot {\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)+6$= $-9\cdot 4+12+6$= $-18$ <0

Das heißt bei x = $-2$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($-2$) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4-{\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-10$ = $-2$
Man erhält so den Hochpunkt H:($-2$| $-2$)

2.: x=$0$

f''($0$) = $-9\cdot 0^2-6\cdot 0+6$= $-9\cdot 0+0+6$= $6$ >0

Das heißt bei x = $0$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($0$) = $-\frac{3}{4}\cdot 0^4-0^3+3\cdot 0^2-10$ = $-10$
Man erhält so den Tiefpunkt T:($0$| $-10$)

3.: x=$1$

f''($1$) = $-9\cdot 1^2-6\cdot 1+6$= $-9\cdot 1-6+6$= $-9$ <0

Das heißt bei x = $1$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($1$) = $-\frac{3}{4}\cdot 1^4-1^3+3\cdot 1^2-10$ = $-\frac{35}{4}$ ≈ -8.75
Man erhält so den Hochpunkt H:($1$| $-\frac{35}{4}$)

≈ H:(1|-8.75)

Eigentlich hätte es gereicht nur die Hochpunkte zu untersuchen.

Wir sehen also, dass selbst der höchste Hochpunkt einen negativen y-Wert hat. Also müssen alle Punkte unter der x-Achse liegen.

Der höchste Punkt muss ja ein Hochpunkt sein, daher sehen wir dass der Hochpunkt (-2|$-2$) der höchste Punkt, also der Punkt mit dem geringsten Abstand zur x-Achse ist.

Dieser geringste Abstand ist also |$-2$| = 2.

$\text{f(x)}=$ $-3x+e^{\frac{1}{3}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $-3+e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-3$

$\text{f''(x)}=$ $\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}+0$

= $\frac{1}{9}{e}^{\frac{1}{3}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-3$	=	0	| $+3$
$\frac{1}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}$	=	$3$	|⋅$3$
$e^{\frac{1}{3}x}$	=	$9$	|ln(⋅)
$\frac{1}{3}x$	=	$\ln \left(9\right)$	|:$\frac{1}{3}$
$x$	=	$3\ln \left(9\right)$	≈ 6.5917
$x$	=	$6\ln \left(3\right)$

Die Lösung x= $6\ln \left(3\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($\mathrm{6,5917}$) = $\frac{1}{9}{e}^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{6,5917}}$= $\frac{1}{9}{e}^{\frac{\mathrm{6,5917}}{3}}$= $\frac{1}{9}{e}^{\frac{\mathrm{6,5917}}{3}}$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{6,5917}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\mathrm{6,5917}$) = $-3\cdot \mathrm{6,5917}+e^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{6,5917}}$ = $e^{\frac{\mathrm{6,5917}}{3}}-\mathrm{19,7751}$ ≈ -10.775
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{6,5917}$| $e^{\frac{\mathrm{6,5917}}{3}}-\mathrm{19,7751}$)

≈ T:(6.592|-10.775)

$\text{f(x)}=$ $e^{\frac{2}{3}x}-3e^{\frac{1}{3}x}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $e^{\frac{2}{3}x}·\frac{2}{3}-3e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3}x}·\left(-1+\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}\right)$

= $\left(\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-1\right)e^{\frac{1}{3}x}$

$\text{f''(x)}=$ $(\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}+0)·e^{\frac{1}{3}x}+\left(\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-1\right)·e^{\frac{1}{3}x}·\frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3}x}·\left(\frac{2}{9}{e}^{\frac{1}{3}x}-\frac{1}{3}+\frac{2}{9}{e}^{\frac{1}{3}x}\right)$

= $\left(\frac{4}{9}{e}^{\frac{1}{3}x}-\frac{1}{3}\right)e^{\frac{1}{3}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(\frac{2}{3}{e}^{\frac{1}{3}x}-1\right)·e^{\frac{1}{3}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $3\ln \left(\frac{3}{2}\right)$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($\mathrm{1,2164}$) = $e^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{1,2164}}·\left(\frac{2}{9}{e}^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{1,2164}}-\frac{1}{3}+\frac{2}{9}{e}^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{1,2164}}\right)$= $e^{\frac{\mathrm{1,2164}}{3}}·\left(\frac{2}{9}{e}^{\frac{\mathrm{1,2164}}{3}}-\frac{1}{3}+\frac{2}{9}{e}^{\frac{\mathrm{1,2164}}{3}}\right)$= $e^{\frac{\mathrm{1,2164}}{3}}·\left(\frac{4}{9}{e}^{\frac{\mathrm{1,2164}}{3}}-\frac{1}{3}\right)$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{1,2164}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($\mathrm{1,2164}$) = $e^{\frac{2}{3}\cdot \mathrm{1,2164}}-3e^{\frac{1}{3}\cdot \mathrm{1,2164}}$ = $e^{\frac{\mathrm{2,4328}}{3}}-3e^{\frac{\mathrm{1,2164}}{3}}$ ≈ -2.25
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{1,2164}$| $e^{\frac{\mathrm{2,4328}}{3}}-3e^{\frac{\mathrm{1,2164}}{3}}$)

≈ T:(1.216|-2.25)

$\text{f(x)}=$ $-{\left(-x-1\right)}^3-3x$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-3{\left(-x-1\right)}^2·\left(-1+0\right)-3$

= $-3{\left(-x-1\right)}^2·\left(-1\right)-3$

= $3{\left(-x-1\right)}^2-3$

$\text{f''(x)}=$ $6\left(-x-1\right)·\left(-1+0\right)+0$

= $6\left(-x-1\right)·\left(-1\right)$

= $-6\left(-x-1\right)$

$\text{f'''(x)}=$ $6+0$

= $6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x+6$	=	0	| $-6$
$6x$	=	$-6$	|:$6$
$x$	=	$-1$

Die Lösung x= $-1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $-1$:

f'''($-1$) = $6+0$= $6$

Da f'''($-1$)≠0, haben wir bei x = $-1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($-1$) = $-{\left(-\left(-1\right)-1\right)}^3-3\cdot \left(-1\right)$ = $3$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($-1$| $3$)

Zuerst muss natürlich mal der Wendepunkt berechnet werden:

$\text{f(x)}=$ $-x^3-3x^2-3x+1$

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-6x-3+0$

= $-3x^2-6x-3$

$\text{f''(x)}=$ $-6x-6+0$

= $-6x-6$

$\text{f'''(x)}=$ $-6+0$

= $-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-6x-6$	=	0	| $+6$
$-6x$	=	$6$	|:($-6$)
$x$	=	$-1$

Die Lösung x= $-1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0).

Überprüfung bei x = $-1$:

f'''($-1$) = $-6+0$= $-6$

Da f'''($-1$)≠0, haben wir bei x = $-1$ einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f($-1$) = $-{\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)+1$ = $2$
Man erhält so den Wendepunkt: WP($-1$| $2$)

Jetzt müssen wir die Tangente im Wendepunkt anlegen:

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(-1)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)-3$

= $-3\cdot 1+6-3$

= $-3+6-3$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(-1)}=$ $-{\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)+1$ = $-\left(-1\right)-3\cdot 1+3+1$ = $1-3+3+1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(-1| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = 0⋅(-1) + c

$2$ = 0 + c

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $2$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $-t^2{x}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-4t^2{x}^3$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$) = $-4t^2\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $-4t^2\cdot \left(-1\right)$ = $4t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{16}{9}$x-7 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-1$)= $4t^2$ soll gleich $\frac{16}{9}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $4t^2$ = $\frac{16}{9}$ nach t auf.

$4t^2$	=	$\frac{16}{9}$	|:$4$
$t^2$	=	$\frac{4}{9}$	|
t1	=	$-\sqrt{\frac{4}{9}}$	≈ $-\frac{2}{3}$
t2	=	$\sqrt{\frac{4}{9}}$	≈ $\frac{2}{3}$

Für t= $-\frac{2}{3}$ und t= $\frac{2}{3}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

$\text{f(x)}=$ $\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}-1$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}+\left(x-6\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(-\mathrm{0,05}\right)+0$

= $e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(-\mathrm{0,05}x+\mathrm{0,3}+1\right)$

= $\left(-\mathrm{0,05}x+\mathrm{1,3}\right)e^{-\mathrm{0,05}x}$

$\text{f''(x)}=$ $\left(-\mathrm{0,05}+0\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}+\left(-\mathrm{0,05}x+\mathrm{1,3}\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(-\mathrm{0,05}\right)$

= $e^{-\mathrm{0,05}x}·\left(\mathrm{0,0025}x-\mathrm{0,065}-\mathrm{0,05}\right)$

= $\left(\mathrm{0,0025}x-\mathrm{0,115}\right)e^{-\mathrm{0,05}x}$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

$\left(-\mathrm{0,05}x+\mathrm{1,3}\right)·e^{-\mathrm{0,05}x}$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Die Lösung x= $26$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):

Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x₀)=0 und f'(x₀)>0).

f''($26$) = $e^{-\mathrm{0,05}\cdot 26}·\left(\mathrm{0,0025}\cdot 26-\mathrm{0,065}-\mathrm{0,05}\right)$= $e^{-\mathrm{1,3}}·\left(\mathrm{0,065}-\mathrm{0,065}-\mathrm{0,05}\right)$= $-\mathrm{0,05}{e}^{-\mathrm{1,3}}$ <0

Das heißt bei x = $26$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f($26$) = $\left(26-6\right)·e^{-\mathrm{0,05}\cdot 26}-1$ = $20e^{-\mathrm{1,3}}-1$ ≈ 4.451
Man erhält so den Hochpunkt H:($26$| $20e^{-\mathrm{1,3}}-1$)

≈ H:(26|4.451)

Wir schreiben u für den x-Wert des Punkts P und da der Punkt P auf dem Graph von f liegt, muss der y-Wert f(u) sein, also P(u|f(u)).

