$\text{f(x)}=$ $x^5+x^4$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4+4x^3$

$\text{f(x)}=$ $\frac{2}{x}+2x$

= $2x^{-1}+2x$

=> f'(x) = $-2x^{-2}+2$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{x^2}+2$

$\text{f(x)}=$ $-4x-\frac{7}{2}\sqrt{x}$

= $-4x-\frac{7}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-4-\frac{7}{4}{x}^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $-4-\frac{7}{4\sqrt{x}}$

Die Gerade y = $5x+3$ hat als Steigung m = 5 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 5 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4+x$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}+1$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}+1$

Diese Ableitung muss ja = 5 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}+1$ = 5.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $64$

Also 5 = 5

x = $64$ ist somit eine Lösung !

L={ $64$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $64$) = $\sqrt[3]{64}+1$ = $5$