Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot \left(-2\right)-2$

= $6-2$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+4$ = $-6+4$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $4$⋅( $-2$) + c

$-2$ = $-8$ + c | + $8$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $6$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(-2x-\frac{1}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(-2x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(-2+0\right)$

= $-2\cdot \sin \left(-2x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(-2\right)$

= $4\cdot \sin \left(-2x-\frac{1}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(-2\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(-2\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-4$⋅ $0$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3e^{2\left(x+2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2\left(x+2\right)}·2$

= $-6e^{2\left(x+2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6e^{2\left(-2+2\right)}$

= $-6e^{2·0}$

= $-6e^0$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3e^{2\left(-2+2\right)}$ = $-3e^{2·0}$ = $-3e^0$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-6$⋅( $-2$) + c

$-3$ = $12$ + c | $-12$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(3x-8\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{\mathrm{0,4}x}+\left(3x-8\right)·e^{\mathrm{0,4}x}·\mathrm{0,4}$

= $3e^{\mathrm{0,4}x}+\left(3x-8\right)·\mathrm{0,4}{e}^{\mathrm{0,4}x}$

= $3e^{\mathrm{0,4}x}+\mathrm{0,4}\left(3x-8\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$

= $e^{\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{3,2}+3\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{0,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{0,2}\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,4}\cdot \left(-3\right)}·\left(\mathrm{1,2}\cdot \left(-3\right)-\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,2}}·\left(-\mathrm{3,6}-\mathrm{0,2}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,2}}·\left(-\mathrm{3,8}\right)$

= $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{1,2}}$

≈ -1.14

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{1,2}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3\cdot \left(-3\right)-8\right)·e^{\mathrm{0,4}\cdot \left(-3\right)}$ = $\left(-9-8\right)·e^{-\mathrm{1,2}}$ = $-17e^{-\mathrm{1,2}}$ ≈ -5.12

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-17e^{-\mathrm{1,2}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-17e^{-\mathrm{1,2}}$ = $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{1,2}}$⋅( $-3$) + c

$-17e^{-\mathrm{1,2}}$ = $\mathrm{11,4}{e}^{-\mathrm{1,2}}$ + c | $-\mathrm{11,4}{e}^{-\mathrm{1,2}}$

$-\mathrm{28,4}{e}^{-\mathrm{1,2}}$ = c

also c= $-\mathrm{28,4}{e}^{-\mathrm{1,2}}$ ≈ -8.55

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{3,8}{e}^{-\mathrm{1,2}}$⋅x $-\mathrm{28,4}{e}^{-\mathrm{1,2}}$ oder y=-1.14x -8.55

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-2\right)+1$

= $-16+1$

= $-15$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{15}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{15}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $4\cdot 4-2$ = $16-2$ = $14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$14$ = $\frac{1}{15}$⋅( $-2$) + c

$14$ = $-\frac{2}{15}$ + c | + $\frac{2}{15}$

$\frac{212}{15}$ = c

also c= $\frac{212}{15}$ ≈ 14.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{15}$⋅x + $\frac{212}{15}$ oder y=0.07x +14.13

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

5 = $\left(2u-5\right)·\left(-1-u\right)$ + $u^2-5u+3$ | -5

$\left(2u-5\right)\left(-1-u\right)+u^2-5u+3-5$ = 0

$-2u^2+3u+5+u^2-5u+3-5$ = 0

$-u^2-2u+3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2-2u+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-5x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-5+0$

= $2x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-3\right)-5$

= $-6-5$

= $-11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-3\right)}^2-5\cdot \left(-3\right)+3$ = $9+15+3$ = $27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27$ = $-11$⋅( $-3$) + c

$27$ = $33$ + c | $-33$

$-6$ = c

also c= $-6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-11$⋅x $-6$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-5x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-5+0$

= $2x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 1-5$

= $2-5$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^2-5\cdot 1+3$ = $1-5+3$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-3$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-3$ + c | + $3$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $2$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{4,8}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)u-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{4,8}{u}^2-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{2,4}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,2}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,2}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,4}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,2}}^2+\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{1,2}$

= $-3\cdot \mathrm{1,44}+\mathrm{5,76}$

= $-\mathrm{4,32}+\mathrm{5,76}$

= $\mathrm{1,44}$

≈ 1.44

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,44}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,2}}^3+\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{1,2}}^2$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{1,44}$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{3,456}$ = $\mathrm{1,728}$ ≈ 1.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,2}$| $\mathrm{1,728}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,44}$⋅ $\mathrm{1,2}$ + c

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,728}$ + c | $-\mathrm{1,728}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,44}$⋅x +0 oder y=1.44x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,44}x$	=	$\mathrm{3,048}$	|:$\mathrm{1,44}$
$x$	=	$\mathrm{2,1167}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.117.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($2$|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($2$|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($2$|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(2-u\right)$ + $u^2$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}+u^2-\frac{1}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}+u^2-\frac{1}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{2-u}{u}·2u+u^2·2u-\frac{1}{2}·2u$ = 0

$-\left(2-u\right)+2u^2·u-u$ = 0

$-2+u+2u^3-u$ = 0

$2u^3+0-2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-2$	=	0
$2u^3-2$	=	0	| $+2$
$2u^3$	=	$2$	|:$2$
$u^3$	=	$1$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $1$) = $1^2$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $1$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{8,64}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{7,616}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{8,64}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{8,64}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{8,64}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{8,64}$ = $\mathrm{7,616}$ ≈ 7.62

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{7,616}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{7,616}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{7,616}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{9,152}$ = c

also c= $\mathrm{9,152}$ ≈ 9.15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{9,152}$ oder y=-1.92x +9.15

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{9,152}$	=	0	| $-\mathrm{9,152}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{9,152}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{4,7667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.767.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|13) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|13) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

13 = $\left(-4u+5\right)·\left(2-u\right)$ + $-2u^2+5u+3$ | -13

$\left(-4u+5\right)\left(2-u\right)-2u^2+5u+3-13$ = 0

$4u^2-13u+10-2u^2+5u+3-13$ = 0

$2u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2-8u+0$	=	0
$2u^2-8u$	=	0
$2u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+5x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+5+0$

= $-4x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0^2+5\cdot 0+3$ = $-2\cdot 0+0+3$ = $0+0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $5$⋅0 + c

$3$ = 0 + c

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $3$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+5x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+5+0$

= $-4x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 4+5$

= $-16+5$

= $-11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 4^2+5\cdot 4+3$ = $-2\cdot 16+20+3$ = $-32+20+3$ = $-9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-9$ = $-11$⋅ $4$ + c

$-9$ = $-44$ + c | + $44$

$35$ = c

also c= $35$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-11$⋅x + $35$