Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,09. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
1 | 0.91 |
2 | 0.8281 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.9
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.09⋅0) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
≈ 1
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.
Binomialvert. mit variablem p (diskret)
Beispiel:
In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 21 schwarze sind?
p | P(X≤21) |
---|---|
... | ... |
0.9981 | |
0.9685 | |
0.8738 | |
0.7282 | |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten: = 0.8 (oder mehr)
Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 2 größer sein muss als der Zähler.
Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 80% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 4 sein.
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, höchstens 20 Treffer zu erzielen ?
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
31 | 0.5448 |
32 | 0.4485 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.5
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 31 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.65⋅31) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=31:
≈ 0.5448
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=31 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 39 oder mehr 6er zu erzielen?
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
257 | 0.2369 |
258 | 0.2286 |
259 | 0.2204 |
260 | 0.2125 |
261 | 0.2047 |
262 | 0.1972 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.8
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.8 |+ - 0.8
0.2 ≥ oder ≤ 0.2
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 234 Versuchen auch ungefähr 39
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=234:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=262 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.
n muss also mindestens 262 sein, damit
Binomialvert. mit variablem k (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9. Das Zufallsexperiment soll 70 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 70 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 50% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
57 | 0.0205 |
58 | 0.0441 |
59 | 0.0873 |
60 | 0.1586 |
61 | 0.2637 |
62 | 0.4011 |
63 | 0.5582 |
64 | 0.7128 |
65 | 0.8412 |
66 | 0.9288 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und n = 70.
Es muss gelten:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
62 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das größtmögliche k mit
größtmöglicher Wert für k muss somit k = 62 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Binomialvert. mit variablem k (mind.)
Beispiel:
Bei einem Multiple-Choice-Test werden 20 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 4 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 6% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
3 | 0.2252 |
4 | 0.4148 |
5 | 0.6172 |
6 | 0.7858 |
7 | 0.8982 |
8 | 0.9591 |
9 | 0.9861 |
10 | 0.9961 |
11 | 0.9991 |
12 | 0.9998 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p =
Es muss gelten:
oder andersrum ausgedrückt:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
7 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das kleinstmögliche k mit
Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 9 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Binomialvert. mit variablem k (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85. Das Zufallsexperiment soll 77 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 77 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 75% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
62 | 0.1718 |
63 | 0.2594 |
64 | 0.3681 |
65 | 0.4913 |
66 | 0.6183 |
67 | 0.7363 |
68 | 0.8347 |
69 | 0.9075 |
70 | 0.9546 |
71 | 0.9809 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 77.
Es muss gelten:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
67 immer noch weniger als 0.75 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das größtmögliche k mit
größtmöglicher Wert für k muss somit k = 67 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)