$\text{f(x)}=$ $t{e}^{-2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $t{e}^{-2tx}·\left(-2t\right)$

= $-2t^2{e}^{-2tx}$

$\text{f(x)}=$ $-t^2{x}^2+tx$

$\text{f'(x)}=$ $-2t^{2}x+t$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x+2\right)·e^{-2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-2tx}+\left(-x+2\right)·e^{-2tx}·\left(-2t\right)$

= $-e^{-2tx}+\left(-x+2\right)·\left(-2t{e}^{-2tx}\right)$

= $-e^{-2tx}-2t\left(-x+2\right)·e^{-2tx}$

= $e^{-2tx}·\left(2tx-4t-1\right)$

= $e^{-2tx}·\left(2tx+\left(-4t-1\right)\right)$

= $\left(2tx+\left(-4t-1\right)\right)·e^{-2tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $-e^{-2t\cdot 0}-2t·\left(-0+2\right)·e^{-2t\cdot 0}$= $-4t-1$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($0$)= $-4t-1$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-4t-1$ = 0 nach t auf.

Für t= $-\frac{1}{4}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $3t^2{x}^2+tx$

$\text{f'(x)}=$ $6t^{2}x+t$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$) = $6t^2\cdot \left(-1\right)+t$ = $-6t^2+t$ = $-6t^2+t$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-51$x+5 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($-1$)= $-6t^2+t$ soll gleich $-51$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $-6t^2+t$ = $-51$ nach t auf.

$-6t^2+t+51$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·\left(-6\right)·51}}{2\cdot \left(-6\right)}$

t_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+1224}}{-12}$

t_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1225}}{-12}$

t₁ = $\frac{-1+\sqrt{1225}}{-12}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>35</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>12</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{34}{-12}$ = $-\frac{17}{6}$ ≈ -2.83

t₂ = $\frac{-1-\sqrt{1225}}{-12}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>35</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>12</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-36}{-12}$ = $3$

Für t= $-\frac{17}{6}$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.