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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{18}{x} - \frac{80}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{18}{x} - \frac{80}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{18}{x} \cdot x^{2} - \frac{80}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$18 x - 80$

x^{2}

=

18 x - 80

|

- 18 x

+ 80

$x^{2} - 18 x + 80$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18+2}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18-2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 3}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{13 x + 3}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{13 x + 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$13 x + 3$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

13 x + 3

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} + x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 3}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 1+7}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{- 1-7}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} + \frac{- 30 x}{9 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; 0}

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - \frac{30 x}{9 x - 6}$	=	0
$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - \frac{30 x}{3 (3 x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{2 x + 2}{x} - \frac{30 x}{3 (3 x - 2)}$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{2 x + 2}{x} \cdot (3 x - 2) - \frac{30 x}{3 (3 x - 2)} \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 2) (3 x - 2)}{x} - 10 x$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} - 10 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} + 4 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} + 4 x - 10 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 2 x - 4}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 10 x \cdot x$	=
$6 x^{2} + 2 x - 4 + 4 x \cdot x - 10 x \cdot x$	=
$6 x^{2} + 2 x - 4 + 4 x^{2} - 10 x^{2}$	=
$2 x - 4$	=

$2 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{15}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{15}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 15$	=	$- x^{2}$
$a x - 15 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter