Da f sowohl gerade ( $-6x^2$) als auch ungerade Hochzahlen ( $-9x$) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{{\left(-x\right)}^2}{3{\left(-x\right)}^2+1}$ = $\frac{x^2}{3x^2+1}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x^2}{3x^2+1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass die beiden Funktionsterme gleich sind.

Es gilt also: f(-x) = f(x)

Somit liegt bei f Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $2x^5$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $2x^5$ ungerade ist, hat $x^5$ ein negatives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $2$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $2x^5$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $2x^5+x^2-2x$ → $-\infty$

x → + ∞

$x^5$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $2$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $2x^5$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $2x^5+x^2-2x$ → $\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 3 sind muss nehmen wir am besten 3 als Grad.

Für f(x) = $-x^3$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $-1^3$ = -1 ist aber leider nicht 5. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende 5 -( - 1 ) = 6 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $-x^3$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $-x^3+6$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet