Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0010)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16= 18

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0010)₂ = 18

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)₂ = 1⋅1 = 1 = (1)₁₆

(0010)₂ = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010)₂ = (12)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 5,765625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,765625 = 5 + 0,765625

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

5 = 4 + 1

= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,765625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.765625 -> 0.765625⋅2 = 1.53125, da 1.53125>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.765625⋅$\frac{1}{1}$ = 1.53125⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.765625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.53125⋅$\frac{1}{2}$

0.53125 -> 0.53125⋅2 = 1.0625, da 1.0625>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.53125⋅$\frac{1}{2}$ = 1.0625⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.765625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0.0625⋅$\frac{1}{4}$

0.0625 -> 0.0625⋅2 = 0.125, da 0.125<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.0625⋅$\frac{1}{4}$ = 0.125⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.765625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.125⋅$\frac{1}{8}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{8}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.765625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.765625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.765625 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.765625 ist somit 0,110001

Zusammen mit der 5 = (101)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,765625 = (101,1100.01)₂

Wir zerlegen die Zahl 2,1953125 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,1953125 = 2 + 0,1953125

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,1953125 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.1953125 -> 0.1953125⋅2 = 0.390625, da 0.390625<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.1953125⋅$\frac{1}{1}$ = 0.390625⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.1953125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.390625⋅$\frac{1}{2}$

0.390625 -> 0.390625⋅2 = 0.78125, da 0.78125<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.390625⋅$\frac{1}{2}$ = 0.78125⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.1953125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.78125⋅$\frac{1}{4}$

0.78125 -> 0.78125⋅2 = 1.5625, da 1.5625>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.78125⋅$\frac{1}{4}$ = 1.5625⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.1953125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.5625⋅$\frac{1}{8}$

0.5625 -> 0.5625⋅2 = 1.125, da 1.125>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.5625⋅$\frac{1}{8}$ = 1.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.1953125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.125 -> 0.125⋅2 = 0.25, da 0.25<1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 0

0.125⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.1953125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.25⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.1953125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.1953125 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die Binärdarstellung von 0.1953125 ist somit 0,0011001

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,1953125 = (10,0011.001)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(10,0011.001)₂ = (1,0001.1001)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 2.1953125 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 000.1100.1000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 3,1 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 3,1 = 3 + 0,1

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 3 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 3 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

3 = 2 + 1

= 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 3 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 3 = ( 1⋅2 + 1)⋅1 = 1⋅2 + 1⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 3 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 1⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 3 = (11)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,1 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.1 -> 0.1⋅2 = 0.2, da 0.2<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.1⋅$\frac{1}{1}$ = 0.2⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.1 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.2⋅$\frac{1}{2}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{2}$ = 0.4⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.1 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.4⋅$\frac{1}{4}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{4}$ = 0.8⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.1 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.8⋅$\frac{1}{8}$

0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.8⋅$\frac{1}{8}$ = 1.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.1 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.6⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.1 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 0

0.2⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.1 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2^-7-Stelle eine 0

0.4⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ = 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$, also ist 0.1 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$ + 0.8⋅$\frac{1}{\mathrm{128}}$

Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.

Die Binärdarstellung von 0.1 ist somit (0,0001.1001.1001.1001.1001.1001.1001.100)₂

Zusammen mit der 3 = (11)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 3,1 = (11,0001.1001.1001.1001.1001.1001.1001.10)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(11,0001.1001.1001.1001.1001.1001.1001.10)₂ = (1,1000.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 3.1 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 100.0110.0110.0110.0110.0110

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

														(	1	.	0	0	0	1	.	0	1	1	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	1	1	0	0	)2
																			1	1		1
														(	1		1	1	1	0		0	0	1	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1001)₂
zu (1001.0110)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	1	.	0	1	1	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	0	0	1		0	1	1	1	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.1011)₂
zu (1100.0100)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	0	0	.	0	1	0	0	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
															(		1	1	0	0		0	1	0	1	)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.0101)₂ und -b = (1100.0101)₂ addieren:

															(		0	1	1	1	.	0	1	0	1	)2
													+		(		1	1	0	0	.	0	1	0	1	)2
															1		1					1		1
														(	1		0	0	1	1		1	0	1	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.1010)₂

Der zweite Faktor (1110.0000)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																		(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
													+		(		1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
															(		1	1	1	0		0	0	0	0	)2

somit gilt:

(111.1101)₂ ⋅ (1110.0000)₂ = 111.1101 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 10.0000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.1101)₂ ⋅ (1110.0000)₂ = (11.1110.1000.0000)₂ + (1.1111.0100.0000)₂ + (1111.1010.0000)₂

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

										(		1	1	1	1	.	1	0	1	0	.	0	0	0	0	)2
							+		(	1	.	1	1	1	1	.	0	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
									1	1		1	1	1
								(	1	0		1	1	1	0		1	1	1	0		0	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

								(	1	0	.	1	1	1	0	.	1	1	1	0	.	0	0	0	0	)2
					+			(	1	1	.	1	1	1	0	.	1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
								1	1	1		1	1		1
							(	1	1	0		1	1	0	1		0	1	1	0		0	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (110.1101.0110.0000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 125 ⋅ 224 = 28000)

1

0

0

1

0

0

0

0

0

:

1

1

0

0

=

1

1

0

0

0

-

1

1

0

0

0

1

1

0

0

-

1

1

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

0

0

0

0

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 288 : 12 = 24)