= $\pi$ ${\left[-\frac{1}{4}{e}^{-4x}\right]}_1^2$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 2}+\frac{1}{4}{e}^{-4\cdot 1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{1}{4}{e}^{-8}+\frac{1}{4}{e}^{-4}\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{4}{e}^{-4}-\frac{1}{4}{e}^{-8}\right)$

≈ 0,014

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{6}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{36}{x^4}-\frac{36}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[6{\left(2x+1\right)}^{-3}-12x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{6}{{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{12}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{6}{{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{12}{3^3}-\left(\frac{6}{{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{12}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{{\left(6+1\right)}^3}-12\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{6}{{\left(2+1\right)}^3}-12\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{7^3}-\frac{4}{9}-\left(\frac{6}{3^3}-12\right))$

= $\pi ·(6\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{4}{9}-\left(6\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-12\right))$

= $\pi ·(\frac{6}{343}-\frac{4}{9}-\left(\frac{2}{9}-12\right))$

= $\pi ·(\frac{54}{3087}-\frac{1372}{3087}-\left(\frac{2}{9}-\frac{108}{9}\right))$

= $\pi ·(-\frac{1318}{3087}-1·\left(-\frac{106}{9}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{1318}{3087}+\frac{106}{9}\right)$

= $\pi ·\frac{11680}{1029}$

= $\frac{11680}{1029}\pi$

≈ 35,66

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 3 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-3 = $3x+3-3$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x+3-3\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[3x^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(3\cdot 3^3-3\cdot 0^3\right)$

= $\pi ·\left(3\cdot 27-3\cdot 0\right)$

= $\pi ·\left(81+0\right)$

= $\pi ·81$

= $81\pi$

≈ 254,469