Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(2\pi \right)$

= $4\cdot 1$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(2\pi \right)$ = $4\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $2\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $4$⋅ $2\pi$ + c

0 = $8\pi$ + c | $-8\pi$

$-8\pi$ = c

also c= $-8\pi$ ≈ -25.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-8\pi$ oder y=4x -25.13

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3{\left(x-3\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6\left(x-3\right)·\left(1+0\right)$

= $6\left(x-3\right)·\left(1\right)$

= $6\left(x-3\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $6\left(0-3\right)$

= $-18$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-18$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(0-3\right)}^2$ = $3\cdot {\left(-3\right)}^2$ = $3\cdot 9$ = $27$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27$ = $-18$⋅$0$ + c

$27$ = 0 + c

$27$ = c

also c= $27$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-18$⋅x + $27$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $7e^{x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $7e^{x+3}·1$

= $7e^{x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $7e^{-3+3}$

= $7e^0$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $7e^{-3+3}$ = $7e^0$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $7$⋅( $-3$) + c

$7$ = $-21$ + c | + $21$

$28$ = c

also c= $28$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x + $28$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $e^{x-2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $e^{x-2}·1$

= $e^{x-2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $e^{2-2}$

= $e^0$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $e^{2-2}$ = $e^0$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $1$⋅$2$ + c

$1$ = $2$ + c | $-2$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\sin \left(0\right)+4$

= $-0+4$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $\cos \left(0\right)+4\cdot \left(0\right)$ = $1+0$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-\frac{1}{4}$⋅ $0$ + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x + $1$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|12) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|12) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

12 = $\left(-6u-2\right)·\left(-1-u\right)$ + $-3u^2-2u+1$ | -12

$\left(-6u-2\right)\left(-1-u\right)-3u^2-2u+1-12$ = 0

$6u^2+8u+2-3u^2-2u+1-12$ = 0

$3u^2+6u-9$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+6u-9$ = 0 |:3

$u^2+2u-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{-2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-2+0$

= $-6x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-3\right)-2$

= $18-2$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)+1$ = $-3\cdot 9+6+1$ = $-27+6+1$ = $-20$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-20$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-20$ = $16$⋅( $-3$) + c

$-20$ = $-48$ + c | + $48$

$28$ = c

also c= $28$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x + $28$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-2+0$

= $-6x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1-2$

= $-6-2$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2-2\cdot 1+1$ = $-3\cdot 1-2+1$ = $-3-2+1$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-8$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-8$ + c | + $8$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x + $4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{2,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)u-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{2,4}{u}^2-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,2}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,6}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,6}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,6}$

= $-3\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{1,44}$

= $-\mathrm{1,08}+\mathrm{1,44}$

= $\mathrm{0,36}$

≈ 0.36

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,36}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,6}}^3+\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,6}}^2$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,36}$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{0,432}$ = $\mathrm{0,216}$ ≈ 0.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,216}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,36}$⋅ $\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,216}$ + c | $-\mathrm{0,216}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,36}$⋅x +0 oder y=0.36x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,36}x$	=	$\mathrm{1,256}$	|:$\mathrm{0,36}$
$x$	=	$\mathrm{3,4889}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 3.489.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($8$|$4$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($8$|$4$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}$ = $-\frac{2}{u}$

Wir können also P($8$|$4$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$4$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}·\left(8-u\right)$ + $\frac{1}{4}{u}^2+2$ | -$4$

$-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+2-4$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2}u$

$\left(-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+2-4\right)·\frac{1}{2}u$ = 0

$-2\frac{8-u}{u}·\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}{u}^2·\frac{1}{2}u+2·\frac{1}{2}u-4·\frac{1}{2}u$ = 0

$-\left(8-u\right)+\frac{1}{8}{u}^2·u+u-2u$ = 0

$-8+u+\frac{1}{8}{u}^3+u-2u$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$	=	0
$\frac{1}{8}{u}^3-8$	=	0	| $+8$
$\frac{1}{8}{u}^3$	=	$8$	|⋅$8$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $\frac{1}{4}\cdot 4^2+2$ = $6$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $6$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{6,912}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{5,888}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{6,912}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{6,912}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{6,912}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{6,912}$ = $\mathrm{5,888}$ ≈ 5.89

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{5,888}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,888}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{5,888}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{7,424}$ = c

also c= $\mathrm{7,424}$ ≈ 7.42

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{7,424}$ oder y=-1.92x +7.42

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{7,424}$	=	0	| $-\mathrm{7,424}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{7,424}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{3,8667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.867.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|8) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|8) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

8 = $\left(10u+4\right)·\left(-3-u\right)$ + $5u^2+4u-5$ | -8

$\left(10u+4\right)\left(-3-u\right)+5u^2+4u-5-8$ = 0

$-10u^2-34u-12+5u^2+4u-5-8$ = 0

$-5u^2-30u-25$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2-30u-25$ = 0 |:5

$-u^2-6u-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-5\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{+6\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{6+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

u₂ = $\frac{6-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+4x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+4+0$

= $10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-5\right)+4$

= $-50+4$

= $-46$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-46$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-5\right)}^2+4\cdot \left(-5\right)-5$ = $5\cdot 25-20-5$ = $125-20-5$ = $100$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $100$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$100$ = $-46$⋅( $-5$) + c

$100$ = $230$ + c | $-230$

$-130$ = c

also c= $-130$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-46$⋅x $-130$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+4x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+4+0$

= $10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-1\right)+4$

= $-10+4$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)-5$ = $5\cdot 1-4-5$ = $5-4-5$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-6$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $6$ + c | $-6$

$-10$ = c

also c= $-10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-10$