An der Skizze erkennt man, dass dann die Seiten des achsenparallelen Rechteck die Längen u und f(u) haben. Folglich gilt für den Flächeninhalt dieses Rechtecks:
A = u ⋅ f(u) = $u·\left(-u+6\right)$ = $-u^2+6u$

Wir suchen also ein Maximum von

$\text{A(u)}=$ $-u^2+6u$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{A'(u)}=$ $-2u+6$

$\text{A''(u)}=$ $-2+0$

= $-2$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist A'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also A'(u) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von A zu bestimmen.

$-2u+6$	=	0	| $-6$
$-2u$	=	$-6$	|:($-2$)
$u$	=	$3$

Die Lösung u= $3$ ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in A''(u):

Ist A''(u) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A''(u₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: A'(u₀)=0 und A'(u₀)>0).

A''($3$) = $-2$= $-2$= $-2$ <0

Das heißt bei u = $3$ ist ein Hochpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende u-Wert in A(u) eingesetzt werden.
A($3$) = $-3^2+6\cdot 3$ = $9$
Man erhält so den Hochpunkt H:($3$| $9$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir also, wenn wir als x-Koordinate des gesuchten Punkts u = $3$ wählen.

Den zugehörigen y-Wert erhalten wir, wenn wir x = $3$ in f(x) einsetzen:

f($3$) = $-3+6$ = $3$

Somit sind die Koordinaten des gesuchten Punkts P($3$| $3$)

Den maximalen Flächeninhalt erhalten wir ja, wenn wir u = $3$ in die zu maximierende Flächeninhaltsfunktion A(u) einsetzen. Dies wurde ja bereits oben bei der hinreichenden Bedingung gemacht, somit ist der maximale Flächeninhalt A($3$) = $9$.

Es muss gelten: 990 = $\pi ·x^2·h$

Wenn wir diese Gleichung nach h auflösen, erhalten wir:

h = $\frac{990}{\pi ·x^2}$

Dies können wir in die Oberflächenformel einsetzen:

O = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{990}{\pi ·x^2}$

Als Zielfunktion für die Oberfläche ergibt sich somit O(x) = $2\pi ·x^2+2\pi ·x·\frac{990}{\pi ·x^2}$

= $2\pi x^2+2\pi ·\frac{990}{\pi x}$

= $2\pi x^2+\frac{1980}{x}$

= $\frac{1980}{x}+2\pi x^2$.

Da diese Zielfunktion für die Oberfläche minimal werden soll, suchen wir deren Minimum:

$\text{O(x)}=$ $\frac{1980}{x}+2\pi x^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

=>$\text{O'(x)}=$ $-\frac{1980}{x^2}+(2·0·x^2+2\pi ·2x)$

= $-\frac{1980}{x^2}+4\pi x$

$\text{O''(x)}=$ $\frac{3960}{x^3}+(4·0·x+4\pi ·1)$

= $\frac{3960}{x^3}+4\pi$

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist O'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also O'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von O zu bestimmen.

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$-\frac{1980}{x^2}+4\pi x$	=	0	|⋅( $x^2$)
$-\frac{1980}{x^2}·x^2+4\pi x·x^2$	=	0
$-1980+4\pi x·x^2$	=	0
$-1980+4\pi x^3$	=	0

$-1980+4\pi x^3$	=	0	| $+1980$
$4\pi x^3$	=	$1980$	|: $4\pi$
$x^3$	=	$\frac{1980}{4\pi }$
$x^3$	=	$\mathrm{157,56339}$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{\mathrm{157,56339}}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Die Lösung x= $\sqrt[3]{\mathrm{157,56339}}$ ≈ 5.4011 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in O''(x):

Ist O''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O''(x₀)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung: O'(x₀)=0 und O'(x₀)>0).

O''($\mathrm{5,4011}$) = $\frac{3960}{{\mathrm{5,4011}}^3}+4\pi$= $3960\cdot \left(\frac{1}{\mathrm{157,5602}}\right)+4\pi$= $\mathrm{25,1332}+4\pi$ >0

Das heißt bei x = $\mathrm{5,4011}$ ist ein Tiefpunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in O(x) eingesetzt werden.
O($\mathrm{5,4011}$) = $\frac{1980}{\mathrm{5,4011}}+2\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2$ = $\frac{1980}{\mathrm{5,4011}}+\mathrm{58,3438}\pi$ ≈ 549.884
Man erhält so den Tiefpunkt T:($\mathrm{5,4011}$| $\frac{1980}{\mathrm{5,4011}}+\mathrm{58,3438}\pi$)

≈ T:(5.401|549.884)

Die minimale Oberfläche erhalten wir also, wenn wir x = $\mathrm{5,4011}$ (, also $\mathrm{5,4011}$ cm Radius des Dosenzylinder) wählen.

Die zugehörige Höhe erhalten wir, wenn wir $\mathrm{5,4011}$ in h = $\frac{990}{\pi ·x^2}$ einsetzen, h = $\frac{990}{\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2}$ ≈ 10.802.

Als minimale Oberfläche erhalten wir:
O($\mathrm{5,4011}$) = $2\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2+2\pi ·\mathrm{5,4011}·\frac{990}{\pi ·{\mathrm{5,4011}}^2}$
≈ 549.884.