Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ = 1 - $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ oder $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{33}}{\mathrm{0.7}}$ ≈ 47 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.7⋅47) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=47:
$P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≈ 0.4411 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 47 sein, damit $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\le 32)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.7}^{\mathrm{n}}(X\ge 33)$ ≥ 0.5 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{38}}{\mathrm{0.4}}$ ≈ 95 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.4⋅95) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=95:
$P_{0.4}^{\mathrm{n}}(X\le 38)$ ≈ 0.5444 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ = 1 - $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ oder $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{0.75}}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.75⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≈ 0.4003 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 32 sein, damit $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 20)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 21)$ ≥ 0.9 gilt.